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一類高考壓軸題中的不等式證明策略

江蘇省昆山中學(xué)(215300)繆林

在各地高考壓軸題中常見這樣的不等式“a1+a2+…+an>F(n)”或“ a1·a2·…·an>F(n)”的判斷或論證，這類問題涉及函數(shù)、數(shù)列、不等式等綜合知識，對數(shù)學(xué)知識技能、數(shù)學(xué)思想意識的要求非常之高. 命題意圖是對前面幾個小問中獲得的結(jié)論進(jìn)行“二次開發(fā)”，獲得一個新的命題，再利用這一命題進(jìn)行論證，解題技巧強(qiáng)，思維要求高，因此，絕大多數(shù)同學(xué)望而卻步. 若從“看成”角度探尋解題策略，常?？梢曰y為易迎刃而解.

所謂 “看成”即是通過對數(shù)學(xué)問題表征的分析研究，將數(shù)學(xué)對象賦予(視著)新的數(shù)學(xué)意義，并嘗試將其激活為某類問題模型的過程. “看成策略”即是在“看成”的基礎(chǔ)上選擇解題方向，擬定解題計劃，然后執(zhí)行相應(yīng)的解題程序.這是一種有目的的思維活動，但并不遵循嚴(yán)格的規(guī)則，通常是憑知識經(jīng)驗和審美判斷，帶有一定程度的猜測性和預(yù)見性，常常需要多角度嘗試“看成”，合理“看成”路徑的選擇是解題成功的關(guān)鍵.

1、將F(n)看成數(shù)列前n項之和

例1(2014年陜西(理)第21題) 設(shè)函數(shù)F(x)=ln(1+x)，G(x)=xF ′(x)，x≥0，其中F ′(x)是F(x)的導(dǎo)函數(shù)．

(1)令G1(x)=G(x)，Gn+1(x)=G(Gn(x))，n∈N+，求Gn(x)的表達(dá)式；

(2)若F(x)≥aG(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)n∈N+，比較G(1)+G(2)+…+G(n)與n-F(n)的大小，并加以證明.

思路探求：(1),(2) 兩小問略；

由于S(n)是數(shù)列{G(n)}的前n項之和，故可嘗試把T(n)看成數(shù)列{bn}前n項之和，若能比較G(n)與bn之大小即可獲得結(jié)論．

評析：對問題表征的差異分析是實現(xiàn)“看成”的關(guān)鍵. 左式是n項之和，而右式僅二項，減少差異的兩種最為自然的想法是：其一、對左式求和——“合”，但在此處顯然是不可能的；其二、將右式轉(zhuǎn)化為某數(shù)列前n項之和——“分”，由此獲得“看成”的策略：將T(n)看成某數(shù)列前n項和，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為比較兩數(shù)列相應(yīng)項的大小，這遠(yuǎn)比創(chuàng)造性地運用第(2)小問獲得的結(jié)論，通過對左式中的通項進(jìn)行放縮轉(zhuǎn)化為可求和的數(shù)列進(jìn)行求和再比較大小更為簡捷明晰．

2、將F(n)看成數(shù)列前n項之積

例2(2015年安徽理科題)設(shè)n∈N*,xn是曲線y=x2n+3+1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo).

(1)求數(shù)列{xn}的通項公式；

3、將“常數(shù)”看成無窮遞縮等比數(shù)列所有項之和或數(shù)列的前n項之和

例3(2014新課標(biāo)理科Ⅱ理)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

在差異分析觀點之下，上述措施不是一個妙手偶得的特殊技巧，而是一個策略思想的具體實施.

參考文獻(xiàn)

[1]羅增儒. 數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M]. 西安：陜西師范大學(xué)出版社，1997.

[2]齊建民. 從“見山是山”到“見山不是山”[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2014(4)：28-30.

[3]繆林. 目標(biāo)引領(lǐng) 理性探索[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011(11)：37-40.