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變換參考系解二體問題
——以2014年北約自主招生一道物理題為例

王 勇

【題目】真空中質量分別為m1和m2的兩個小球，只受萬有引力作用，某個時刻兩個小球相距l(xiāng)0，小球1的速度為v0，方向指向小球2，小球2的速度為v0，速度方向垂直兩球球心的連線，問若m1=m2=m0，當速度v0滿足什么條件時，兩小球的間距可以為無窮遠？

解法1:慣性參考系法(質心參考系)

解題思路：尋找慣性參考系，分析兩小球相對于慣性參考系的受力，確定兩小球在慣性參考系的運動特點，直接運用牛頓運動定律或能量守恒求兩小球相對慣性參考系的位移.

兩小球組成的系統(tǒng)不受外力，質心做勻速直線運動，以質心為慣性參考系.

方法1:小球1距質心

質心的速度

小球1相對于質心速度為

方向如圖1所示.

圖1

小球1受力

在質心參考系中可認為小球1受到固定在質心處等效質點3的萬有引力作用，等效質點3的質量

在受到與距離平方成反比的有心力作用下小球1將做圓錐曲線運動.同理可知小球2的運動.

由于小球1到質心的距離與兩小球之間的間距成比例，當兩小球相距無窮遠時，即小球1距質心(等效質點3)無窮遠,根據(jù)能量守恒，減小的動能轉化為增加的勢能,有

代入v1x,v1y,m3,r1與r的比例關系可得

當v1=v2=v0，m1=m2=m0，r=l0則

在質心參考系中根據(jù)能量守恒，有

代入v1x,v1y,v2x,v2y,m3,r1與r的比例關系同樣有

解法2:非慣性參考系法

解題思路：以另一小球為非慣性參考系引入慣性力，分析小球相對非慣性系中受力，確定小球相對于非慣性系的運動特點，轉化后運用牛頓運動定律或能量守恒求小球相對于非慣性系的位移.

方法1:以小球2為非慣性參考系，小球1受力

其中

則

小球1受到與距離平方成反比的有心力作用，將以小球2為中心做圓錐曲線運動，中心質點的等效質量為m1+m2.

根據(jù)能量守恒，減小的動能轉化為增加的勢能,有

其中小球1相對于小球2的相對速度為

代入v12同樣有

方法2：以小球2為非慣性參考系，以小球1為研究對象根據(jù)牛頓運動定律有

F+m1a2=m1a12

其中

則

在只有萬有引力的作用下小球1相對于固定不動小球2做圓錐曲線運動,小球1的等效質量為

根據(jù)能量守恒，減小的動能轉化為增加的勢能,有

代入m′，v12同樣有

(收稿日期：2015-10-16)

*作者簡介：王勇(1978-)，男，中教高級，主要從事物理競賽教學與研究.

(常州高級中學江蘇 常州213000)