張麗

隨著課改的推進(jìn)，作為課程總目標(biāo)的“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗”引起了老師更多的關(guān)注。在課堂教學(xué)中，如何發(fā)現(xiàn)并幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗?zāi)?？筆者以蘇教版第十二冊“圓柱的體積”為例，談一些自己的認(rèn)識。

一、教學(xué)案例

第一部分：聯(lián)系舊知，導(dǎo)入新課

1.板書：體積。

2.談話：今天這節(jié)課我們來研究體積。

3.課件出示：等底等高的長方體、正方體。

（1）提問：長方體和正方體體積相等嗎？為什么？

板書：長（正）方體的體積=底面積×高

課件再出示圓柱和有關(guān)條件。

（2）談話：這是什么？猜一猜，它的體積和長方體、正方體體積相等嗎？用什么方法驗證？

生：倒水的辦法。（課件演示驗證過程）

（3）師：猜一猜，圓柱的體積可以怎么計算？

板書：圓柱的體積=底面積×高

小結(jié)：這只是大家的猜測，還要進(jìn)一步研究。

第二部分：推導(dǎo)圓柱體積公式

1.回顧圓面積公式的推導(dǎo)過程

提問：還記得圓面積的計算公式是怎么推導(dǎo)出來的嗎？

結(jié)合課件闡述：把圓沿半徑或直徑平均分成若干份，用不同顏色表示兩個半圓，將上半個圓沿半徑打開，下半個圓也沿半徑打開，再將兩部分咬合在一起，拼成了什么圖形？

根據(jù)學(xué)生回答，板書：S長=長×寬

明確對應(yīng)關(guān)系，板書：S長=長×寬

S圓=πr·r

2.把圓柱轉(zhuǎn)化為近似長方體

（1）談話：剛才我們把圓轉(zhuǎn)化為長方形，推導(dǎo)出了圓面積計算公式。如果要推導(dǎo)圓柱的體積公式，可以把圓柱轉(zhuǎn)化成什么？（長方體）

提問：怎么轉(zhuǎn)化呢？四人小組交流。

小結(jié)：用不同顏色表示半個圓柱，通過直徑沿高把圓柱平均切成16份，把上半個圓柱打開，下半個圓柱打開，兩部分拼在一起，這是變成了什么物體？（近似的長方體）

（2）談話：如果平均切的份數(shù)增加，平均分成32份、64份，這樣一直分下去，物體會發(fā)生什么變化？（出示圖片并提示：越來越接近長方體）

（3）提問：拼成的長方體與原來的圓柱有什么聯(lián)系？四人小組交流。

生反饋，讓生上前指一指，并板書：

長（正）方體的體積=底面積×高或長×寬×高

圓柱的體積=底面積×高或πr·r·h

教師整理學(xué)生回答，明確左右兩公式的相通之處。

二、對教學(xué)設(shè)計和實踐的初步思考

首先，反思例題呈現(xiàn)。教學(xué)中筆者對例題呈現(xiàn)是：先出示長方體、正方體圖，提問兩者體積是否相等，引出“長（正）方體體積=底面積×高”；再出示圓柱圖以及余下問題。這樣設(shè)計的意圖是分步遞進(jìn)出示問題，便于進(jìn)行層層推進(jìn)的思考與教學(xué)。如果三個圖形整體出示的話，可以讓學(xué)生整體感知三個圖形的特征，教材的隱喻是“直柱體的體積都可以用底面積×高來計算”這一事實，接著再提出如何驗證的問題。這里出現(xiàn)的疑問是：不同的例題呈現(xiàn)方式，對學(xué)生的思考是否會產(chǎn)生不同影響？

其次，反思“圓柱的體積和長方體、正方體的體積相等嗎？用什么辦法驗證呢？”該問題的回答。學(xué)生會怎樣回答這個問題，教師的預(yù)設(shè)是學(xué)生可能會用操作辦法——倒水法，即把三個圖形看成容器，用“等積轉(zhuǎn)換”的思路加以驗證。實際教學(xué)中學(xué)生的反饋正如預(yù)設(shè)，其他學(xué)生表示贊同。但研究教材發(fā)現(xiàn)，教材的編寫意圖是進(jìn)行推理驗證，即猜測圓柱的體積是否也等于“底面積×高”，再通過切分圓柱來證明。倒水法驗證存在較大誤差，無法證明數(shù)學(xué)意義上的體積相等，但倒水法卻又是學(xué)生對“驗證”的及時反應(yīng)。到底如何理解“圓柱的體積和長方體、正方體體積相等嗎？用什么方法驗證呢？”如何看待學(xué)生用“倒水”來驗證這一問題呢？

