陳利全 張貴梅

【摘要】 依據(jù)現(xiàn)行的教材版本，二次根式概念使用揭示外延方法定義的，此概念即非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.教師同法跟進(jìn)，回避不了兩個(gè)細(xì)小問(wèn)題：為什么要學(xué)習(xí)二次根式？“-（a ≥ 0）”叫不叫二次根式？教材如此編寫的意圖何在？這兩個(gè)問(wèn)題如何解決？作為教師必須要有清醒的認(rèn)識(shí)，實(shí)踐中才能使自己視野開闊，心中有數(shù)，手腳解放.

【關(guān)鍵詞】 二次根式概念；問(wèn)題；解決辦法

新人教版二次根式章節(jié)內(nèi)關(guān)于概念的引入，采用列舉幾個(gè)實(shí)例的方法，出現(xiàn)了幾個(gè)正數(shù)求算術(shù)平方根的情況，由此引出二次根式的概念.即：型如（a ≥ 0）的式子稱作二次根式.在這里，教材是采用揭示外延的方法來(lái)給概念定義的.這樣處理的合理性在于：1. 反映了客觀現(xiàn)實(shí)需求催生二次根式這一新內(nèi)容.2. 凸顯數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性和教學(xué)的工具性.3. 教材體現(xiàn)知識(shí)主干內(nèi)容、為教師充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性預(yù)留空間.但也有不足點(diǎn)，就是弱化知識(shí)體系的建構(gòu)脈絡(luò).實(shí)踐中，許多教師在進(jìn)行這個(gè)內(nèi)容教學(xué)時(shí)，同法跟進(jìn)，簡(jiǎn)單處理，很容易忽略下面三個(gè)細(xì)小問(wèn)題.

一、為什么要學(xué)習(xí)二次根式

代數(shù)學(xué)的主要標(biāo)志是用字母表示數(shù).初中關(guān)于式的運(yùn)算體系是漸進(jìn)建立的，由整式、分式過(guò)渡到根式是運(yùn)算體系的自然延展，是字母位置標(biāo)注出式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的必然展現(xiàn)，是客觀世界數(shù)量關(guān)系的定量描述的需要，是數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史使命和歷史階段.簡(jiǎn)單說(shuō)，是數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)客觀存在，是建構(gòu)知識(shí)體系的需要，所以，我們要研究學(xué)習(xí)二次根式.數(shù)學(xué)一門工具學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)主要為了計(jì)算，二次根式也是一種運(yùn)算方式，如兩個(gè)數(shù)的積有平方的表現(xiàn)形式，那么反過(guò)來(lái)哪個(gè)數(shù)的平方等于已知數(shù)呢？這就是二次根式表達(dá)的意義，在實(shí)際的問(wèn)題中，如已知正方形的變長(zhǎng)，可以簡(jiǎn)單的求出面積，那么已知正方形的面積，如何求邊長(zhǎng)呢，這是二次根式要解決的問(wèn)題，也是學(xué)習(xí)二次根式的重要原因.

二、“-（a ≥ 0）”是不是二次根式

按教材的處理方法，這個(gè)問(wèn)題不容易回答.如果回答是，概念的外延中沒(méi)有包含，如果回答不是，我們行將在后續(xù)課時(shí)中又會(huì)加以認(rèn)可和運(yùn)用.如3 - （-）這樣的運(yùn)算問(wèn)題.實(shí)踐中，有教師采取回避辦法，此課時(shí)中一律不出現(xiàn)型如“-（a ≥ 0）”的式子，讓這個(gè)問(wèn)題根本不顯現(xiàn)，還有教師根本沒(méi)意識(shí)到這個(gè)問(wèn)題，稀里糊涂默認(rèn)它是，并且唐突地在習(xí)題中加以應(yīng)用.

三、重視（a ≥ 0）中的a ≥ 0

在很多數(shù)學(xué)題的計(jì)算中，大部分學(xué)生會(huì)忽略二次根式的隱晦條件，即a是大于等于0的，如果能夠充分的運(yùn)用這個(gè)條件，很多題目將會(huì)變得更加簡(jiǎn)單.如在a滿足|2012 - a| + = a，那么a - 20122的值為多少的選擇題中，已知四個(gè)答案分別為2011，2012，2013，2014，按照傳統(tǒng)的解方程方式，直接求出a的具有較大的難度，如能抓?。╝ ≥ 0）中a ≥ 0這個(gè)隱晦條件，就可知本題中的a - 2013 ≥ 0，故而a ≥ 2013，然后化簡(jiǎn)題目中的方程，最終得出答案為2013.很多教師在實(shí)際課堂教學(xué)的過(guò)程中，往往會(huì)忽視這些簡(jiǎn)單的隱晦條件，使得學(xué)生在解題中，經(jīng)常會(huì)忘記利用最基本的條件，浪費(fèi)了解題的時(shí)間.

