李磊 金楊建

[摘 要] 類比和猜想是密不可分的兩種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，類比和猜想均是一種或然性的推理，其結(jié)論是否正確還有待實踐證明. 但是，數(shù)學(xué)問題的提出和解決，是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的重要力量，發(fā)現(xiàn)問題某種程度上比解決問題更重要，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強學(xué)生類比猜想能力的培養(yǎng)對提高學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造力具有重要的意義.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；類比；驗證；思維能力

類比是一種方法和意識，猜想是一種能力和思考. 開普勒說：“我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學(xué)中它是最不容易忽視的. ”幾何中確實有許多豐富而有趣的知識、問題和結(jié)論，能夠較好地發(fā)展學(xué)生的類比猜想能力. 筆者以蘇科版教材七年級上“平面圖形的認識（一）”和七年級下“平面圖形的認識（二）”（以下簡稱教材）兩個章節(jié)中的相關(guān)內(nèi)容，談一談發(fā)展初一學(xué)生類比猜想能力的方法.

從知識聯(lián)系并尋找類比猜想的切入點

波利亞認為，類比就是一種相似. 從教材中尋找知識之間的相似，有助于學(xué)生初步感受類比的方法. 例如：線段和角是幾何概念中的兩個基本元素，線段的中點和角平分線之間存在著許多相似之處. 筆者執(zhí)教“6.2 角”時，采取的策略就是類比——復(fù)習(xí)線段中點的定義、性質(zhì)及其幾何語言，從而類比得出角平分線的定義、性質(zhì)，及其幾何語言. 板書設(shè)計如圖3（對教材適當加工）：

線段中點相關(guān)知識的復(fù)習(xí)，一方面是對之前課程內(nèi)容的復(fù)習(xí)，另一方面也為本節(jié)課的類比學(xué)習(xí)埋下伏筆. 在授課過程中，由線段中點類比角平分線的相關(guān)知識，是由學(xué)生猶如行云流水般類比得出的，酣暢淋漓. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》（以下稱《標準》）指出，數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解，體會數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián). 本節(jié)課此處教學(xué)方法的設(shè)計、板書的設(shè)計均強調(diào)了中點與角平分線這兩個知識之間的關(guān)聯(lián)，有助于學(xué)生達到其“最近發(fā)展區(qū)”. 用類比搭建了知識與知識之間橋梁的同時，為發(fā)展學(xué)生的類比猜想能力提供了一個立足教材的切入點.

從方法共性尋找類比猜想的生長點

張奠宙教授指出，“學(xué)生通過無處不在的基本數(shù)學(xué)活動獲得的經(jīng)驗，與數(shù)學(xué)基本知識、基本技能、基本思想方法交織在一起，滲透在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程之中”，并給出了四基模塊示意圖（如圖4）. 從中可以看出，數(shù)學(xué)基本思想方法是在基本知識、基本技能的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生的基本活動經(jīng)驗發(fā)展而來的，因此，教學(xué)中通過例題講解這一基本學(xué)習(xí)活動發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)基本思想方法十分必要.

教學(xué)教材“6.1 線段、射線、直線（第2課時）”時，筆者設(shè)計了以下例題1（即三個問題）.

問題1 如圖5，點C為線段AB上任意一點，點M，N分別為AC，BC的中點，則線段MN與AB滿足何種數(shù)量關(guān)系？說明理由.

同時，在實際教學(xué)過程中，筆者追加一問.

問題2 如圖6，若點C在線段AB的延長線上，上述結(jié)論是否仍成立？說明理由.

最后，筆者又補充一問.

問題3 若點C在線段AB的反向延長線上，上述結(jié)論是否仍成立？說明理由.

這三個問題的設(shè)計，主要用于發(fā)展學(xué)生在方法上類比的意識，同時也為角的學(xué)習(xí)做鋪墊.

筆者執(zhí)教“6.2角”時，仍呈現(xiàn)這三個問題，并板書主要過程（此處不贅述），同時提出：“請類比我們在學(xué)習(xí)線段中點知識時的這一情形，自編角平分線類似的問題，猜測其結(jié)論，并說明理由. ”待學(xué)生小組討論后，陸續(xù)呈現(xiàn)例2的3個問題（筆者做了必要的提示及語言規(guī)范）：

問題1 如圖7，OC為∠AOB內(nèi)任意一條射線，OM，ON分別為∠AOC和∠BOC的平分線，則∠MON與∠AOB滿足何種數(shù)量關(guān)系？說明理由.

