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分拆方法在證明不等式中的應(yīng)用例談

南昌大學(xué)附屬中學(xué)(330047)周輝

分拆在不等式的證明中非常重要.分拆的目的就是為使用常用的不等式營造一個和諧的環(huán)境.下面筆者以2015年國際數(shù)學(xué)奧林匹克的一些典型試題為例，充分展示分拆方法在證明不等式中的作用.

例1(2015年阿塞拜疆?dāng)?shù)學(xué)奧林匹克)

評注：合理的分拆，為放縮和應(yīng)用柯西不等式創(chuàng)造了條件.

例2(2015年澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克)

評注：多項(xiàng)的分拆放縮，目標(biāo)是使取等的條件一致.

綜上，原不等式成立.

評注：第一次的分拆，是將分母升冪，為后續(xù)的換元打下基礎(chǔ).

例6(2015年阿塞拜疆?dāng)?shù)學(xué)奧林匹克)

例7(2015年摩爾多瓦數(shù)學(xué)奧林匹克)已知a,b,c是滿足abc=1的正數(shù),求證：