趙雁泉

摘 要： 從“說課”到“說教學(xué)片斷”再到“說題”，教研活動(dòng)中的“說”的范圍在逐步縮小，卻更有實(shí)效。“說題”能夠充分展示教學(xué)問題及解決問題的過程，還能夠通過一題多a，一題多變，一題多用揭示數(shù)學(xué)思維的過程，提高學(xué)生解決問題的能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂輕負(fù)高質(zhì)的效果。教師說題活動(dòng)能夠促進(jìn)參與者深入研究題目功能及教學(xué)策略，更能踐行有效課堂教學(xué)，深入教學(xué)的研究和反思，促進(jìn)教師的專業(yè)成長。

關(guān)鍵詞： 說題 變式 解決問題 數(shù)學(xué)思維 創(chuàng)新能力

一、說題的背景

觀察當(dāng)前的課堂發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)教師仍以“基本知識(shí)，基本技能”教學(xué)為主，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力培養(yǎng)體現(xiàn)不夠。老師們經(jīng)常埋怨把以前做過、講過的題目，再拿給學(xué)生做，學(xué)生又不會(huì)了。我認(rèn)為這主要是因?yàn)榻處熢诘谝淮沃v解這些題目時(shí)，對(duì)題目功能的挖掘不夠。就題論題，做一題，換一題，使學(xué)生的思維跟著跳躍?；蛘呤墙處熢谥v解時(shí)，只告訴學(xué)生怎么做，而沒有呈現(xiàn)為什么這么做的思維過程，導(dǎo)致學(xué)生不能真正深入理解知識(shí)、方法，缺乏舉一反三，融會(huì)貫通。所以，教師研究題目，研究解題教學(xué)，提高課堂教學(xué)效率是一項(xiàng)重要工作。在遇到新問題時(shí)，如何幫助學(xué)生找到條件和結(jié)論之間的邏輯聯(lián)系和橋梁，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，成了我常常思考的問題。筆者今年有幸參加了杭州市說題比賽、展示活動(dòng)，我深刻體會(huì)到說題能夠促進(jìn)教師深入挖掘題目功能，研究解題教學(xué)策略，從而提高課堂教學(xué)質(zhì)量。教師為了說題會(huì)進(jìn)行深層次備課，突出問題解決的過程，特別是揭示思維展示的過程，歸納問題的典型特性，教學(xué)目標(biāo)從原來的“雙基”到“四基”，體現(xiàn)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新意識(shí)。因此，說題活動(dòng)是教師改變當(dāng)前課堂狀況的有效策略之一。

二、說題的定義

在說題之前，先進(jìn)行解題，解題后，把題目的功能，如何審題、分析、解答、變式、拓展和回顧的思維過程按一定的規(guī)律和順序加以敘述，這就是說題。說題時(shí)間一般控制在10分鐘左右，不超過15分鐘。說題分為“教師說題”、“教師和學(xué)生互動(dòng)說題”和“學(xué)生說題”等。本文主要和大家交流教師說題。在我看來，教師說題更是一種教學(xué)教研活動(dòng)，是促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展的有效途徑。教師說題是類似于說課的一種教育教研展示和討論活動(dòng)，是說課的延續(xù)和創(chuàng)新，但是比說課更有針對(duì)性，是一種更深層次備課后的展示。

三、說題的作用

說題能促進(jìn)教師精選題目，并充分研究和挖掘題目功能，完善教學(xué)方法，精簡講練，這在一定程度上能夠避免題海戰(zhàn)術(shù)，實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的輕負(fù)高質(zhì)。

（一）說題促進(jìn)教師更深層次的備課，有利于提升教師的學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)。

說題之前，教師要進(jìn)行一系列的準(zhǔn)備工作，如：仔細(xì)查閱相關(guān)資料，認(rèn)真學(xué)習(xí)相關(guān)的理論，深刻研究學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)與分類，了解關(guān)于問題的來源，研究問題考查的目的，考查的知識(shí)、思想方法、解題經(jīng)驗(yàn)等。這對(duì)于教師把握整個(gè)教材體系和課標(biāo)及對(duì)學(xué)生的了解的要求更高，思維能力要求更強(qiáng)。說題要求教師理論與實(shí)踐的結(jié)合，說題能使教師不僅注重結(jié)果，更注重過程教學(xué)，同時(shí)也注重開放式教學(xué)。所以說題能有效提高教師的專業(yè)能力、教學(xué)能力和教研能力，有利于提升教師的學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)。

