王東榮

一、分類討論思想

分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的常用數(shù)學(xué)思想之一，也是高考中?？汲Ｐ碌臄?shù)學(xué)思想，在常用邏輯用語(yǔ)一章中當(dāng)然少不了它的身影.

例1若命題p：對(duì)x∈[-1，+∞），x2-2ax+2≥a為真命題，求a的取值范圍.

解令f（x）=x2-2ax+2-a.則由題意知，x∈[-1，+∞）時(shí)，f（x）≥0恒成立.易知f（x）的對(duì)稱軸為x=a，故

（1）若a≤-1，則f（x）min=f（-1）=a+3≥0，

解得a≥-3.所以-3≤a≤-1.

（2）若a>-1，則f（x）min=f（a）=-a2-a+2≥0，

解得-2≤a≤1.所以-1

綜上，a的取值范圍是-3≤a≤1.

例2已知{an}是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a1和d均為實(shí)數(shù)，它的前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)集合A={（an，Snn）|n∈N*}，集合B={（x，y）|14x2-y2=1，x，y∈R}.試問(wèn)下列命題是否為真命題，如果是真命題，請(qǐng)給予證明；如果是假命題，請(qǐng)舉反例說(shuō)明.

（1）A∩B至多有一個(gè)元素；

（2）當(dāng)a1不等于0時(shí)，一定有A∩B≠.

解（1）真命題.設(shè)（x，y）∈A∩B，

則（x，y）應(yīng)是方程組y=12x+1xa1，

14x2-y2=1的解.

由方程組消去y得2a1x+a21=-4.（*）

當(dāng)a1=0時(shí)，方程（*）無(wú)解，此時(shí)A∩B=；

當(dāng)a1≠0時(shí)，方程（*）只有一個(gè)解x=-4-a212a1，

此時(shí)方程組也只有一個(gè)解x=-4-a212a1，

y=a21-44a1.

綜上所述，上述方程組至多有一解.

所以，A∩B至多有一個(gè)元素.

（2）假命題.取a1=1，d=1.

對(duì)一切n∈N*，有an=a1+（n-1）d=n>0，Snn>0.

這時(shí)集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正.

另外，由于a1=1≠0，如果A∩B≠，那么由（1）知A∩B中至多有一個(gè)元素（x0，y0），而

x0=-4-a212a1=-52<0，

y0=a1+x02=-34<0.

這樣的點(diǎn)（x0，y0）A，故a1=1，d=1時(shí)，A∩B=.

所以a1≠0時(shí)，一定有A∩B≠是不正確的.

二、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想是包含在化歸思想中的比較具體的一種數(shù)學(xué)思想，在這一章主要體現(xiàn)在四種命題間的相互關(guān)系與幾何之間關(guān)系的等價(jià)轉(zhuǎn)化、原命題與其逆否命題之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化等，即以充要條件為基礎(chǔ)，把同一種數(shù)學(xué)意義的內(nèi)容從一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化、具體化.

例3已知命題p：方程mx2+mx+4=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，命題q：函數(shù)f（x）=x2-（m+1）x+m在[2，+∞）上是增函數(shù).若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解因?yàn)榉匠蘭x2+mx+4=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

所以Δ=m2-16m<0，即p：0

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x2-（m+1）x+m在[2，+∞）上是增函數(shù)，所以m+12≤2，即q：m≤3.

又因?yàn)椤皃或q”為真命題，“p且q”為假命題，

所以“p真q假”或“p假q真”，即0

m>3或m≤0或m≥16，

m≤3，解得3

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，0]∪（3，16）.

例4是否存在實(shí)數(shù)k，使方程7x2-（k+13）x+k2-k-2=0的兩根分別在0

解設(shè)f（x）=7x2-（k+13）x+k2-k-2，則f（x）=0的兩根分別在0

f（0）>0，

f（1）<0，

f（2）>0k2-k-2>0，

k2-2k-8<0，

k2-3k>0.

解得-2

所以存在實(shí)數(shù)-2

三、補(bǔ)集思想

已知全集U及其子集A，若直接求A困難或麻煩，可求A在U中的補(bǔ)集B，再求出B在U中的補(bǔ)集即為A.這種在順向思維受阻后改用逆向思維的思想，就是數(shù)學(xué)中的補(bǔ)集思想.

例5已知三個(gè)不等式：①|(zhì)x-1|+|x+4|0；③a>x2+1x2.若其中至多有兩個(gè)不等式的解集為空集，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解因?yàn)閨x-1|+|x+4|≥|（x-1）-（x+4）|=5，所以不等式①的解集為空集時(shí)a≤5.

對(duì)于不等式②，當(dāng)a=3時(shí)，由原不等式得x>1，顯然不空；當(dāng)a≠3時(shí)，要使不等式②的解集為空集，則a-3<0，

（a-2）2+4（a-3）≤0，解得-22≤a≤22.

對(duì)于③，因?yàn)閤2+1x2≥2x2·1x2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x2=1，即x=±1時(shí)取等號(hào).

所以，不等式a>x2+1x2的解集為空集時(shí)，a≤2.

所以，當(dāng)三個(gè)不等式的解集都為空時(shí)，-22≤a≤2.

所以，三個(gè)不等式的解集至多有兩個(gè)的解集為空集的實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<-22或a>2.