【人物檔案】

屠桂芳，南京市第十三中學(xué)校長(zhǎng)，中國(guó)教育學(xué)會(huì)教育管理分會(huì)理事、江蘇省中學(xué)教育管理專委會(huì)理事，江蘇省學(xué)生體協(xié)副主任及省中學(xué)生田徑協(xié)會(huì)主席，南京師范大學(xué)教科院管理專業(yè)指導(dǎo)專家與碩士生導(dǎo)師。先后獲得南京市名校長(zhǎng)“陶行知獎(jiǎng)”、南京市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，南京市教育科研先進(jìn)個(gè)人等稱號(hào)。先后發(fā)表學(xué)術(shù)論文60多篇，主編或參編論著9本，主持并完成國(guó)家級(jí)課題2個(gè)、省級(jí)課題6個(gè)，獲得市級(jí)及以上表彰19項(xiàng)，主持的課題“高中自主學(xué)習(xí)文化的創(chuàng)新與實(shí)踐”獲2013年江蘇省教學(xué)成果獎(jiǎng)（基礎(chǔ)教育類）一等獎(jiǎng)，“新課程校本化的規(guī)劃與設(shè)施”獲得教育部國(guó)家級(jí)教學(xué)成果獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)。

“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”，這句名言流傳極廣，在數(shù)學(xué)教育的相關(guān)文章和課堂實(shí)踐中常被引用，積極作用可謂巨大。但是，它的負(fù)面作用也在潛滋暗長(zhǎng)，比如有的課堂教學(xué)從一個(gè)極端（只重結(jié)果）走向另一個(gè)極端（只重過(guò)程），“開(kāi)門遲遲不見(jiàn)山”的狀態(tài)在理論研討和教學(xué)實(shí)踐中都時(shí)有所見(jiàn)。其實(shí)，俄國(guó)教育家斯托利亞爾的完整表述是：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，而不僅僅是數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果的教學(xué)?！睘榇耍覀儗堰@句話放在新課改的大背景下進(jìn)行審視，在不同的層面上對(duì)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”討論，以期比較全面地認(rèn)識(shí)它的現(xiàn)實(shí)意義。

一、數(shù)學(xué)活動(dòng)的目的是什么——不能為活動(dòng)而活動(dòng)

鄭毓信教授等認(rèn)為新課改的“新”主要有兩個(gè)“標(biāo)志”，即“三維目標(biāo)”與“自主、合作、探究”[1]。令人感興趣的是，這兩個(gè)“標(biāo)志”有一個(gè)交集，那就是“數(shù)學(xué)活動(dòng)”?！斑^(guò)程與方法”目標(biāo)中的“過(guò)程”主要指的是活動(dòng)過(guò)程，而“自主、合作、探究”只能在“活動(dòng)”中進(jìn)行?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把獲取“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”列為“四基”之一，“活動(dòng)”得到了前所未有的重視。新課改十多年的實(shí)踐表明，重視活動(dòng)、開(kāi)展活動(dòng)、以活動(dòng)實(shí)現(xiàn)知識(shí)建構(gòu)和能力培養(yǎng)的意識(shí)已經(jīng)深入到數(shù)學(xué)教師的思想深處，極大地改變了數(shù)學(xué)課堂的價(jià)值追求和呈現(xiàn)形態(tài)。

案例1：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的探求

新課程體系下，作為教學(xué)常態(tài)的“學(xué)生活動(dòng)”，具有兩個(gè)鮮明的特點(diǎn)：一是全程參與，從設(shè)計(jì)解題方案開(kāi)始，到坐標(biāo)系的選擇、方程的建立、標(biāo)準(zhǔn)型的確定等都是在學(xué)生參與下進(jìn)行的；二是全員參與，在活動(dòng)的過(guò)程中，始終提倡自主探究與體驗(yàn)等。

如“求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

（1）學(xué)生自主進(jìn)行過(guò)程設(shè)計(jì)，心里有一個(gè)“漸進(jìn)”的探求流程圖（此時(shí)學(xué)生已有求直線方程和圓方程的經(jīng)驗(yàn)積累），然后進(jìn)入實(shí)施階段。

（2）坐標(biāo)系的選擇，依靠經(jīng)驗(yàn)與直觀，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，以期望探求過(guò)程及最終結(jié)果的簡(jiǎn)化和美化。

（3）設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，把幾何等式PF1+PF2=2a轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程+=2a。