（二）說題改變課堂教學(xué)方式，有助于提高學(xué)生解決問題的能力。

說題改變了教師的教學(xué)方式，也就改變了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。學(xué)生會(huì)在教師的潛移默化下，學(xué)會(huì)用分析法和綜合法分析問題；學(xué)會(huì)用多種方式解決一個(gè)問題，并舉一反三；學(xué)會(huì)從中知道這道題所包含的理論層面的知識(shí)，解決一類問題，一題多用。這樣既能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生解決問題的能力，又能夠培養(yǎng)學(xué)生敢于探索和創(chuàng)新的精神，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（三）說題是提高教研活動(dòng)效率的有效途徑之一。

聽一節(jié)課需要40～45分鐘，而說題只需10分鐘左右，所以說題時(shí)間短，切口小，但涉及的方面多。一次教研活動(dòng)可以有多人進(jìn)行說題展示，所以說題活動(dòng)是一種有效的教研形式。教師“說”數(shù)學(xué)問題的解決方法和策略，實(shí)質(zhì)是展示自身的理論功底，數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，以及數(shù)學(xué)方法的理解能力和數(shù)學(xué)教學(xué)的前瞻性。通過課堂的具體實(shí)踐，又使教師自身的教育理論得以提煉，也給旁人提供參考，使集體的智慧得以充分發(fā)揮。說題者要努力尋求現(xiàn)代教育理論的指導(dǎo)，評(píng)價(jià)者也要努力尋求說題教師的特色與成功經(jīng)驗(yàn)的理論依據(jù)，說評(píng)雙方圍繞著共同的課題達(dá)成共識(shí)，達(dá)到取長補(bǔ)短、優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的效果，說題者得到反饋，進(jìn)而改進(jìn)、提高和完善自己的教學(xué)方案；聽者從中得到比較、鑒別和借鑒，得到案例示范和理論滋養(yǎng)兩方面的收益，營造了良好的教研氛圍。

四、說題的實(shí)踐

下面以筆者參加杭州市說題展示活動(dòng)為例，闡述說題的過程。

（一）說題引入。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》明確指出初中數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的空間觀念，形成幾何直觀能力，發(fā)展合情推理和演繹推理能力。幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有很大的作用。下面看一個(gè)幾何問題。

（二）題目呈現(xiàn)。

如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊DC，CB上的點(diǎn)，且DE=CF，以AE為邊作正方形AEHG，HE與BC交于點(diǎn)Q，連接DF。

（1）若E是CD的中點(diǎn)，求證：Q為CF的中點(diǎn)；

（2）連接AQ，設(shè)S=S，S=S，S=S，在（1）的條件下，判斷S+S=S是否成立？并說明理由.

（三）題目賞析。

1。題目來源：本題改編自2015年四川省資陽市中考數(shù)學(xué)試題的第23題。

2。題目功能：本題注重考查的知識(shí)有正方形的性質(zhì)，全等和相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理。本題需要學(xué)生具備的基本能力是直觀理解能力、觀察分析能力、邏輯思維能力和問題轉(zhuǎn)化能力。本題所用的基本思想方法是數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想。本題使學(xué)生獲得的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)會(huì)用分析、綜合法找到條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)聯(lián)，善于從復(fù)雜圖形中分解出常用圖形。

3。學(xué)情分析：學(xué)生往往能熟練掌握全等的判定和性質(zhì)，也能發(fā)現(xiàn)相似三角形，但是，多次相似的轉(zhuǎn)化難度較大，不能很好地與勾股定理結(jié)合，轉(zhuǎn)化綜合分析能力欠缺。

