高尚軍

摘 要： 針對課改下數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題及對策，中考“最短問題”多以直線、角、三角形、特殊的平行四邊形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、函數(shù)等載體出現(xiàn).我們解題的對策是根據(jù)軸對稱實現(xiàn)化“折”為“直”，利用“兩點之間線段最短”、“垂線段最短”解決.

關(guān)鍵詞： 新課改 最短問題 數(shù)學(xué)模型 應(yīng)對策略

一、數(shù)學(xué)模型

1.兩點之間線段最短

（1）如圖1，直線l和l的異側(cè)兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小.

（2）如圖2，直線l和l的同側(cè)兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小.（3）如圖3，點P是∠MON內(nèi)的一點，分別在OM，ON上作點A，B，使△PAB的周長最小.（4）如圖4，點P，Q為∠MON內(nèi)的兩點，分別在OM，ON上作點A，B，使四邊形PAQB的周長最小.

2.垂線段最短

如圖5，（1）點A是∠MON外的一點，在射線OM上作點P，使PA與點P到射線ON的距離之和最小.（2）點A是∠MON內(nèi)的一點，在射線OM上作點P，使PA與點P到射線ON的距離之和最小.

二、應(yīng)對策略

（一）利用“兩點之間線段最短”解決

如圖6，在矩形OABC中，已知A、C兩點的坐標(biāo)分別為A（4，0）、C（0，2），D為OA的中點，設(shè)點P是∠AOC平分線上的一個動點（不與點O重合）.

（1）試證明：無論點P運動到何處，PC總與PD相等.

（2）當(dāng)點P運動到與點B的距離最小時，試確定過O、P、D三點的拋物線的解析式. （3）設(shè)點E是（2）中所確定拋物線的頂點，當(dāng)點P運動到何處時，△PDE的周長最?。壳蟪龃藭r點P的坐標(biāo)和△PDE的周長.

（4）設(shè)點N是矩形OABC的對稱中心是否存在點P，使∠CPN=90°？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo).

（二）利用“垂線段最短型”解決

參考文獻(xiàn)：

[1]中考試題匯編題解，2015.

項目名稱：本文是2015年度甘肅省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題《基礎(chǔ)教育課程改革中的問題及對策研究》，課題批準(zhǔn)號：GS[2015]GHB1546的階段性研究成果之一。