（4）化簡(jiǎn)的過(guò)程難度較大，應(yīng)留出足夠的時(shí)間給學(xué)生自主嘗試，這是基于“四基”的要求。

（5）由化簡(jiǎn)得到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）之后，不宜直接“告知”學(xué)生令“a2-c2=b2”的換元，而是先讓學(xué)生觀察式子特征，從簡(jiǎn)潔和美感的角度觀察是否還能進(jìn)一步化簡(jiǎn)。

（6）在師生的共同參與下，化簡(jiǎn)整理成標(biāo)準(zhǔn)方程+=1（a>b>0）。

（7）反思上述的“標(biāo)準(zhǔn)方程”，是選擇“恰當(dāng)”的坐標(biāo)系才得到的“簡(jiǎn)潔、優(yōu)美”的方程形式。由此類比得到焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程+=1（a>b>0）。如果橢圓在其他位置是不是就沒(méi)有方程了？顯然也是有的，不過(guò)其形式就不簡(jiǎn)潔了。

上述教學(xué)重視學(xué)生活動(dòng)，體現(xiàn)出極大的教學(xué)效益。首先，“活動(dòng)”本身就是一個(gè)目的。通過(guò)活動(dòng)，學(xué)生體驗(yàn)了求曲線方程的過(guò)程、方法、原則、注意事項(xiàng)等，能力上得到了提高，情感體驗(yàn)得到了豐富，這都會(huì)為全面理解橢圓方程提供直接的背景，而不僅限于標(biāo)準(zhǔn)方程。同時(shí)也為之后求雙曲線和拋物線方程提供了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因此，學(xué)生經(jīng)歷的這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程和方法的感受、體驗(yàn)，對(duì)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累、提純、升華，對(duì)情感、態(tài)度、價(jià)值觀的培養(yǎng)和深化，本身就是一個(gè)巨大的收獲。

其次，在數(shù)學(xué)活動(dòng)“現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律化、數(shù)學(xué)內(nèi)容現(xiàn)實(shí)化”的過(guò)程中形成了完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，增加了兩個(gè)新的元素：其一是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其二是求曲線方程的基本步驟（簡(jiǎn)記為“建立坐標(biāo)系、設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)、列等式、代坐標(biāo)、化簡(jiǎn)方程”等）。

最后，回顧探求過(guò)程中，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生自己去建立坐標(biāo)系推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，給學(xué)生較多的思考時(shí)間和空間，讓學(xué)生樹(shù)立敢于挑戰(zhàn)自我的勇氣，耐心、細(xì)心地等價(jià)轉(zhuǎn)化解決化簡(jiǎn)問(wèn)題，變“被動(dòng)”為“主動(dòng)”，變“灌輸簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美”為“發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美”，學(xué)生的“感受”真切而實(shí)在。

這三個(gè)收獲都很重要。通過(guò)過(guò)程體驗(yàn)，學(xué)生收獲了“求曲線方程”這一程序性知識(shí)；通過(guò)明確總結(jié)與固化，學(xué)生收獲了“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”這一陳述性知識(shí)；最后通過(guò)求簡(jiǎn)求美等反思活動(dòng)，學(xué)生還在“策略性知識(shí)”上有所拓展。通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生觀察、運(yùn)算能力和求簡(jiǎn)意識(shí)，并能懂得欣賞數(shù)學(xué)的“簡(jiǎn)潔美”，這個(gè)活動(dòng)過(guò)程在知識(shí)與能力目標(biāo)、過(guò)程與方法目標(biāo)和情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)上都有全面的體現(xiàn)。

試想一下，如果只注重過(guò)程而不注重結(jié)果，或者只注重結(jié)果而不注重過(guò)程，則學(xué)生的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”都是不充分不完整的，學(xué)生能力的發(fā)展也是不全面的。

傳統(tǒng)的教學(xué)法強(qiáng)調(diào)知識(shí)結(jié)果，忽略前期的探究和后期的反思，這已逐漸被人們認(rèn)知并糾正。但“為活動(dòng)而活動(dòng)、為探究而探究”的極端傾向，淡化了教師的主導(dǎo)作用。案例1的前四步就是過(guò)程，而如果沒(méi)有（5）、（6）兩步就沒(méi)有結(jié)果，沒(méi)有（7）就沒(méi)有認(rèn)知的正向遷移—深化了的結(jié)果。

