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        《函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象(1)》教學(xué)實錄

        2016-06-07 00:16:00王榮鑫
        江蘇教育研究 2016年14期
        關(guān)鍵詞:縱坐標(biāo)橫坐標(biāo)畫板

        【課例導(dǎo)讀】

        高境界的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)基于思維發(fā)展,包括重視數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系,凸現(xiàn)核心知識的價值,數(shù)學(xué)規(guī)律的形成和思維逐步深入的過程,數(shù)學(xué)思想方法的提煉以及數(shù)學(xué)理性精神的體驗等方面。而優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)思維又集中表現(xiàn)在如何有效地提出問題與解決問題的過程中,因而我們的數(shù)學(xué)活動可以以問題為研究的起點,以問題為研究的主線,并以問題的解決作為最終的教學(xué)目標(biāo)。具體到這節(jié)課上,王榮鑫老師采用了“問題引領(lǐng),自主建構(gòu)”的教學(xué)方式,合理優(yōu)化了問題的情境,有效凸顯了問題的作用,并讓學(xué)生在對問題的探究體驗中,掌握科學(xué)的研究方法,提升了數(shù)學(xué)的思維品質(zhì),這種帶有研究意味的教學(xué)方法與思路給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了啟發(fā)。

        【執(zhí)教者簡介】

        王榮鑫,江蘇省邗江中學(xué)數(shù)學(xué)教師,揚州市中青年教學(xué)骨干,曾獲江蘇省高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課評比二等獎、揚州市優(yōu)質(zhì)課評比一等獎、揚州市基本功大賽一等獎、揚州市骨干教師展示一等獎等榮譽,有多篇論文在學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表。

        【課例呈現(xiàn)】

        一、呈現(xiàn)背景、創(chuàng)設(shè)情境

        (課前投影展示歡樂世界摩天輪動態(tài)畫面)

        師:同學(xué)們,請看大屏幕,摩天輪上的每一點隨著時間的推移在周而復(fù)始地運動,從中我們可以抽象出如下數(shù)學(xué)模型。

        (PPT動畫演示點P繞圓心做勻速圓周運動)

        師:大家回憶一下,我們?nèi)绾螌挝粓A上的任意一點P的位置表示出來?

        生:通常是建立直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)來表示點P位置。

        師:我們建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,圓O的半徑為A,P0為圓O上的一點,以射線OP0為終邊的角為φ,P點從P0出發(fā)沿圓O逆時針運動,P點每秒轉(zhuǎn)過的弧度為ω,求x秒后,P點的縱坐標(biāo)y。

        (學(xué)生經(jīng)過計算,得到結(jié)果)

        生:y=Asin(ωx+φ)。

        二、啟發(fā)引導(dǎo)、提出問題

        師:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)刻畫了P點的運動規(guī)律,今天我們一起研究這個新函數(shù)的圖象。你覺得這個函數(shù)與學(xué)過的哪個函數(shù)有聯(lián)系呢?

        生:y=sinx。

        師:你為什么覺得這兩個函數(shù)有聯(lián)系呢?

        生:這兩個函數(shù)都是刻畫周期運動的函數(shù),另外,我覺得這兩個函數(shù)的解析式很像,都有正弦符號,我猜他們之間應(yīng)該有聯(lián)系吧。

        師:我們今天就來研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象與y=sinx圖象的關(guān)系。

        問題1:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象與y=sinx的圖象是什么關(guān)系?

        三、自主建構(gòu),解決問題

        生:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過正弦曲線y=sinx的圖象,可以作出y=Asin(ωx+φ)的圖象,然后尋找圖象之間的關(guān)系。

        師:你打算如何作出y=Asin(ωx+φ)的圖象?

        生:用五點作圖法。

        師:觀察這兩個函數(shù)的解析式,思考它與正弦曲線的關(guān)系,你還能有別的想法嗎?

        生:可由y=sinx的圖象經(jīng)過圖象變換得到。

        師:為什么這么想?

