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一道奧林匹克試題條件的商榷

江蘇省泰州市姜堰區(qū)沈高鎮(zhèn)夏朱村(225538)陳羅英江蘇省姜堰中等專業(yè)學(xué)校(225500)陳宇

圖1

在探求該題別證的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)該題的條件“銳角⊿ABC”的“銳角”是否多余，有待商榷.

首先給出一個(gè)別證.

圖2

∵I為內(nèi)心，點(diǎn)E在⊿ABC的外接圓上，

又∵∠EIC=∠IBC+∠ICB=∠ACE+∠ICA=∠ECI，知⊿EIC為等腰三角形，EC=EI(4).

結(jié)果是，無論是參考答案，還是本文之證法均沒有用到 “銳角⊿ABC” 的“銳角”這一題設(shè)條件.

圖3

可見，點(diǎn)N在線段MC上的兩端點(diǎn)M，C之間.則⊿ABC的內(nèi)心I在角平分線AN上的兩端點(diǎn)A,N之間.因而內(nèi)心I在⊿AMC內(nèi). MI與邊AC的交點(diǎn)D在邊AC上的兩端點(diǎn)A,C之間.此時(shí)，點(diǎn)D在邊AC上的位置與⊿ABC的形狀無關(guān).

同理，AB=AC，則MI與邊AC的交點(diǎn)D與邊AC上端點(diǎn)A重合(如圖4).

AB

圖4 圖5

綜上所述，MI與邊AC的交點(diǎn)D在邊AC上的位置只與∠BAC的兩邊AB,AC的大小相關(guān)，而與⊿ABC的形狀無任何關(guān)聯(lián).

對(duì)于題設(shè)條件“銳角⊿ABC”的“銳角”值得商榷.

若不是命題者有意干擾解題者的審題及方法的

探求，則該條件多余.

數(shù)學(xué)一門是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科.這種嚴(yán)謹(jǐn)包括了其知識(shí)的真實(shí)，思維的縝密和教學(xué)的嚴(yán)肅，同時(shí)也必須在數(shù)學(xué)問題和解決上體現(xiàn)其嚴(yán)謹(jǐn).當(dāng)然在競(jìng)賽題中更不能出現(xiàn)有悖數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴}.筆者以為，該賽題中的條件“銳角”多余，應(yīng)去除.

進(jìn)而，該試題及兩個(gè)變式可統(tǒng)一為：

該統(tǒng)一題的證明，除需按MI與直線AC的交點(diǎn)D在直線AC上的位置分類作圖外(如圖3,4,5)，證明過程可統(tǒng)一——亦如本文之別證或參考答案的證明過程.幾乎一字不差(此略).有興趣的讀者不妨一試.

上述變式及統(tǒng)一，并非刻意而為.因?yàn)檫@種變式、統(tǒng)一及解題的普適性，能促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生有效的聯(lián)想，提升學(xué)生的思維能力和解題能力.

參考文獻(xiàn)

[1]第11屆中國(guó)東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克,中等數(shù)學(xué),2014,10(第26～30).