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能分離，則難偏自消，方程解集顯函數(shù)

——從2015年全國(guó)高考看函數(shù)與方程的本質(zhì)關(guān)系

四川省汶川縣汶川中學(xué)(623100)樊梅

文[1]指出，一般的多元方程中，變量之間就有確定的隱函數(shù)關(guān)系(實(shí)解)，變量的取值范圍(實(shí)解集)是自然確定了的,只要能解出一個(gè)變量(分離變量)就得到一些顯函數(shù)(解出的變量就表示含其余變量代數(shù)式的值，因此，顯函數(shù)是特殊的多元方程，是代數(shù)式(代數(shù)式整體換元就是顯函數(shù),即一般的多元方程和代數(shù)式都是隱函數(shù),即一般方程中分離變量就得顯函數(shù)，代數(shù)式換元就得顯函數(shù))，是多元方程實(shí)解的表達(dá)式)，求顯函數(shù)的定義域或值域就可求得變量的取值范圍,也就可判定方程有無(wú)實(shí)解,有多少實(shí)解,實(shí)解的分布等,反映在與之等價(jià)的圖像(方程的圖像就是方程解集的另一等價(jià)表現(xiàn)形式)上,就是平行于x軸的直線(xiàn)與函數(shù)圖像有無(wú)交點(diǎn)，有多少交點(diǎn)，交點(diǎn)分布的那部分函數(shù)值域問(wèn)題,因此,數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)是方程的解集,在坐標(biāo)系上就是方程的圖像. 因此，在方程(不等式)中，若能分離變量，則方程(不等式)就化為顯函數(shù)，通過(guò)函數(shù)廣泛解決方程問(wèn)題，特別解決無(wú)法解出或很難解出變量的方程的解集問(wèn)題，這也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題.

(1)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線(xiàn)y=f(x)的切線(xiàn)；

(2)用min{m,n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(2)參考解答因用分類(lèi)討論而很難，但分離參數(shù)化為顯函數(shù)求值域就不難了.

圖1

例2(2015年全國(guó)高考四川卷理21)已知函數(shù)f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a，其中a>0.

(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；

(2)證明：存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立，且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有唯一解.

(x0>1)②，由①、②消去a得

注：例2本質(zhì)是二元方程組

參考文獻(xiàn)

[1]熊福州,張龍躍.數(shù)學(xué)問(wèn)題的根基本質(zhì)是方程的解集[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西),2015,7.