        生:當(dāng)A=1、ω=1、φ=0時,y=Asin(ωx+φ)就是y=sinx,y=sinx是y=Asin(ωx+φ)的一個特例,我想是不是能由y=sinx圖象變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象。

        師:在由y=sinx圖象變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)圖象的過程中,哪幾個參數(shù)對函數(shù)圖象有影響?

        生:A、ω、φ。

        師:如何研究A、ω、φ對y=Asin(ωx+φ)圖象的影響?

        (學(xué)生獨立思考)

        生:先固定其中的兩個,研究另外一個參數(shù)對圖象的影響。

        師:具體的研究的計劃呢?可以繼續(xù)思考一下,如何“固定”?

        (獨立思考)

        生:我們可以讓A=1、ω=1、φ=0中的兩個成立,研究另外一個參數(shù)對圖象的影響。

        師:下面分別研究y=sin(x+φ)、y=Asinx、y=sinωx與y=sinx圖象的關(guān)系。你能設(shè)計一個方案,探究參數(shù)對圖象的影響?大家可以進行小組討論。

        (分組討論,交流成果)

        生:我們可以舉幾個具體的例子,讓A、ω、φ取特殊的值,看看他們分別與y=sinx圖象的關(guān)系,找找有什么規(guī)律。

        師:對,我們可以從具體的例子入手,探求一般性的規(guī)律,這體現(xiàn)了從特殊到一般的思想。

        問題2:函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象與y=sinx圖象是什么關(guān)系?

        (學(xué)生自由選取φ為不同特殊值,在坐標(biāo)紙上作圖,然后獨立探尋圖象之間的關(guān)系)

        (實物投影學(xué)生畫圖,學(xué)生敘述研究結(jié)論)

        生:取φ=1,通過作圖發(fā)現(xiàn)y=sin(x+1)可以看成由y=sinx圖象向左平移1個單位得到。

        師:圖象向左的意思是什么?

        生:圖象是由點構(gòu)成的,y=sin(x+1)可以看成由y=sinx圖象上每一點向左平移1個單位得到。

        師:你能得到一般性的結(jié)論嗎?

        生:y=sin(x+φ)的圖象可以看成y=sinx圖象上所有點縱坐標(biāo)不變,向左/右平移了φ個單位而得到。

        (幾何畫板動態(tài)演示,φ可以取任意值)

        師:經(jīng)幾何畫板檢驗,結(jié)論確具一般性。

        問題3:函數(shù)y=Asinx(A>0且A≠1)的圖象與y=sinx圖象是什么關(guān)系?

        (學(xué)生任選A為不同特殊值,在坐標(biāo)紙上作圖,然后獨立探尋圖象之間的關(guān)系,歸納得到一般性結(jié)論,然后在小組內(nèi)討論,學(xué)生用幾何畫板進行驗證,最終達成共識)

        生:由y=sinx圖象變換為y=Asinx(A>0且A≠1)的圖象,就是將y=sinx圖象上所有點的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍即可。

        師:大家從特殊到一般,歸納猜想出y=Asinx、y=sin(x+φ)與y=sinx圖象的關(guān)系。我們還可以用什么方法來研究?

        生:還可用剛學(xué)過的必修一函數(shù)部分圖象變換的知識解決。我們研究過y=2x與y=x圖象之間的關(guān)系,y=(x+1)2與y=x2圖象之間的關(guān)系,第一個是函數(shù)圖象上每一點的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,第二個是圖象向左平移1個單位。這與我們剛才得到的結(jié)論是完全一致的。

        師:對,剛才我們使用兩種方案研究y=sin(x+φ)、y=Asinx與y=sinx圖象的關(guān)系,第一種方法是從特殊函數(shù)的變換中歸納出一般性結(jié)論,第二種方法是類比之前所學(xué)的函數(shù)圖象變換的方法得到的結(jié)論。通過幾何畫板的演示,我們也驗證了同學(xué)們所得的結(jié)論是合理的。

        師:那么,以上的幾種函數(shù)圖象變換過程中有什么不變的性質(zhì)?