問題2 如圖8，OC為∠AOB外任意一條射線，OM，ON分別為∠AOC和∠BOC的平分線，則∠MON與∠AOB滿足何種數(shù)量關(guān)系？說明理由.

問題3 如圖9，OC為∠AOB外任意一條射線，OM，ON分別為∠AOC和∠BOC的平分線，則∠MON與∠AOB滿足何種數(shù)量關(guān)系？說明理由.

學(xué)生亦能從之前復(fù)習(xí)線段中點三個問題的解題過程中類比找出這三個問題的解題思路和證明過程，課堂進行得很流暢，學(xué)生亦能從簡單模仿中強化證明思路和推理方法.

在對本題進行小結(jié)時，筆者拋出如下問題：例1中的三個問題，點C均在直線AB上，若在直線AB外（如圖10），結(jié)論仍然成立嗎？同理，例2中的三個問題，OC均在平面內(nèi)，若在平面外（筆者利用圓規(guī)和教鞭模擬），結(jié)論仍然成立嗎？兩個問題的拋出，立即引起了學(xué)生的熱議.

第一個問題，就目前初一學(xué)生所掌握的知識，學(xué)生無法解決；第二個問題，學(xué)生在初中階段也無法解決（立體幾何中的問題），但這兩個問題未嘗不是對例1、例2類比的升華？對培養(yǎng)學(xué)生的類比猜想能力有一定的幫助. 同時，這兩個問題大大增強了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情. 當學(xué)生學(xué)習(xí)中位線知識以及高中學(xué)習(xí)立體幾何之后回過頭來想這個問題，必定會為數(shù)學(xué)中這一奇妙的結(jié)論所吸引，也會為自己初一時正確的猜想而喜悅. 正如《標準》指出的，學(xué)生應(yīng)當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等過程.

從結(jié)論共性尋找類比猜想的延伸點

顧泠沅教授指出，類比包含表層類比（形式或結(jié)構(gòu)上的簡單類比）；深層類比（方法或模式上的縱向類比）；溝通類比（各分科之間的類比）. 例1中的三個問題之間、例2中的三個問題之間都屬于表層類比，例1與例2之間則屬于深層類比. 筆者最后拋出的問題則屬于溝通類比. 類比是猜想的基礎(chǔ)，猜想是類比的升華. 但是，為了發(fā)展學(xué)生的類比猜想能力，不能僅僅停留在形式、方法相同或相似上，而應(yīng)在異中探同，同中猜異.

一次作業(yè)中出現(xiàn)了如下習(xí)題.

習(xí)題 如圖11，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD與CD相交于點D，問：∠A與∠D有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

講評作業(yè)時，筆者又呈現(xiàn)了這道試題的兩個變式：

變式1 如圖12，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，BD與CD相交于點D，問：∠A與∠D有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

變式2 如圖13，在△ABC中，BD平分△ABC的外角∠CBE，CD平分△ABC的外角∠BCF，BD與CD相交于點D，問：∠A與∠D有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

但筆者并未立即組織學(xué)生繼續(xù)探究變式2的結(jié)論，而是要求學(xué)生結(jié)合習(xí)題和變式1的已得結(jié)論，大膽猜測變式2的結(jié)論. 雖然猜測的過程并不一帆風(fēng)順，但這個過程對培養(yǎng)學(xué)生的類比猜想能力有一定的幫助. 正如《標準》指出的，“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)生活中經(jīng)常使用的思維方式.……合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比推斷某些結(jié)果……”課堂是允許犯錯的地方，學(xué)生類比猜想出錯誤的答案未嘗不是一件好事.

再次借用張奠宙教授的話：“多年來，數(shù)學(xué)思想方法本身的研究非常豐富，但是如何在課堂上進行思想方法的教學(xué)，研究的文獻非常少. ”筆者僅想通過對“平面圖形的認識”部分教學(xué)環(huán)節(jié)的思考，以發(fā)展初一學(xué)生類比猜想能力的方法為切入點，探索數(shù)學(xué)思想方法在課堂教學(xué)中的實際應(yīng)用. 路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索.