學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)是為了實(shí)現(xiàn)知識(shí)的豐富、能力的加強(qiáng)和素養(yǎng)的提高，這些自然不能脫離過(guò)程。欲達(dá)此目的，結(jié)果與過(guò)程同樣重要。英國(guó)教育部2013年提出數(shù)學(xué)教學(xué)要“改回嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)”，就是對(duì)“只重過(guò)程不重結(jié)果”行為的矯正。

二、活動(dòng)的結(jié)束以什么為標(biāo)志——有活動(dòng)必須有總結(jié)endprint

數(shù)學(xué)活動(dòng)是從問(wèn)題或情境開(kāi)始的，那么它在何時(shí)結(jié)束呢？結(jié)束的標(biāo)志又是什么呢？答案應(yīng)該是“結(jié)果確認(rèn)”。在活動(dòng)的過(guò)程之中，學(xué)生的知識(shí)、能力、情感態(tài)度價(jià)值觀產(chǎn)生了新的變化，并影響個(gè)人的心理和文化品質(zhì)，這些都是結(jié)果。

對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維結(jié)果，更要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維的方式方法、發(fā)展數(shù)學(xué)能力，這都是“結(jié)果確認(rèn)”的表現(xiàn)形態(tài)。能力的發(fā)展決不等同于知識(shí)與技能的獲得，能力的形成有其自身的特點(diǎn)和規(guī)律，它不是學(xué)生“懂”了，也不是學(xué)生“會(huì)”了，而是學(xué)生自己“悟”出了道理、規(guī)律和思考方法等。這種“悟”只有在數(shù)學(xué)活動(dòng)中才能得以進(jìn)行，因而教學(xué)活動(dòng)必須給學(xué)生提供探索交流的空間，組織、引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程”，并把推理能力的培養(yǎng)有機(jī)地融合在這樣的“過(guò)程”之中。

活動(dòng)必須有結(jié)果，不能“只聽(tīng)樓梯響，不見(jiàn)人下樓”。教師有主導(dǎo)課堂的職責(zé)、學(xué)生有順應(yīng)或整合的需求、課堂有必須承載的教學(xué)任務(wù)。所有這些，不通過(guò)教學(xué)的總結(jié)反思都無(wú)法實(shí)現(xiàn)。對(duì)于課堂活動(dòng)的預(yù)設(shè)目標(biāo)，教師必須有一個(gè)清晰的“目標(biāo)認(rèn)可”。即使生成過(guò)程沒(méi)有完全按照預(yù)設(shè)的路徑進(jìn)行，也必須在新路徑上有個(gè)最終結(jié)果。不宜有不了了之的活動(dòng)，也不能有無(wú)限開(kāi)放卻又不可捉摸的所謂“前景”。清晰明確、固定狀態(tài)的結(jié)果是教學(xué)活動(dòng)的必然要素之一，也是教師的職責(zé)所在。

案例2：分?jǐn)?shù)的加法運(yùn)算

北師大的曹才翰教授講述了他在美國(guó)聽(tīng)的一堂數(shù)學(xué)課。教師安排了多個(gè)活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)、探究分?jǐn)?shù)的加法運(yùn)算，學(xué)習(xí)活動(dòng)非常熱烈。但最后，教師沒(méi)有總結(jié)出“同分母分?jǐn)?shù)相加……”和“異分母的分?jǐn)?shù)相加……”等運(yùn)算法則，而是讓學(xué)生“談體會(huì)”。一個(gè)學(xué)生說(shuō)“+=”，多位同學(xué)附和，教師隨即說(shuō)“干得漂亮”，然后就下課了。聽(tīng)課者課后問(wèn)那位教師：“為什么你同意+=？”教師答道：“因?yàn)樗麄兏吲d”。

這自然是一個(gè)極端的案例，曹教授也感嘆“這樣的數(shù)學(xué)也太浪漫了”，在中國(guó)不會(huì)有這樣的教師和這樣“浪漫”的課堂。但是，教學(xué)中片面的“愉快教育”、極端的“建構(gòu)主義”思潮，“為討論而討論”“為合作而合作”“為活動(dòng)而活動(dòng)”小組合作學(xué)習(xí)流于形式等只求“表面熱鬧”的教學(xué)，還是時(shí)有出現(xiàn)。只為學(xué)生“高興”、缺少教師的規(guī)范引導(dǎo)、放松嚴(yán)謹(jǐn)性的要求，必然導(dǎo)致活動(dòng)的淺層化和幼稚化，造成學(xué)術(shù)規(guī)范的缺失。