        (教師用幾何畫板輔助演示)

        生:函數(shù)的周期性。

        問題4:函數(shù)y=sinωx(ω>0且ω≠1)的圖象與y=sinx圖象的關(guān)系又是什么呢?

        師:我們當(dāng)然可以用剛才特殊到一般的方法加以解決。你能不能應(yīng)用所學(xué)y=Asinx與y=sinx圖象關(guān)系的知識,類比出y=sinωx與y=sinx的關(guān)系呢?

        (分組討論,交流展示)

        生:將y=Asinx的表達式改寫為y=sinx,并令y=Y,可得Y=sinx,Y=AY,就是說,y=Asinx的圖象是將y=sinx圖象上點的縱坐標(biāo)乘以A得到(橫坐標(biāo)不變)。因此,從y=sinx變換為y=Asinx,是將y=sinx圖象上所有點的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍。

        生:對于y=sinωx,令X=ωx,可得y=sinX,x=,就是說,y=Asinx(A>0且A≠1)的圖象就是將y=sinX的圖象的橫坐標(biāo)乘以得到(縱坐標(biāo)不變)。

        師:對,我們還可以進一步從點的變換角度來嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评沓鲞@個結(jié)論。

        師:設(shè)函數(shù)y=sinx圖象上有一點P(x0,y0),則y0=sinx0,變換以后為P'(,y0),顯然P'在y=sinωx上,同理反之也成立,因此,y=sinx圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼木偷玫搅藋=sinωx的圖象。

        師:這說明y=Asinx(A>0且A≠1)、y=sinωx(ω>0且ω≠1)兩個函數(shù)的圖象,就是分別將y=sinx圖象在縱向、橫向兩個方向進行的伸縮變換。其本質(zhì)就是y=sinx圖象上點的變化,一個是橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍,后一個是縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹?/p>

        師:總結(jié)在以上研究A、ω、φ對圖象影響的過程中,函數(shù)有什么性質(zhì)是不變的呢?

        生:函數(shù)的周期在變化,但仍然是周期函數(shù)。

        四、操練拓展、反饋糾正

        師:剛才我們共同研究了y=Asin(ωx+φ)圖象中A、ω、φ對圖象的影響,下面大家嘗試獨立解決下列問題。

        問題5:為了得到函數(shù)y=sin(2x+1)的圖象,只需將函數(shù)y=sin2x)圖象上所有的點向左平移多少個單位長度?

        生:向左平移1個單位長度。

        師:有同學(xué)有不同的看法的,請闡述自己的看法。

        生:應(yīng)該是向左平移個單位長度。

        師:為什么不是1?

        生:因為圖象的變換本質(zhì)是點的變換,這里左右平移,是點的橫坐標(biāo)在變化,所以應(yīng)該是看x變化了多少。

        師:你能給出一般性的結(jié)論嗎?

        生:一般地,函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0,ω≠0)的圖象是將函數(shù)y=sin(ωx)的圖象上所有的點向左(當(dāng)φ>0時)或向右(當(dāng)φ<0時)平移個單位長度而得到。

        師:經(jīng)過研究我們都清楚了,由y=sinx變換到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象,是由A、ω、φ決定的,從這個角度去思考,由y=sinx變換而得y=Asin(ωx+φ)的圖象,路徑共有幾條?

        生:六條。

        師:很好,大家課后可以思考一下這幾種路徑是否可行?并總結(jié)出比較容易出問題的地方,下節(jié)課我們接著進行研究。

        五、歸納反思、總結(jié)提高

        問題6:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些感受與同學(xué)們分享?

        (學(xué)生歸納總結(jié),教師點評)

        師:在研究y=Asin(ωx+φ)圖象與y=sinx圖象關(guān)系的過程中,我們知道了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,知道了如何通過觀察、猜想、驗證的方法來研究新問題,進一步了解如何將一個復(fù)雜的問題進行分解、轉(zhuǎn)化,然后用已有的知識去加以解決。

        (王榮鑫,江蘇省邗江中學(xué),225009)

        責(zé)任編輯:趙赟

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