楊昌海

中圖分類號(hào)：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2016）08-086-01

一、連續(xù)的定義及其理解

在數(shù)學(xué)分析中，要研究種種不同性質(zhì)的函數(shù)，其中有一類重要的函數(shù)就是連續(xù)函數(shù).“連續(xù)”與“間斷”（或不連續(xù)）照字面上來(lái)講，是不難理解的，所謂“連續(xù)，意即連續(xù)不斷”.它反映了我們觀察到的自然現(xiàn)象的一種共同特性.例如氣溫的變化，生產(chǎn)的連續(xù)進(jìn)行，生物的連續(xù)生長(zhǎng)等等.

我們不難舉出大量的連續(xù)與不連續(xù)的函數(shù)，例如 在每一點(diǎn)x都是連續(xù)，而y=[x]在所有整數(shù)點(diǎn)都不連續(xù).但究竟怎樣才叫連續(xù)呢？單從圖形上來(lái)看是不行的，我們可以舉出在每點(diǎn)都連續(xù)卻無(wú)法用圖形表示的函數(shù).圖形只能幫助我們更形象地理解這一概念.為了對(duì)它作進(jìn)一步的分析和研究，必須給“連續(xù)”一確切的定義.

所謂函數(shù)f（x）在 點(diǎn)連續(xù)就是指：當(dāng)x越接近 時(shí)，函數(shù)值f（x）就越接近f（ ）.它的意思是：函數(shù)f（x）不僅在 點(diǎn)極限存在，而且這個(gè)極限正是f（x）在點(diǎn) 的函數(shù)值，這意味著函數(shù)的圖形在 點(diǎn)連結(jié)起來(lái)了.

1、函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義

定義1若函數(shù)在 點(diǎn)附近包括 本身有定義，并且 時(shí)，我們稱f（x）在 點(diǎn)連續(xù)，或者稱 點(diǎn)是f（x）的連續(xù)點(diǎn).

下面根據(jù)定義看這樣的題，

函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)

解：

函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)

定義2設(shè)函數(shù)f在 的右（左）領(lǐng)域 內(nèi)有定義，若

（ ）

則稱函數(shù)f在x*右（左）連續(xù).

由定義1和定義2，我們可得出如下定理：

定理1，函數(shù)f在點(diǎn) 連續(xù)的充要條件是：函數(shù)f在點(diǎn) 既是右連續(xù)，又是左連續(xù).

例如：函數(shù) 在x=0的連續(xù)性.

解；因?yàn)?/p>

而 ，所以函數(shù)在 右連續(xù)，但不左連續(xù)，從而它在 不連續(xù).

2、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).

若函數(shù)f在區(qū)間I上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱f為I上的連續(xù)函數(shù).對(duì)于閉間端點(diǎn)上的連續(xù)性則按左 右連續(xù)來(lái)確定.

二、一致連續(xù)性的定義的理解

函數(shù)f在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性，是指它在某區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，那下面就來(lái)討論的一致連續(xù)函數(shù)的概念是反映函數(shù)在區(qū)間上更強(qiáng)烈的連續(xù)性.

定義3， 設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ=δ（ε），只要 屬于I，且| |<δ，有

| （

則稱f在區(qū)間I上一致連續(xù).

直觀地說(shuō)，f在I上一致連續(xù)是指：不管 與 在 中處于什么位置，只要它們的距離小于δ，就可使

同理有了一致連續(xù)的定義也就有不一致連續(xù)的定義，如下：

函數(shù)f在區(qū)間I上不一致連續(xù)就是：存在正數(shù)ε，使得對(duì)任何正數(shù)δ，總存在兩點(diǎn) ，雖然| |<δ，但有| （ .

例 證明 在 上一致連續(xù).

證 對(duì)于任給的正數(shù) ，由于

所以選取 ，不論 取為 上的怎樣兩點(diǎn)，只要| |<δ，就一定有

這就證得 在 上一致連續(xù)