弗賴登塔爾有句名言：“與其說(shuō)讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說(shuō)讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化。”其實(shí)“數(shù)學(xué)化”總該“化”到某個(gè)程度，“化”出某個(gè)（數(shù)學(xué)上的）結(jié)果來(lái)?！盎钡倪^(guò)程可以是教育形態(tài)，“化”的結(jié)果必須是學(xué)術(shù)形態(tài)或盡可能地接近學(xué)術(shù)形態(tài)。

一次數(shù)學(xué)活動(dòng)，重視過(guò)程但不能以犧牲結(jié)果為代價(jià)。雖然對(duì)于一些前沿課題，數(shù)學(xué)家一時(shí)找不到最終結(jié)果，不得不結(jié)束這個(gè)活動(dòng)（比如第五公設(shè)和費(fèi)爾瑪大定理，歷經(jīng)千百年而終成正果），但是作為人類群體來(lái)說(shuō)，這個(gè)研究活動(dòng)肯定還會(huì)繼續(xù)下去，直到最終結(jié)果的顯現(xiàn)。比如哥德巴赫猜想，雖然當(dāng)下的研究沉寂著，但是人類未來(lái)總歸會(huì)解決它。

教學(xué)中注重學(xué)生的活動(dòng)，主要的理論之一是“再創(chuàng)造”。然而“再創(chuàng)造”畢竟不同于“原創(chuàng)造”，更不能只有“再”而沒(méi)有“創(chuàng)造”。對(duì)此，弗賴登塔爾有明確的論述：“我們不應(yīng)該完全遵循發(fā)明者的歷史足跡，而應(yīng)是改良同時(shí)有更好的引導(dǎo)的歷史過(guò)程”[2]?！案玫囊龑?dǎo)”就是體現(xiàn)在結(jié)果的完整呈現(xiàn)上。與“原創(chuàng)造”相比，作為教學(xué)行為的“再創(chuàng)造”的優(yōu)勢(shì)也就在于“教師預(yù)設(shè)了結(jié)果”。學(xué)生、教材、教師三者的有機(jī)融合才構(gòu)成多元化的課堂，任何一方的缺位都不能被允許。教師應(yīng)該把史料中歷經(jīng)多次失敗、長(zhǎng)期探究而得來(lái)的結(jié)果性知識(shí)，在有限的時(shí)間內(nèi)以學(xué)生可接受的形式呈現(xiàn)出來(lái)。只有如此，才能讓學(xué)生站在巨人的肩膀上，反思過(guò)程與結(jié)果，回望他們成功到來(lái)的路徑。1966年“菲爾茲獎(jiǎng)”獲得者阿蒂亞說(shuō)：“如果我們希望把人類積累起來(lái)的知識(shí)一代一代傳下去，我們就必須努力地去把這些知識(shí)加以簡(jiǎn)化和統(tǒng)一”[3]。毫無(wú)疑問(wèn)，“簡(jiǎn)化和統(tǒng)一”應(yīng)該用結(jié)果來(lái)體現(xiàn)，這是教育者的責(zé)任所在。

那么，結(jié)果的“呈現(xiàn)”由誰(shuí)來(lái)完成呢？我們當(dāng)然期待由學(xué)生完成總結(jié)。但數(shù)學(xué)的結(jié)果是用高度專業(yè)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)來(lái)表述的，比如一些規(guī)定的專用符號(hào)和約定，不可能通過(guò)“探究”而得到。因而在學(xué)生總結(jié)基礎(chǔ)上的教師跟進(jìn)概括，不僅提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效率，也可以在規(guī)范化上給學(xué)生做出示范。比如上面案例1中，“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”和“求曲線方程的步驟”，經(jīng)教師啟發(fā)而呈現(xiàn)為完整的規(guī)范結(jié)果，可以給學(xué)生一個(gè)清晰、可靠而概括的印象。在2013年，英國(guó)教育部提出要“改回傳統(tǒng)的嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)”，這對(duì)我們也應(yīng)該是個(gè)值得注意的苗頭[4]。所以，活動(dòng)必須以結(jié)果確認(rèn)為終點(diǎn)，有活動(dòng)必須有總結(jié)，教師專業(yè)化、規(guī)范化的“最終總結(jié)”不可或缺。

