周倩竹

古典概型源于實際問題，在生活中有著非常廣泛的應(yīng)用，屬于概率論的基礎(chǔ)內(nèi)容之一.從實質(zhì)來說，概率論只是將普通的隨機事件精煉為計算，它使我們可以準(zhǔn)確地確定某個事件發(fā)生的可能性大小，也就是讓我們的“估計”更加準(zhǔn)確.

一、古典概型簡介

隨機試驗E，如果具有如下特征：

（1）有限性：試驗的樣本空間由有限個樣本點構(gòu)成；

（2）等可能性：試驗中的每個樣本點的發(fā)生是等可能的.

具有以上特征，則稱E為古典型隨機試驗.這類試驗是概率論最早研究的隨機現(xiàn)象，通常把這類隨機現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型.

二、古典概型的解法

1.定義法

由古典概型的概念，我們可以歸納出計算古典概型的解題步驟：

（1）根據(jù)題目要求，確定基本事件的個數(shù)和基本事件的總數(shù)；

（2）設(shè)出所求概率的事件A，首先要注意A是由哪些基本事件組成的；

（3）確定基本事件的總數(shù)與A中包含的基本事件的個數(shù)，計算P（A）.

例.在標(biāo)準(zhǔn)化的考試中，選擇題一般包括單選題和多選題兩種，多選題是從A，B，C，D四個選項中選出所有正確的答案，很多學(xué)生會覺得，如果不知道正確答案，多選題更難猜對，這是為什么呢？

2.構(gòu)造最優(yōu)樣本空間，以簡化解題過程

在解古典概型的相關(guān)問題中，都會涉及基本事件總數(shù)和有利事件數(shù)這兩個問題.選取樣本空間成為計算的關(guān)鍵，從不同的角度考慮得到的樣本空間也不同，進而解題的難易度也不同.古典概型樣本空間的選取要滿足兩個條件：（1）樣本空間中基本事件的個數(shù)是有限的；（2）所組成樣本空間的各個基本事件是等可能發(fā)生的，并且基本事件的總數(shù)和有利事件數(shù)的相關(guān)計算要在同一個樣本空間中進行.

例.袋子中共有m+n個球，其中m個黑球，n個白球.現(xiàn)把球隨機一個個地取出不放回，求第k次取出的是黑球的概率（1≤k≤m+n）.

分析：（1）普通解法

考慮取球的順序，題目要求第k次取出的是黑球的概率，其實相當(dāng)于從m+n個球中任取k個球的排列，所以基本事件的總數(shù)為Akm+n.設(shè)事件A為第k次取到黑球，因為第k次取到黑球可以是m個黑球中的任一個，故有m種取法，其余k-1個球可以順次從m+n-1個球中任意取出，有Ak-1m+n-1種取法.所以，事件A所包含的基本事件數(shù)為m·Ak-1m+n-1.

從上面可以看出，在某些情況下，樣本空間的選取可以簡化計算.

3.利用轉(zhuǎn)化的思想，將非古典概率的問題轉(zhuǎn)化為古典概率

有些求概率問題中所要求的是連續(xù)的事件，而非離散的情形，不滿足古典概型的條件.若要使問題簡單化，我們就要采用連續(xù)時間狀態(tài)離散化的方法，將非古典概率的問題轉(zhuǎn)化為古典概率，從而打破固定的思維.

例.小明和小麗約定在上午9時到10時之間到某站乘公共汽車，這段時間內(nèi)有四班公共汽車，它們的開車時刻分別為9：15、9：30、9：45、10：00，小明和小麗約定：（1）見車就乘；（2）最多等一輛車.求小明、小麗同乘一輛車的概率.假定小明、小麗兩人到達車站的時刻是互不牽連的，且每人在9時到10時的任何時刻到達車站都是等可能的.

三、應(yīng)用舉例

1.免費抽獎活動

在日常生活中，我們經(jīng)?？梢钥吹矫赓M抽獎的活動，人們往往會覺得中獎的機很大.事實卻不是想象的那樣.這是為什么呢？用一個簡單的例子來說明.

在圣誕節(jié)來臨之際，某經(jīng)營洗滌用品的商場推出一個非常具有吸引力的促銷活動：為了答謝廣大顧客對本商場的大力支持與厚愛，凡是進入商場的顧客都有機會免費參加抽獎活動.

抽獎方式：箱子里有20個球，10個紅色球代表10分，10個黑色球代表5分，從箱子里（無放回）摸出10個球，把各個球上的分?jǐn)?shù)加起來得出總分，按總分設(shè)置獎項如下：

一等獎：100分，某品牌變頻空調(diào)一臺，價值8 000元；

二等獎：50分，某品牌全自動洗衣機一臺，價值5 000元；

三等獎：95分，豆?jié){機一臺，價值500元；

四等獎：55分，電飯煲一個，價值200元；

五等獎：90分，某洗發(fā)套裝兩套，價值100元；

六等獎：60分，某洗發(fā)套裝一套，價值50元；

七等獎：85分，某沐浴液一瓶，價值30元；

八等獎：65分，護手霜一支， 價值5元；

九等獎：80分，牙刷一支， 價值2元；

十等獎：70分，洗衣粉一小袋，價值1元；

在實際生活中，我們平時遇到的很多概率問題是古典概率問題.由于條件的限制，我們不可能在判斷某個事件的概率時都計算一番.但為了盡可能地減少判斷錯誤，我們應(yīng)當(dāng)仔細(xì)領(lǐng)會概率論的原理，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，作出合理的“估計”.

編輯 薄躍華