?

構(gòu)造等差數(shù)列解讀無(wú)理方程組

江蘇省泰州市姜堰區(qū)羅塘高級(jí)中學(xué)(225500)金岳男

本文主要談?wù)勅绾螛?gòu)造等差數(shù)列解讀某些非數(shù)列的無(wú)理方程組問(wèn)題，供師生教學(xué)時(shí)參考.

點(diǎn)評(píng)：本題解法的巧妙之處在于通過(guò)構(gòu)造等差數(shù)列，大大減少了計(jì)算量，降低了解題的難度，可謂匠心獨(dú)具，新穎別致.體現(xiàn)了解題的探索精神和創(chuàng)新精神，充分顯示了構(gòu)造法的優(yōu)越性.

點(diǎn)評(píng)：本題用一般的思維方式考慮，很難找到解題的方法，而通過(guò)構(gòu)造等差數(shù)列，溝通了題設(shè)與結(jié)論的關(guān)系，使問(wèn)題得到輕松解決.此題從表面上看似乎與等差數(shù)列無(wú)關(guān)，使人陷入“山窮水盡疑無(wú)路”之情景.但仔細(xì)觀察題目條件的特點(diǎn)，充分展開(kāi)聯(lián)想，發(fā)揮思維的創(chuàng)造性，使得解題思路簡(jiǎn)捷明快，解法簡(jiǎn)單順暢，解法靈活巧妙.

思路分析：本題若采用平方法，對(duì)(1)式進(jìn)行兩次平方去掉根號(hào)求解，不僅運(yùn)算復(fù)雜，而且也很困難.然而注意到(1)式的特征“兩數(shù)之和是第三數(shù)”，應(yīng)用構(gòu)造等差數(shù)列的方法求解，可使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、變難為易.

點(diǎn)評(píng)：本題解法的巧妙之處在于通過(guò)構(gòu)造等差數(shù)列，避免了傳統(tǒng)解法中脫根號(hào)的繁瑣運(yùn)算.

例4解方程組

思路分析：本題可采用平方法去根號(hào)求解，也可采用換元法求解.然而根據(jù)(1)式的特征，通過(guò)構(gòu)造等差數(shù)列求解，卻別有風(fēng)味.

經(jīng)檢驗(yàn)上述四組解都是原方程組的解.

點(diǎn)評(píng)：本題按常規(guī)解法較繁較難，然而運(yùn)用了構(gòu)造等差數(shù)列法，則降低了解題難度，提高了解題速度，收到了意想不到的效果.

綜上可知：例1例2均是先從已知方程變形入手，通過(guò)構(gòu)造等差數(shù)列，設(shè)公差為d，再將所設(shè)兩無(wú)理方程兩邊平方相減，求得公差d與x之間的關(guān)系式，最后將此關(guān)系式代回所設(shè)的無(wú)理方程中求得其解.例3例4均是從方程組中第(1)式入手，通過(guò)構(gòu)造等差數(shù)列，設(shè)公差為d，將方程組中第(2)式變形為關(guān)于d的二次方程，求出d的數(shù)值后，進(jìn)而求得方程組的解.構(gòu)造等差數(shù)列解無(wú)理方程組，其關(guān)鍵是要從問(wèn)題的背景出發(fā)，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，尋找兩代數(shù)式之和等于第三個(gè)代數(shù)式的關(guān)系去構(gòu)造等差數(shù)列.這種方法通俗易懂，它既有利于學(xué)生融會(huì)貫通“基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能”，又有利于幫助學(xué)生提高綜合解題水平，對(duì)于啟迪學(xué)生思維、開(kāi)拓學(xué)生視野，提高教學(xué)質(zhì)量，提高教師講課效果，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的興趣均頗有益處.

參考文獻(xiàn)

[1]馬小燕.構(gòu)造等差數(shù)列探究高考三角求值問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊(重慶)，2010，9.