三、為什么說(shuō)“結(jié)果也是過(guò)程的一部分”——過(guò)程與結(jié)果的辯證關(guān)系

對(duì)學(xué)生活動(dòng)以及知識(shí)發(fā)現(xiàn)過(guò)程的重視，代表了教育科學(xué)研究的最新潮流。因此從新課改起步階段理論界的重視，到之后一線教師積極回應(yīng)的實(shí)踐，兩者互相激蕩形成共振，掀起的一個(gè)潮頭就是“過(guò)程重于結(jié)果”。這個(gè)潮頭的積極意義是讓一線教師領(lǐng)會(huì)到了新課改的一個(gè)重要思想，并迅速地走到新課改的正確軌道上。但是，把活動(dòng)強(qiáng)調(diào)到偏頗的程度，選擇性地截取一句話而“為我所用”，就顯得過(guò)猶不及了。畢竟數(shù)學(xué)活動(dòng)的最終結(jié)果導(dǎo)向——即數(shù)學(xué)知識(shí)，更有利于繼承和傳播。數(shù)學(xué)（以及其他的文化成果）是以穩(wěn)定的知識(shí)形態(tài)而得以世代流傳的，數(shù)學(xué)的意識(shí)、思想、方法也都需要形成清晰的可表述的形式，才能為學(xué)習(xí)者所領(lǐng)會(huì)和掌握。

案例3：數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。

教學(xué)設(shè)計(jì)1：教師板演求解過(guò)程，得到通項(xiàng)公式an=2n-1，學(xué)生“聽(tīng)懂了”，這個(gè)問(wèn)題即是解決了。對(duì)于教學(xué)水平較高一些的教師還會(huì)讓學(xué)生模仿著練習(xí)，知道“這一類”問(wèn)題就是這樣解決的。

教學(xué)設(shè)計(jì)2：先讓學(xué)生自己探究，遇到困難進(jìn)行討論。然后由學(xué)生把求通項(xiàng)的方法板演（或講演）出來(lái)，其他學(xué)生“聽(tīng)懂了”之后模擬練習(xí)以求鞏固。教師的作用是適當(dāng)點(diǎn)撥，并提供鞏固練習(xí)題。endprint

上面的“教學(xué)設(shè)計(jì)1”，教師的板演代替了學(xué)生的自主活動(dòng)，是只重結(jié)果不重過(guò)程。從達(dá)成的效果上看，學(xué)生“聽(tīng)懂了”之后或許“長(zhǎng)了見(jiàn)識(shí)”，但是沒(méi)有“形成能力”。這是一種低效率的教學(xué)方法，新課改后已經(jīng)被完全拋棄。

“設(shè)計(jì)2”當(dāng)下廣泛流行，極具迷惑性，以致人們認(rèn)為這就應(yīng)該是新課改所提倡的“注重過(guò)程與方法，大膽推進(jìn)學(xué)生探究活動(dòng)”的教學(xué)模式。從達(dá)成的效果上看，學(xué)生的探究意識(shí)得到了強(qiáng)化、問(wèn)題本身得到了解決、自主學(xué)習(xí)的能力得到了提高，因此可預(yù)言“過(guò)程與方法”目標(biāo)的達(dá)成度高。但是此設(shè)計(jì)在“知識(shí)與能力”目標(biāo)上的達(dá)成度還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。課堂上的顯性結(jié)果只有通項(xiàng)公式an=2n-1，只是一個(gè)問(wèn)題得到解決。而在活動(dòng)過(guò)程中，學(xué)生所獲得的豐富體驗(yàn)與經(jīng)驗(yàn)，卻是內(nèi)隱的，沒(méi)有形成整體文字的形式。遇到“同一類”問(wèn)題之時(shí)怎么辦？就只能重新進(jìn)行一次探究了。因此從課堂進(jìn)程上看，學(xué)生“探究體驗(yàn)”豐富了，“探究意識(shí)”增強(qiáng)了，但是我們不能由此肯定他們“探究的能力”有多么大的提高，只能肯定他們更熟練了而已。對(duì)于感悟能力不強(qiáng)的學(xué)生，很可能是之后每遇到一次這種題目，就從頭開(kāi)始再探究。在此，嘗試給出以下的設(shè)計(jì)：