（四）解法分析。

解法分析不僅要講清楚如何解題，更要展現(xiàn)為什么要這樣解題的思維過程，同時(shí)也要用多種途徑解決問題。

1。第一小題的解法：

（1）解法一：用平行線分線段成比例定理

思維分析過程有兩種：

①執(zhí)果索因：

②由因?qū)Ч?/p>

（2）解法二：用相似三角形的判定和性質(zhì)

將待證結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明QC：CE=1：2，由題目的條件可知DE：DA=1：2，所以只要證QC：CE=DE：DA，那么就需要證明△QCE∽△EDA。

2。第二小題的解法：

（1）解法一：相似三角形面積比等于對(duì)應(yīng)邊之比的平方，結(jié)合勾股定理。

思維過程是：面積問題相似三角形面積比

S+S=S？坩+=1？坩+=1？坩△CQE～△QEA～△EDA

（2）解法二：代數(shù)法。

設(shè)CQ=QF=a，那么CE=DE=2a，AD=4a，我們可以求得S=a，S=4a，S=5a，從而得到S+S=S。這里，用代數(shù)方法非常簡潔明了。

（3）解法三：面積的割大和補(bǔ)小。題目結(jié)論S+S=S中有“+”號(hào)，一般想到面積的割大補(bǔ)小。

①面積的割大：將△ADE沿著AE所在的直線對(duì)折，證明點(diǎn)D與點(diǎn)I重合，然后證明△QCE≌△QIE，從而得到S+S=S。

②面積的割?。簩ⅰ鱍CE繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度，易證點(diǎn)A、D、Q′共線?！鱍CE的面積轉(zhuǎn)化到△Q′DE，然后證明△Q′AE≌△QAE，從而得到S+S=S。

一題多解是對(duì)同一問題尋求不同的解決方法，多角度思考問題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維。但是教師不能盲目追求解法多樣性，而是應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從解題思路差異性、解題過程簡潔性、解題思維優(yōu)越性三方面進(jìn)行比較，選出最優(yōu)化的方法，力求簡單、直接。

（五）變式拓展。

數(shù)學(xué)本身也是主體建構(gòu)的產(chǎn)物，她應(yīng)該是活的，動(dòng)態(tài)的，開放的，表現(xiàn)多維度的。一個(gè)問題的多種變化，其中既包括解題過程中的各種鋪墊，又包括對(duì)原問題的各種引申，如：改變條件，改變結(jié)論，一般化等。既然知識(shí)學(xué)習(xí)是一個(gè)建構(gòu)的過程，那么就要突出學(xué)習(xí)者的主體作用，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》要求我們關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，讓不同層次的學(xué)生獲得不同的發(fā)展。

1。針對(duì)學(xué)困生的變式拓展，重在基本圖形的探究。以下三個(gè)變式，為學(xué)生能從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形，并能分析其中基本元素及其關(guān)系積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

變式1?；緢D形：全等

已知：正方形ABCD中，DE=CF，求證：△ADE≌△DCF。

變式2。基本圖形：一線三直角

已知：Rt△ADE與Rt△ECQ，且AE⊥QE，求證：△ADE∽△ECQ。

變式3?；緢D形：一線三等角

已知：△ADE與△ECQ，且∠C=∠AEQ=∠D，求證：△ADE∽△ECQ。

針對(duì)學(xué)困生，我們要善于退，退到原始而不失重要性的地方，容易看清問題的本質(zhì)。

2。針對(duì)中等生的變式拓展：將正方形變?yōu)榱庑?，其他條件不變。

變式4：如圖，E，F(xiàn)分別是菱形ABCD的邊DC，CB上的點(diǎn)，且DE=CF，以AE為邊作菱形AEHG，HE與BC交于點(diǎn)Q，連接DF。

（1）若E是CD的中點(diǎn)，求證：Q為CF的中點(diǎn)；

（2）連接AQ，設(shè)S=S，S=S，S=S，在（1）的條件下，判斷S+S=S是否成立？并說明理由.