再次，反思公式推理論證階段學(xué)具的缺失對學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響。教師在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上以課件為輔助展示了圓柱切分的動畫過程，學(xué)生通過觀察感知了推導(dǎo)過程。有教師提出，只用課件展示切割圓柱的過程會使學(xué)生喪失直觀地看到拼成長方體和原來圓柱聯(lián)系的機(jī)會。但在日常教學(xué)中，學(xué)具往往不能做到人手一份。教師該如何在課件和學(xué)具之間做出平衡與選擇？另外，不斷地平均切分圓柱的過程中蘊含著極限思想，如何能在教學(xué)中適當(dāng)滲透這樣重要的數(shù)學(xué)思想？

三、啟示

1.經(jīng)驗的改造

通過對“圓柱的體積”的反思，筆者認(rèn)為教師必須把握生活經(jīng)驗與數(shù)學(xué)經(jīng)驗、直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗之間的聯(lián)系，最終形成學(xué)生自己的“數(shù)學(xué)智慧”。因此，經(jīng)驗的改造十分必要。學(xué)生的經(jīng)驗具有局限性，他們習(xí)慣于用熟悉的想法思考問題，而學(xué)生的“視覺具體”就是所謂“熟悉”。生活中的空間經(jīng)驗往往會對抽象的公理體系的形成產(chǎn)生負(fù)面影響，學(xué)生有必要對這樣的經(jīng)驗進(jìn)行修正和改進(jìn)，從而超越原有經(jīng)驗，而非停留在以觀察為基礎(chǔ)的常識性認(rèn)識上。

2.數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的相對性與基礎(chǔ)性

荷蘭學(xué)者范希爾（Pierre van Hiele）認(rèn)為學(xué)生幾何思維水平的發(fā)展是循序漸進(jìn)的，水平的提升是通過教學(xué)，而不是隨年齡增長或心理成熟自然而然的，教學(xué)也不能促使學(xué)生跨越式發(fā)展。由此我們對“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗”中“基本”的認(rèn)識不能簡單地理解為數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)經(jīng)驗或根本經(jīng)驗。對于不同年段的學(xué)生來說，基本活動經(jīng)驗具有階段性和相對性。

就“圓柱的體積”而言，學(xué)生的基點是長（正）方體的體積計算和圓柱的特征，以及“非形式化演繹”的思維經(jīng)驗，即學(xué)生有能力作出非正式的類推但不能作系統(tǒng)性證明的思維經(jīng)驗。例如，通過圖形的直觀對比猜測圓柱體積的計算方法，將圓面積計算公式推導(dǎo)的思想方法嘗試應(yīng)用于出圓柱體積公式推導(dǎo)的思考。這些學(xué)生積累的經(jīng)驗是在經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)逐步發(fā)展形成的。

3.對教材的理解與運用

本課教材以問題提出、嘗試猜測、知識系統(tǒng)的建構(gòu)作為基本脈絡(luò)，以論證“‘圓柱體積=底面積×高是否成立”為核心問題，將圓面積的推導(dǎo)論證過程運用到圓柱體積計算公式的推導(dǎo)上，體現(xiàn)了知識的螺旋遞進(jìn)關(guān)系。我們可以感受到本課教材力圖關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的生成、應(yīng)用、積累和發(fā)展。

教師在使用教材時要考慮幫助學(xué)生產(chǎn)生有效的幾何直覺。在例題出示時，如果將例題三個立體圖形并置，會引發(fā)學(xué)生怎樣的直覺？教師可以嘗試在例題出示方式和提問方式上進(jìn)行思考，以期更好地引發(fā)“圓柱體積=底面積×高”這樣的推測性直覺。平均切分圓柱的操作過程既包含視覺上的圖形解構(gòu)過程，也能挖掘出數(shù)學(xué)思想——極限思想。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)關(guān)注視覺直觀、圖形構(gòu)造和推理表達(dá)三者之間的聯(lián)系，整合學(xué)生在這三方面的經(jīng)驗，以有效地掌握新知識。

參考文獻(xiàn)：

[1]張璐.小學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗積累的現(xiàn)狀調(diào)查研究[D].南京師范大學(xué)，2015.

[2]馬瑞娟.小學(xué)數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗教學(xué)設(shè)計研究[D].渤海大學(xué)，2014.