教學(xué)設(shè)計(jì)3：先按“設(shè)計(jì)2”進(jìn)行，在后面加上總結(jié)與反思的環(huán)節(jié)。即要求學(xué)生把活動(dòng)中的“體驗(yàn)與感悟”形成文字的形式。比如總結(jié)成如下的顯性結(jié)果：

總結(jié)：求線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。

方法一：觀察—?dú)w納—證明。

方法二：輔助數(shù)列法，在an+1=pan+q（p≠1）的兩邊同加上，構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列。

方法三（視具體情況選講）：特征方程法。

這里總結(jié)出的結(jié)果，不是公式、不是概念、不是定理，而是蘊(yùn)含的思想方法。即把“思維過(guò)程”總結(jié)成明確的、顯性的、可表達(dá)的成果，并進(jìn)一步地形成思維方式。這里不是向?qū)W生灌輸“題型+方法”，而是把思維活動(dòng)的結(jié)果顯性化?！帮@性化”的過(guò)程是學(xué)生參與的，最終增加了學(xué)生的程序性知識(shí)和策略性知識(shí)。

這里需要考慮的問(wèn)題是把思路與方法固定化、模式化，是不是落入機(jī)械主義的窠臼，走到了“死記硬背”的邪路上去了呢？答案是否定的。事實(shí)上，一是這些方法源于學(xué)生的體驗(yàn)活動(dòng)，是切身感受過(guò)的東西，是學(xué)生自主生成的，不完全是教師給予的，教師起輔助作用；二是這樣的總結(jié)有利于形成思維模塊，對(duì)于提高探究活動(dòng)的效率、形成聚合思維有極大的幫助；三是這些總結(jié)不是“死”知識(shí)，比如案例3中求數(shù)列通項(xiàng)的步驟以及案例1中求曲線方程的五個(gè)步驟等，模式化有益于學(xué)生的能力形成。即使是陳述性知識(shí)，比如概念、公式、原理等，它們或是對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的高度抽象和概括，或是對(duì)一般規(guī)律性的深刻揭示，是人們進(jìn)行思維活動(dòng)的基本語(yǔ)素，是進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本工具，相信沒(méi)有人會(huì)否定這些“定型了的知識(shí)”在認(rèn)識(shí)問(wèn)題和分析問(wèn)題中強(qiáng)大的生命力。

那種只有活動(dòng)而沒(méi)有結(jié)果的課堂，教師充當(dāng)?shù)钠鋵?shí)是牧羊人的角色：把羊趕進(jìn)預(yù)先圈定的草場(chǎng)，讓它們自由啃食。至于啃食多少、消化多少，則不在考慮之列。這樣的教學(xué)，沒(méi)有發(fā)揮出教師應(yīng)有的主導(dǎo)作用。

學(xué)生是不斷發(fā)展中的人。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，他們的數(shù)學(xué)知識(shí)在不斷地豐富、認(rèn)知和能力結(jié)構(gòu)在不斷地改進(jìn)。學(xué)生由較低層次的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，調(diào)動(dòng)他們的知識(shí)、啟動(dòng)他們的思維、投入他們的情感，進(jìn)行新一層次的數(shù)學(xué)活動(dòng)；再進(jìn)行更高一層的抽象、概括、解析、整合、具體化和一般化，數(shù)學(xué)活動(dòng)的深度增加了、廣度擴(kuò)大了；最后得到了更高一級(jí)的知識(shí)，再把高一級(jí)的知識(shí)投入到數(shù)學(xué)活動(dòng)之中，又帶來(lái)更高強(qiáng)度更高水平的數(shù)學(xué)活動(dòng)……

這樣，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)入以下的循環(huán)：過(guò)程→結(jié)果→又一個(gè)過(guò)程→又一個(gè)結(jié)果……有時(shí)候很難把結(jié)果和過(guò)程截然分開(kāi)，過(guò)程里有結(jié)果，結(jié)果里有過(guò)程，或交替、或并行、或分立、或融合，在循環(huán)往復(fù)中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)知的螺旋式上升。就像《九九乘法表》一樣，既可以看作是已知的運(yùn)算的結(jié)果，也可以看作是可用的運(yùn)算程序，支撐著運(yùn)算活動(dòng)的全過(guò)程。