思路分析：將△QCE的面積轉(zhuǎn)化到△Q′DE，然后證明△Q′AE的面積與△QAE的面積相等，從而得到S+S=S。

針對(duì)中等生，我們還可以將特殊問題拓展到任意情況。

變式5。如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊DC，CB上的點(diǎn)，且DE=CF，以AE為邊作正方形AEHG，HE與BC交于點(diǎn)Q，連接AQ，設(shè)S=S，S=S，S=S。

（1）當(dāng)CE=CD時(shí)，探究S，S，S的關(guān)系式，并說明理由。

（2）當(dāng)CE=CD時(shí)，探究S，S，S的關(guān)系式，并說明理由。

（3）當(dāng)CE=CD時(shí)，探究S，S，S的關(guān)系式，并說明理由。

思路分析：將中點(diǎn)變?yōu)槿确贮c(diǎn)，四等分點(diǎn)甚至N等分點(diǎn)，條件開放。E點(diǎn)位置改變，△QCE和△MDE不再全等，而是相似，面積的比值就是對(duì)應(yīng)邊的平方比。我們?nèi)匀豢梢杂脦缀未鷶?shù)相結(jié)合的方法找出面積的數(shù)量關(guān)系。從特殊推廣到一般，得到四等分點(diǎn)和N等分點(diǎn)的時(shí)候的面積數(shù)量關(guān)系。

（1）當(dāng)CE=CD時(shí)，延長QE交AD的延長線于點(diǎn)M，可證△CEQ∽△DEM，由相似三角形面積比是對(duì)應(yīng)邊之比的平方，得到：S=4S，我們還可以得到△AEM的面積是△AEQ面積的兩倍，因此我們得出結(jié)論：2S=S+4S。

運(yùn)用從特殊到一般的思想，我們不難得到：

（2）當(dāng)CE=CD時(shí)，延長QE交AD的延長線于點(diǎn)M，同理：3S=S+9S。

（3）當(dāng)CE=CD時(shí)，延長QE交AD的延長線于點(diǎn)M，同理：（n-1）S=S+（n-1）S。

3。針對(duì)學(xué)優(yōu)生，我們可以將E點(diǎn)變?yōu)閯?dòng)點(diǎn)，變式拓展為動(dòng)態(tài)幾何的問題。

變式6。正方形ABCD的邊長為1，E為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，以AE為邊作正方形AEHG，HE與BC交于點(diǎn)Q。當(dāng)點(diǎn)E從C向D運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段CQ的長度的最大值。

思路分析：在點(diǎn)E從C向D運(yùn)動(dòng)過程中，我們發(fā)現(xiàn)△CQE∽△DEA一直存在，用函數(shù)與方程的思想就能解決問題。設(shè)CE=x，DE=1-x，CQ=y，利用△QCE∽△EDA列出對(duì)應(yīng)邊成比例的方程式，就能得到函數(shù)式：y=x-x=-（x-）+，最后用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求出最大值。

變式7。如圖，E，F(xiàn)分別是邊長為a的正方形ABCD的邊DC，CB上的點(diǎn)，且DE=CF，AE與DF交于點(diǎn)P，連接BP。當(dāng)點(diǎn)E在直線CD上移動(dòng)時(shí)，求BP的最小值。

思路分析：當(dāng)E在直線CD上任意移動(dòng)，保持DE=CF，那么運(yùn)動(dòng)過程中一直有△CDF≌△DAE，因此AE⊥DF恒成立。我們可以得到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是：在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)（記線段AD的中點(diǎn)為圓心O）。所以，BP的最小值就是當(dāng)BPO共線的時(shí)候最短，BP的最小值為。這里用的是轉(zhuǎn)化與化歸的思想。

（六）反思回顧。

數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容和所使用方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化化歸，從特殊到一般，函數(shù)與方程等思想是數(shù)學(xué)課程的重要目的。

“圖形與證明”，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的作用顯而易見。如何引導(dǎo)學(xué)生探索圖形的性質(zhì)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中不斷發(fā)展合情推理，并體會(huì)到證明的必要性，理解證明的基本過程，掌握演繹推理的基本格式是初中“空間與圖形”學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。學(xué)生通過靈活綜合應(yīng)用知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高解決問題的能力。