四、問(wèn)題的解決

關(guān)于第一個(gè)問(wèn)題，可以采用組題式設(shè)問(wèn)解決，具體做法是：

（1）計(jì)算：a（a - b） - （a + b）2.這是一道什么類型的計(jì)算題目？

（2）計(jì)算： - .這又是一道什么類型的計(jì)算題目？

（3）計(jì)算： - .誰(shuí)能解答這個(gè)問(wèn)題？

（4）上列三個(gè)式子的異同點(diǎn)是什么？

師生共同揭示：都是用字母表示的數(shù)的運(yùn)算，不同之處在于字母在式中的位置不相同.

教師點(diǎn)題：關(guān)于式的運(yùn)算我們遇到了新的問(wèn)題，我們學(xué)習(xí)二次根式就是要完善式的運(yùn)算，從而建構(gòu)式的運(yùn)算體系.也可以利用一些實(shí)際問(wèn)題，來(lái)引入二次根式的概念，讓學(xué)生們切身的體會(huì)到為什么要學(xué)習(xí)二次根式，如在以往的學(xué)習(xí)中，我們知道已知圓形的半徑求圓的面積，那么現(xiàn)在已知圓形的面積，如何求出圓的半徑呢？老師可以根據(jù)課堂的實(shí)際情況，給出具體的數(shù)目.如已知圓形的面積為2π平方厘米，那么讓學(xué)生們分組討論該圓形的半徑是多少，學(xué)生們經(jīng)過(guò)討論后會(huì)得出，半徑的乘積是2厘米，老師這個(gè)時(shí)候就可以點(diǎn)題，利用二次根式就可以表達(dá)出半徑是厘米.這樣的教學(xué)方式，能夠讓學(xué)生直觀的了解到二次根式的概念，以及為什么要學(xué)習(xí)二次根式.

關(guān)于第二個(gè)問(wèn)題，可以告訴學(xué)生：1. 由正數(shù)的平方根概念知道（a > 0）和-（a > 0）是成對(duì)出現(xiàn)的，±（a ≥ 0）作為一個(gè)數(shù)看待，僅是性質(zhì)符號(hào)不同，它們作為概念的本質(zhì)屬性是一樣的，所以“-（a ≥ 0）”是二次根式（當(dāng)然，要回避概念定義法的規(guī)則）.2. 定義二次根式概念時(shí)，沒(méi)有列舉出外延中帶負(fù)號(hào)的部分，考慮到了前述第一個(gè)理由，也考慮到了學(xué)生已有代數(shù)和這個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)，可以理解將性質(zhì)符號(hào)與運(yùn)算符號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的道理，定義二次根式時(shí)，等同關(guān)注有負(fù)號(hào)的情形，既無(wú)價(jià)值，又顯浪費(fèi).3. 在舉例環(huán)節(jié)，增加“4的平方根是多少？”“a（a ≥ 0）的平方根如何表示？”兩個(gè)小問(wèn)，然后抽象出型如“±（a ≥ 0）”的式子叫二次根式.-（a ≥ 0）是不是二次根式，這并不是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，大部分學(xué)生不會(huì)在概念上糾結(jié)，因此老師可以將重點(diǎn)放到計(jì)算上，總之，無(wú)論采用哪種辦法，必須符合邏輯，切合學(xué)生實(shí)情.

關(guān)于第三個(gè)問(wèn)題，可以向?qū)W生多講解些相關(guān)的題目，讓學(xué)生們加深理解和記憶，在課本和相關(guān)的試題冊(cè)中，這樣的題目有很多.

我們討論上述問(wèn)題，并不代表上述觀點(diǎn)要在課堂之中一一呈現(xiàn)，但上述問(wèn)題始終客觀存在，教師是不能在自覺(jué)狀態(tài)下給回避掉的，況且，教材的嚴(yán)謹(jǐn)性也值得教師理解和關(guān)注.對(duì)于二次根式概念教學(xué)中容易忽略的問(wèn)題，應(yīng)該從教師和學(xué)生兩個(gè)方面進(jìn)行考慮，教師做到心中有數(shù)，應(yīng)對(duì)有理，總能彌補(bǔ)、避免課中的缺憾.