馮文俊　王俊新

[摘要]滲透數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生對(duì)《微積分》課程有宏觀認(rèn)識(shí)和總體把握，充分認(rèn)識(shí)到《微積分》課程的重要性，了解《微積分》課程的美，從而喜歡這門課程并對(duì)學(xué)習(xí)這門課程充滿信心。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)文化；總體把握；重要性；美

[中圖分類號(hào)]G64 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[資助項(xiàng)目]山西財(cái)經(jīng)大學(xué)2011年教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2011131）

學(xué)生從小學(xué)到大學(xué)學(xué)習(xí)了多年的數(shù)學(xué)，普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)課程難且枯燥乏味，對(duì)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)沒有總體認(rèn)識(shí)和宏觀把握，沒有足夠的信心，感受不到數(shù)學(xué)課程的重要性和美?；趯W(xué)生在高中階段對(duì)《微積分》課程已有初步的了解，在大學(xué)上第一節(jié)《微積分》課程時(shí)，充分滲透數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生對(duì)《微積分》課程有宏觀認(rèn)識(shí)和總體把握，充分認(rèn)識(shí)到《微積分》課程的重要性及《微積分》課程的美，從而喜歡這門課程并對(duì)學(xué)習(xí)這門課程充滿信心。

一、滲透數(shù)學(xué)文化，了解《微積分》課程誕生的歷史，使學(xué)生對(duì)《微積分》課程有宏觀認(rèn)識(shí)和總體把握

1?！段⒎e分》課程第一至四章的來源

在上大學(xué)第一節(jié)《微積分》課程時(shí)，先講《微積分》課程誕生的歷史。牛頓的微積分是一項(xiàng)劃時(shí)代的科學(xué)成就，蘊(yùn)含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問題。牛頓當(dāng)時(shí)是用如下方法計(jì)算自由落體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度：

設(shè)自由落體在t0時(shí)間內(nèi)下落的位移為S（t0），位移公式為S（t0）=12gt02，其中g(shù)是重力加速度。當(dāng)時(shí)，根據(jù)科學(xué)的發(fā)展，需要計(jì)算物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度，牛頓的計(jì)算方法為，從t0時(shí)刻開始再下落Δt時(shí)間，欲求物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度，先求物體在Δt時(shí)間內(nèi)的平均速度ΔSΔt，ΔSΔt=12g（t0+Δt）2-12gt20Δt=gt0+12g·Δt（ * ）

牛頓認(rèn)為，物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度即當(dāng)Δt變成無窮小時(shí)Δt時(shí)間內(nèi)的平均速度。所以，當(dāng)Δt變成無窮小時(shí)，右端的12g·Δt也變成無窮小，因而上式右端就可以把12g·Δt這一項(xiàng)去掉而只剩下gt0，即物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為gt0。

當(dāng)講到這里時(shí)，提問學(xué)生這個(gè)推理過程嚴(yán)密嗎？學(xué)生指出，如果Δt是0，上式（ * ）左端把Δt作為分母沒有意義。如果Δt不是0，把上式（ * ）右端12g·Δt這一項(xiàng)隨便去掉是不對(duì)的。然后我告訴學(xué)生，當(dāng)初可能因?yàn)榕ｎD本身是一位偉人，而且牛頓的這一方法確實(shí)很好用，解決了大量的過去無法解決的科技問題，包括像海王星的發(fā)現(xiàn)這樣鼓舞人心的例子，更顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力，所以沒有人提出質(zhì)疑。后來牛頓學(xué)派外部英國大主教貝克萊就“牛頓的無窮小作為一個(gè)量究竟是不是0”提出質(zhì)疑，產(chǎn)生了歷史上第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。當(dāng)初牛頓及其擁護(hù)者奮起與貝克萊論戰(zhàn)，但是在將近200年的時(shí)間里，不能徹底反駁貝克萊的責(zé)難。而且，隨著時(shí)間的推移及研究范圍的不斷擴(kuò)大，類似的悖論日益增多。包括數(shù)學(xué)家在研究無窮級(jí)數(shù)的時(shí)候，也是在有限與無限之間任意通行，作出過大量錯(cuò)誤的證明，得出許多錯(cuò)誤的結(jié)論。

數(shù)學(xué)的發(fā)展，要求微積分的基礎(chǔ)“極限理論”誕生。19世紀(jì)，經(jīng)過以法國數(shù)學(xué)家柯西為代表的一批數(shù)學(xué)家艱辛的努力，極限理論終于誕生了，再加之維爾斯特拉斯建立了實(shí)數(shù)系，嚴(yán)格的極限理論才算真正建立。

嚴(yán)格的極限理論建立之后，自由落體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度計(jì)算方法如下： limΔt→0ΔSΔt=limΔt→012g（t0+Δt）2-12gt02Δt=limΔt→0（gt0+12g·Δt）=limΔt→0gt0+limΔt→012g·Δt=gt0，這實(shí)際上就是函數(shù)S（t）=12gt2在t0這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，這才徹底解決了貝克萊的責(zé)難，從根本上消除了歷史上第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。實(shí)際上，嚴(yán)格的極限理論建立之后，對(duì)無窮小量Δt與0的關(guān)系給出明確的回答。雖然這個(gè)結(jié)果與牛頓當(dāng)初計(jì)算的結(jié)果相同，但是每一步推理過程都有嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)。

