陳芙蓉

摘 要：本文主要討論了解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)幾種典型的構(gòu)造方法，并總結(jié)了在使用構(gòu)造法解題時(shí)的某些注意事項(xiàng)，以及構(gòu)造法在解題時(shí)最常見(jiàn)的幾種應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造；轉(zhuǎn)化；變換

中圖分類(lèi)號(hào)：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2016）08-018-01

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常規(guī)的思考方法是由已知到未知的定向思考。但有些問(wèn)題按照這樣的思維方式來(lái)尋求解決問(wèn)題的途徑卻比較困難，甚至無(wú)從著手。這種情況下，經(jīng)常要求我們改變思維方向，換一個(gè)角度去思考，找到一條繞過(guò)障礙的新途徑。構(gòu)造法就是這樣的手段之一。

構(gòu)造法的含義很廣：一般認(rèn)為，在解題過(guò)程中，為了實(shí)現(xiàn)條件向結(jié)論的轉(zhuǎn)化，利用問(wèn)題的特殊性設(shè)計(jì)一個(gè)新的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)去實(shí)現(xiàn)原問(wèn)題的解決，這種思維活動(dòng)的特點(diǎn)在于“構(gòu)造”，所以稱(chēng)為構(gòu)造思想。應(yīng)用構(gòu)造思想去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)理論和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的具體方法稱(chēng)為構(gòu)造法。構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)方法，它不同于一般的邏輯方法，需要一步一步地導(dǎo)求必要條件，直至推斷出結(jié)論。它屬于非常規(guī)思維，其本質(zhì)特征是“構(gòu)造”。用構(gòu)造法解決問(wèn)題，無(wú)一定之規(guī)，表現(xiàn)出思維的試探性，不規(guī)則性和創(chuàng)造性。構(gòu)造解決問(wèn)題的活動(dòng)是一種構(gòu)造性的思維活動(dòng)。其關(guān)鍵是借助對(duì)問(wèn)題特征的敏銳觀察，展開(kāi)豐富的聯(lián)想，構(gòu)造出滿(mǎn)足問(wèn)題條件的數(shù)學(xué)對(duì)象，使問(wèn)題巧妙地獲得解決。

一、構(gòu)造函數(shù)法：

這種方法就是構(gòu)造出與原命題相符合且關(guān)系密切的函數(shù)，從函數(shù)的角度觀察、分析、解釋命題，溝通命題中條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，從而使命題（或問(wèn)題）得以解決。

例1、已知 ，求證： 。

思路：因?yàn)?與 的和為 ，其積為1。根據(jù)這兩數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，可構(gòu)造函數(shù)： ， 與 是 =0的二根。

欲證原結(jié)論，只須證 即可。

二、構(gòu)造恒等式：

在解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，需要構(gòu)造一個(gè)恒等式作鋪墊，架起通向解題終點(diǎn)的“橋梁”。使問(wèn)題迅速得以解決。

例2、已知 ，求分式 的值。

思路：待求值式實(shí)際上已暗示我們，應(yīng)設(shè)法構(gòu)造一個(gè)恒等式，使之能利用已有的結(jié)論：

三、構(gòu)造數(shù)列：

在處理與自然數(shù)n有關(guān)的命題時(shí)，可根據(jù)題目提供的特征，通過(guò)替換，設(shè)想并構(gòu)造出一個(gè)與欲解（證）問(wèn)題有關(guān)的數(shù)列，并對(duì)該數(shù)列的特征進(jìn)行分析，常常可以由此探尋出解決問(wèn)題的途徑。

例3、求證：

思路：這種類(lèi)型的問(wèn)題通常用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證，下面試用構(gòu)造數(shù)列的方法來(lái)解。

由以上討論的幾種方法及例題可以看出，應(yīng)用構(gòu)造法時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1、構(gòu)造法是一種通過(guò)構(gòu)造新的數(shù)學(xué)對(duì)象使原問(wèn)題得以轉(zhuǎn)化，從而解決問(wèn)題的一種方法，所以，構(gòu)造物的結(jié)構(gòu)形式應(yīng)盡可能的簡(jiǎn)單，以便于問(wèn)題的解決，通過(guò)構(gòu)造物這一媒介，應(yīng)盡可能地使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

2、構(gòu)造方法解決問(wèn)題的過(guò)程比較直觀，構(gòu)造物必須是熟悉的，通過(guò)熟悉的構(gòu)造物將難以入手的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題。

3、構(gòu)造法解決問(wèn)題具有很大的靈活性，針對(duì)某一問(wèn)題如何進(jìn)行構(gòu)造，必須有很扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

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