數(shù)學(xué)活動(dòng)是以數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)、用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題，從而感悟數(shù)學(xué)知識(shí)、形成數(shù)學(xué)能力的實(shí)踐活動(dòng)。重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程與結(jié)果，可以使得學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)不僅知其然，而且知其所以然。沒(méi)有過(guò)程的“結(jié)果”和沒(méi)有結(jié)果的“過(guò)程”，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)而言都是殘缺的，都不能形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。那種把一切交給學(xué)生、有活動(dòng)無(wú)總結(jié)的課堂，在鶯歌燕舞之中很可能使“數(shù)學(xué)化”淪為虛無(wú)，使源自于數(shù)學(xué)自身的標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范蕩然無(wú)存。

教學(xué)中“過(guò)程”和“結(jié)果”是數(shù)學(xué)活動(dòng)的雙翼，無(wú)孰重孰輕。理解過(guò)程與結(jié)果的辯證關(guān)系，即需要通過(guò)方法論的重建使得教學(xué)內(nèi)容真正成為可以理解的、可以學(xué)到手和可以加以推廣利用的，從而將數(shù)學(xué)課真正“教活、教懂、教深”。“所謂‘教活，是指教師應(yīng)當(dāng)通過(guò)自己的教學(xué)活動(dòng)向?qū)W生展現(xiàn)‘活生生的數(shù)學(xué)探究過(guò)程，而不是死的數(shù)學(xué)知識(shí)；所謂‘教懂，是指教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生真正理解有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，而不是囫圇吞棗，死記硬背；所謂‘教深，則是指教師在教學(xué)中不僅應(yīng)使學(xué)生掌握具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且也應(yīng)幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)內(nèi)在的思維方法。”[5]

數(shù)學(xué)教學(xué)中的過(guò)程與結(jié)果各有各的功效，新課程重視學(xué)生的過(guò)程參與，但并不說(shuō)明結(jié)果不重要了，數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該走極端化。在教學(xué)中讓學(xué)生參與學(xué)習(xí)過(guò)程有助于他們對(duì)結(jié)果的理解，但為展示學(xué)生的思維而只注重過(guò)程的做法是不可取的。為此，課堂教學(xué)評(píng)價(jià)目標(biāo)，宜著力在以下七個(gè)方面實(shí)現(xiàn)：一是課堂教學(xué)目標(biāo)是否明確、適當(dāng)，二是教學(xué)要求是否根據(jù)實(shí)際需要做出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，三是教學(xué)內(nèi)容是否切合學(xué)生的承受能力和發(fā)展需求，四是教學(xué)過(guò)程是否關(guān)注學(xué)生的全面發(fā)展，五是教學(xué)方法的選擇是否能夠提高教學(xué)效率和學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，六是學(xué)生的參與度與參與面是否足夠深廣，七是學(xué)生是否真正學(xué)以致用且目標(biāo)達(dá)成度高。

數(shù)學(xué)不僅幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，同時(shí)為人們交流信息提供了一種有效、簡(jiǎn)捷的手段；數(shù)學(xué)在對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫的基礎(chǔ)上，逐步抽象概括，形成方法和理論，并進(jìn)行應(yīng)用，這一過(guò)程除了邏輯和證明外，充滿著探索與創(chuàng)造[6]。強(qiáng)化“為促進(jìn)學(xué)習(xí)而教”的理念，在過(guò)程與結(jié)果之間尋找恰當(dāng)?shù)钠胶恻c(diǎn)，讓過(guò)程與結(jié)果相得益彰。這就需要正確認(rèn)識(shí)師生交往、師生互動(dòng)、共同發(fā)展的現(xiàn)代教學(xué)觀，在教學(xué)過(guò)程中自覺(jué)地將外在的教育理念物化為自身的課堂教學(xué)行為，才能讓過(guò)程與結(jié)果并重，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生全面素質(zhì)的提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育研究者的專業(yè)成長(zhǎng)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013（10）.

[2]弗賴登塔爾著，陳昌平、唐瑞芬譯.作為教學(xué)任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1995：3.

[3]徐本順、殷啟正.數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法[M]，大連：大連理工大學(xué)出版社，2008.5.

[4]黎景輝.關(guān)于數(shù)學(xué)教育知識(shí)鏈的傳遞問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014（2）.

[5]鄭瑋、鄭毓信，HPM與數(shù)學(xué)教學(xué)中的再創(chuàng)造[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013（3）.

[6]孔凡哲、王郢.在課堂教學(xué)中如何看待過(guò)程與結(jié)果[J].廣西教育，2005，（6）.

（屠桂芳，南京市第十三中學(xué)，210008）

責(zé)任編輯：顏瑩endprint