五、說題的成效

杭州市及各區(qū)教師開展說題研究已經(jīng)進(jìn)行了多年，市、區(qū)多次進(jìn)行了說題比賽和研討。經(jīng)過這么多年的說題鍛煉，教師的學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)得到了很快提升，學(xué)生分析問題、解決問題的能力也有了明顯提升。

（一）說題活動(dòng)促進(jìn)了教師迅速成長。

前陣子，筆者有幸擔(dān)任區(qū)中級(jí)評(píng)職模擬上課的評(píng)委，發(fā)現(xiàn)工作才六年的青年數(shù)學(xué)教師在分析例題環(huán)節(jié)比以前有了很大的進(jìn)步。他們淋漓盡致地展示了例題解決的思維過程，而不是直接告訴學(xué)生如何解，而且他們對(duì)例題都及時(shí)進(jìn)行了變式拓展，這讓在場(chǎng)的評(píng)委都很欣喜。近年來，說題活動(dòng)通過層層選拔，次次觀摩，促進(jìn)教師對(duì)教材、習(xí)題、試題、問題教學(xué)進(jìn)行鉆研。只有教師對(duì)教材和練習(xí)了然于胸，注重問題解決思維過程，才能高屋建瓴，發(fā)展學(xué)生思維。說題有效促進(jìn)了教師的專業(yè)化成長。

（二）說題活動(dòng)提高了學(xué)生解決問題的能力。

平時(shí)上課，我班的學(xué)生在回答如何解決問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這樣回答：

“我是從結(jié)論出發(fā)，一步一步倒推后找到這個(gè)思路的?！?/p>

“我是從這個(gè)已知條件入手，想到……”

“我是從另一個(gè)條件入手，找到了和他不同的解題方法……”

“老師，我發(fā)現(xiàn)這個(gè)題目可以把這個(gè)特殊條件：中點(diǎn)，去掉，換成一般條件：任意一點(diǎn)，結(jié)論仍然成立?！?/p>

……

也就是說，在教師的潛移默化下，學(xué)生學(xué)會(huì)了解決問題的思考方式。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不再是被動(dòng)接受、記憶、模仿和練習(xí)。通過教師說題，學(xué)生也能學(xué)會(huì)說題，會(huì)用不同的途徑解決同一個(gè)問題，還會(huì)用同一個(gè)方法解決不同的問題。學(xué)生學(xué)習(xí)變得更主動(dòng)積極，思維能力和創(chuàng)新意識(shí)得到了培養(yǎng)和發(fā)展。

六、說題的反思

（一）說題要避免模式化，應(yīng)該突出個(gè)性。

說題有一般的模式，但是也不應(yīng)太程式化，教師說題對(duì)題目的處理要有獨(dú)到之處，彰顯極富創(chuàng)意之處，只有這樣，才能給人耳目一新的感覺，煥發(fā)說題的活力。說題需要有“亮點(diǎn)”，不管哪種形式的說題，一定要力求重點(diǎn)突出，把體現(xiàn)本題個(gè)性特色的元素充分展示出來，這樣才能使聽者更好地了解說題的特點(diǎn)，才能發(fā)揮說題的特有功效。一個(gè)有特色的多媒體課件也可以讓說題更精彩。說題是說者和聽者的雙邊活動(dòng)，無論在說題中采用哪種方法，都需要教師用豐富的情感激發(fā)聽者的興趣和熱情。

（二）說題的板書要簡練得當(dāng)。

說題因時(shí)間有限，所以說題者不需把說的所有內(nèi)容都板書在黑板上，只要把一些主要的解題環(huán)節(jié)板書在黑板上即可，使聽者能聽懂，但又不繁瑣。

（三）教師的解題能力有待提高。

中國古代文學(xué)家教育家劉勰說：“操千曲而后曉聲，觀千劍而后識(shí)器。”要有高質(zhì)量的、精彩的說題，教師自身有較強(qiáng)的解題能力是關(guān)鍵，否則是無米之炊。所以，教師平時(shí)要多解題，多研究題，當(dāng)然也要研究課標(biāo)，研究中考的方向。

參考文獻(xiàn)：

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