縱觀微積分誕生的歷史，我們可以看出，微積分基礎(chǔ)建立的歷史順序?yàn)椋簩?dǎo)數(shù)與微分（教材第三章）→極限與連續(xù)（教材第二章）→函數(shù)（教材第一章）（教材第一章在實(shí)數(shù)基礎(chǔ)上講解函數(shù)及其一些性質(zhì)），邏輯順序與歷史順序正好相反。

2?！段⒎e分》課程第五至六章的來源

如右圖，為了計(jì)算由x軸、直線x=a，x=b及曲線y=f（x）圍成的不規(guī)則圖形的面積，在區(qū)間[a，b]中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)，a=x0

為了簡(jiǎn)單起見，把這個(gè)極限值記為∫baf（x）dx，即∫baf（x）dx=limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi，

稱為函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的定積分（教材第六章）。17世紀(jì)后期，牛頓和萊布尼茲幾乎是同時(shí)發(fā)現(xiàn)著名的微積分基本定理——牛頓-萊布尼茲公式，即如果F′（x）=f（x），則∫baf（x）dx=F（a）-F（b）。所以，要計(jì)算∫baf（x）dx的值，需先知道那個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于f（x），即f（x）的不定積分（教材第五章）。邏輯順序與歷史順序也正好相反。

3。《微積分》課程第七至十一章的來源

第七章多元函數(shù)微分學(xué)是第一至四章一元函數(shù)到多元函數(shù)的推廣。第八章二重積分是第五至六章的推廣。第九章無窮級(jí)數(shù)是第二章的特殊情形。無窮級(jí)數(shù)是數(shù)列的和，第九章主要講解幾種特殊無窮級(jí)數(shù)的斂散性（即極限值的存在性）及收斂級(jí)數(shù)極限值的計(jì)算。第十章微分方程是第六章的推廣。在第五章中，若已知dydx=x，我們可以求出y=12x2+C，其中C為任意常數(shù)。但是如果已知dydx=xy，我們通過第五章的學(xué)習(xí)就不會(huì)求出y的值。形如dydx=xy含有自變量x、未知函數(shù)y以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dydx（或微分）的等式，稱為微分方程。第十一章差分方程是以第十章為工具，以此研究離散數(shù)學(xué)模型。

在大學(xué)上第一節(jié)《微積分》課程時(shí)，通過對(duì)《微積分》課程誕生的歷史的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)《微積分》課程各章之間的關(guān)系及整本書的內(nèi)容有宏觀的認(rèn)識(shí)和總體把握。

