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        變換參考系解二體問題
        ——以2014年北約自主招生一道物理題為例

        2016-04-19 03:15:26王勇
        物理通報 2016年4期
        關鍵詞:能量守恒參考系質點

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        變換參考系解二體問題
        ——以2014年北約自主招生一道物理題為例

        王 勇

        【題目】真空中質量分別為m1和m2的兩個小球,只受萬有引力作用,某個時刻兩個小球相距l(xiāng)0,小球1的速度為v0,方向指向小球2,小球2的速度為v0,速度方向垂直兩球球心的連線,問若m1=m2=m0,當速度v0滿足什么條件時,兩小球的間距可以為無窮遠?

        解法1:慣性參考系法(質心參考系)

        解題思路:尋找慣性參考系,分析兩小球相對于慣性參考系的受力,確定兩小球在慣性參考系的運動特點,直接運用牛頓運動定律或能量守恒求兩小球相對慣性參考系的位移.

        兩小球組成的系統(tǒng)不受外力,質心做勻速直線運動,以質心為慣性參考系.

        方法1:小球1距質心

        質心的速度

        小球1相對于質心速度為

        方向如圖1所示.

        圖1

        小球1受力

        在質心參考系中可認為小球1受到固定在質心處等效質點3的萬有引力作用,等效質點3的質量

        在受到與距離平方成反比的有心力作用下小球1將做圓錐曲線運動.同理可知小球2的運動.

        由于小球1到質心的距離與兩小球之間的間距成比例,當兩小球相距無窮遠時,即小球1距質心(等效質點3)無窮遠,根據(jù)能量守恒,減小的動能轉化為增加的勢能,有

        代入v1x,v1y,m3,r1與r的比例關系可得

        當v1=v2=v0,m1=m2=m0,r=l0則

        在質心參考系中根據(jù)能量守恒,有

        代入v1x,v1y,v2x,v2y,m3,r1與r的比例關系同樣有

        解法2:非慣性參考系法

        解題思路:以另一小球為非慣性參考系引入慣性力,分析小球相對非慣性系中受力,確定小球相對于非慣性系的運動特點,轉化后運用牛頓運動定律或能量守恒求小球相對于非慣性系的位移.

        方法1:以小球2為非慣性參考系,小球1受力

        其中

        小球1受到與距離平方成反比的有心力作用,將以小球2為中心做圓錐曲線運動,中心質點的等效質量為m1+m2.

        根據(jù)能量守恒,減小的動能轉化為增加的勢能,有

        其中小球1相對于小球2的相對速度為

        代入v12同樣有

        方法2:以小球2為非慣性參考系,以小球1為研究對象根據(jù)牛頓運動定律有

        F+m1a2=m1a12

        其中

        在只有萬有引力的作用下小球1相對于固定不動小球2做圓錐曲線運動,小球1的等效質量為

        根據(jù)能量守恒,減小的動能轉化為增加的勢能,有

        代入m′,v12同樣有

        (收稿日期:2015-10-16)

        *作者簡介:王勇(1978-),男,中教高級,主要從事物理競賽教學與研究.

        (常州高級中學江蘇 常州213000)

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