二、滲透數(shù)學(xué)文化，了解數(shù)學(xué)及《微積分》課程的重要性

（一）滲透數(shù)學(xué)文化，了解數(shù)學(xué)的重要性

馬克思曾經(jīng)說過，“一門科學(xué)只有成功地運(yùn)用了數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了真正完善的地步（見拉法格的回憶錄）；華羅庚先生也說過，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學(xué)無處不在；”2000年是聯(lián)合國宣布的“世界數(shù)學(xué)年”，聯(lián)合國教科文組織指出：“純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)是理解世界及其發(fā)展的一把主要鑰匙”；現(xiàn)在有人說：“哲學(xué)從一門學(xué)科中退出，意味著這門學(xué)科的建立；而數(shù)學(xué)進(jìn)入一門學(xué)科，就意味著這門學(xué)科的成熟?！睌?shù)學(xué)與文學(xué)、史學(xué)、哲學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、密碼學(xué)及工程技術(shù)等都有密不可分的聯(lián)系；諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者中，數(shù)學(xué)家或有研究數(shù)學(xué)的經(jīng)歷的經(jīng)濟(jì)學(xué)家占了一半以上；牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，他把其最重要的著作命名為《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，是因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)新宇宙的思維方式是數(shù)學(xué)的思維方式。在這本書中，牛頓用了大量“微積分”的知識(shí)和非常復(fù)雜的幾何知識(shí)與技巧；愛因斯坦分別于1905年和1915年提出狹義相對(duì)論，廣義相對(duì)論，這是對(duì)物理學(xué)的重大變革，其核心內(nèi)容是時(shí)空觀的改變。愛因斯坦的時(shí)空觀認(rèn)為時(shí)間和空間是相互聯(lián)系的。四維空間的洛侖茲變換是數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式；英國物理學(xué)家麥克斯韋概括了由實(shí)驗(yàn)建立起來的電磁現(xiàn)象規(guī)律，把這些規(guī)律表述為“方程的形式”，用純粹數(shù)學(xué)的方法推導(dǎo)出可能存在著電磁波并且這些電磁波 應(yīng)該以光速傳播者；最近，兩位美國數(shù)學(xué)家解開了一個(gè)困擾科學(xué)界長(zhǎng)達(dá)50年的“簡(jiǎn)單”問題：啤酒泡和肥皂泡在膨脹、收縮及合并時(shí)的數(shù)學(xué)規(guī)律。該研究成果將對(duì)工程學(xué)的泡沫材料設(shè)計(jì)、生物學(xué)的組織結(jié)構(gòu)研究以及物理學(xué)的晶體顆粒排列探測(cè)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，相關(guān)論文發(fā)表在2007年4月26日的《自然》雜志上。其中，氣泡脹大、收縮或者合并，背后的驅(qū)動(dòng)力都是表面張力，氣泡的變化，取決于表面總曲率；神州六號(hào)、七號(hào)、八號(hào)、九號(hào)的升空，宣告了我國具有制造和發(fā)射航天飛機(jī)的能力。在神舟六、七、八號(hào)、九號(hào)的研制過程中，數(shù)學(xué)起了不可替代了作用，尤其是在軌道測(cè)算，時(shí)間測(cè)算等方面；1973年，美國芝加哥大學(xué)學(xué)者F·布萊克與M·肖萊斯提出了布萊克-肖萊斯期權(quán)定價(jià)模型（blackscholes option pricing model），對(duì)股票期權(quán)的定價(jià)作了詳細(xì)的討論。此后，不少學(xué)者（Merton）又對(duì)該模型進(jìn)行了修正、發(fā)展與推廣，極大地推動(dòng)了期權(quán)定價(jià)理論的研究。該模型中用到很多數(shù)學(xué)知識(shí)。他們也因此獲得了1997年的Nobel經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)；從醫(yī)學(xué)上的CT技術(shù)到印刷排版的自動(dòng)化，從飛行器的模擬設(shè)計(jì)到指紋的識(shí)別，從石油地震勘探的數(shù)據(jù)處理到信息安全技術(shù)，還有天王星、海王星的發(fā)現(xiàn)等等，這些形形色色的技術(shù)背后，數(shù)學(xué)都扮演著十分重要的角色，常常成為解決問題的關(guān)鍵。以上例子足以說明數(shù)學(xué)學(xué)科的重要性。

（二）數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性

2002年，在北京召開的由國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟主辦的全球數(shù)學(xué)界最高水平的學(xué)術(shù)會(huì)議“國際數(shù)學(xué)家大會(huì)”會(huì)場(chǎng)的大幅標(biāo)語為“傳播數(shù)學(xué)文化，立志報(bào)國奉獻(xiàn)”，其中使用了“數(shù)學(xué)文化”一詞；2003年，普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出，數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)是人類社會(huì)進(jìn)步的產(chǎn)物，也是推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的動(dòng)力。要求在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中充分滲透數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)人文精神。這也是 “數(shù)學(xué)文化”首次進(jìn)入官方文件；十二五《國家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要》中提到，要把育人為本作為教育工作的根本要求，要培養(yǎng)學(xué)生良好的審美情趣和人文素養(yǎng)，加強(qiáng)中華民族優(yōu)秀文化傳統(tǒng)教育。積極推進(jìn)文化傳播，弘揚(yáng)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，發(fā)展先進(jìn)文化。這充分說明數(shù)學(xué)及傳播數(shù)學(xué)文化的重要性。

（三）學(xué)習(xí)《微積分》課程對(duì)大學(xué)后續(xù)課程學(xué)習(xí)的重要性

1。微積分第一章為函數(shù)。微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常見函數(shù)有需求函數(shù)、供給函數(shù)、成本函數(shù)、收入函數(shù)、利潤(rùn)函數(shù)、彈性函數(shù)、生產(chǎn)函數(shù)以及邊際函數(shù)等都是微積分中函數(shù)的范疇。

2。邊際分析方法是經(jīng)濟(jì)理論中的一個(gè)重要分析方法。通過學(xué)習(xí)微積分中的導(dǎo)數(shù)，可以對(duì)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行邊際分析。

3。通過微積分中函數(shù)極值的學(xué)習(xí)，研究微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中生產(chǎn)者利潤(rùn)最大化問題。

4。數(shù)學(xué)已經(jīng)廣泛深入到經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域。

古希臘的普羅塔戈?duì)栒f過：“頭腦不是要被填滿的容器，而是一把需被點(diǎn)燃的火把”。所以，在《微積分》課程的教學(xué)過程中，創(chuàng)造性地使用教材，在遵循教學(xué)大綱的前提下，充分滲透數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中真正受到數(shù)學(xué)文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，體會(huì)數(shù)學(xué)的文化品位，使學(xué)生真正感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性以及滲透數(shù)學(xué)文化的重要性，并真正感受到數(shù)學(xué)的美，并對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)充滿信心。只要我們揭開數(shù)學(xué)神秘的面紗，作為人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐中必不可少的數(shù)學(xué)必將成為受青睞的學(xué)科。