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高中物理競(jìng)賽中復(fù)雜直流電路的分析方法
——以一道2015年全國(guó)物理競(jìng)賽題為例

陳玉奇

(江蘇省姜堰中等專業(yè)學(xué)校江蘇 泰州225500)

復(fù)雜直流電路屬于大學(xué)電學(xué)部分的知識(shí)，能力要求較高，在高考中不作要求，但在物理競(jìng)賽中，卻是考綱規(guī)定的考試內(nèi)容.歷年的許多省市乃至全國(guó)的物理競(jìng)賽中，時(shí)常出現(xiàn)復(fù)雜直流電路的問題，學(xué)生普遍感到比較困難，不知道如何下手，甚至使問題變得更加復(fù)雜.因此，要想在競(jìng)賽中快速而準(zhǔn)確地解決此類問題，必須要求學(xué)生對(duì)復(fù)雜直流電路的相關(guān)知識(shí)有更深層次的理解和掌握.

1什么是復(fù)雜直流電路

高中階段所接觸的電路一般是由電阻組成的混聯(lián)電路，對(duì)于這種電路的計(jì)算，學(xué)生只需根據(jù)電阻串、并聯(lián)規(guī)律把電路盡量化簡(jiǎn)，逐步求解即可.有些貌似復(fù)雜的電路在使用串、并聯(lián)公式后變?yōu)橐粋€(gè)無分支的閉合電路，問題就可迎刃而解，我們把這種電路稱為簡(jiǎn)單直流電路.但對(duì)于某些電路，用這種方法則無法化簡(jiǎn)，比如圖1中的電橋電路，盡管其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但我們卻無法指出各個(gè)電阻之間的串并聯(lián)關(guān)系.另外，如果電路中有兩個(gè)以上的含電源支路，也會(huì)出現(xiàn)同樣的問題.這種不能運(yùn)用電阻串、并聯(lián)的計(jì)算方法將其簡(jiǎn)化成一個(gè)單回路的電路，我們把它稱為復(fù)雜直流電路.

圖1

2解決復(fù)雜直流電路的基本依據(jù)

復(fù)雜直流電路與簡(jiǎn)單直流電路的區(qū)別并非是電路結(jié)構(gòu)的繁與簡(jiǎn)，而是體現(xiàn)在處理兩種電路的方法上.分析復(fù)雜直流電路的基本依據(jù)是基爾霍夫定律，該定律包含兩個(gè)方面的內(nèi)容.

(1)基爾霍夫第一定律，又稱節(jié)點(diǎn)電流定律(KCL).它指出：電路中任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)上，在任一時(shí)刻，流入節(jié)點(diǎn)電流之和等于流出節(jié)點(diǎn)電流之和，即

∑I入=∑I出

KCL是電路中各支路在節(jié)點(diǎn)(或封閉面)處必須滿足的電流約束關(guān)系，與電路中各支路元件的性質(zhì)無關(guān)，是電荷守恒的必然結(jié)果.

(2)基爾霍夫第二定律，又稱回路電壓定律(KVL).它指出：在一個(gè)回路中，從一點(diǎn)出發(fā)繞回路一周回到該點(diǎn)時(shí)，各段電壓降的代數(shù)和等于零，即

∑U=0

KVL是電路的各回路中必須滿足的電壓約束關(guān)系，與回路中各元件的性質(zhì)無關(guān)，是能量守恒的必然結(jié)果.

基爾霍夫定律是電路的基本定律之一，不論在何種電路中，它闡明的各支路電流之間和回路電壓之間的基本關(guān)系都是普遍適用的.理論上來講，基爾霍夫定律可以解決一切電路問題，它思路簡(jiǎn)單清晰，對(duì)于基礎(chǔ)好的學(xué)生來講，是完全可以做到熟練掌握和靈活應(yīng)用的.但是不足之處在于，如果支路較多，所列方程的個(gè)數(shù)也會(huì)隨之增多，從而使得解題過程比較繁瑣.

3復(fù)雜直流電路的分析方法

下面以2015年第32屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽的第5題為例，通過對(duì)該題呈現(xiàn)出來的電路進(jìn)行剖析，談?wù)剰?fù)雜直流電路的分析方法.

【題目】如圖2所示，“田”字形導(dǎo)線框置于光滑水平面上，其中每個(gè)小正方格每條邊的長(zhǎng)度l和電阻R分別為0.10 m和1.0 Ω.導(dǎo)線框處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0 T的均勻磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向豎直向下，邊界(如圖2中虛線所示)與de邊平行.今將導(dǎo)線框從磁場(chǎng)中勻速拉出，拉出速度的大小v=2.0 m/s，方向與de邊垂直，與ae邊平行.試求將導(dǎo)線框整體從磁場(chǎng)中拉出的過程中外力所做的功.

圖2

分析：本題是一道電磁感應(yīng)和直流電路相結(jié)合的綜合題，其物理情景和物理過程并不是很復(fù)雜，考生只需根據(jù)題中所描述的物理過程，分別作出ed一條邊拉出磁場(chǎng)和ed,fc兩條邊都拉出磁場(chǎng)的過程中所對(duì)應(yīng)的兩種等效電路，如圖3和圖4所示，求出兩種情況下處于磁場(chǎng)中的幾條邊的電流及其所受的安培力.再由平衡條件求出兩種情況下的外力，進(jìn)而計(jì)算出將導(dǎo)體框整體拉出磁場(chǎng)的過程中外力所做的功.

圖3

由上可知，解決本題的關(guān)鍵步驟是正確求出上述兩種情況下各相關(guān)支路的電流大小和方向.觀察圖3和圖4可知這是兩個(gè)復(fù)雜直流電路.限于篇幅，以下僅對(duì)圖3所示的電路進(jìn)行分析，圖4的求解方法相同.本題其余部分的分析過程可參閱《2015年第32屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽理論考試試題及解答》，在此不再重復(fù).

圖4

3.1支路電流法

以支路電流為未知量，應(yīng)用基爾霍夫定律，列出與支路電流數(shù)量相等的獨(dú)立方程式，然后聯(lián)立求解各支路電流的方法叫支路電流法.

對(duì)于圖3，按圖中所示的電流方向，根據(jù)基爾霍夫第一定律可得

由基爾霍夫第二定律，對(duì)圖3中的4個(gè)回路可列出電壓方程

式中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

U=Blv=0.2 V

(9)

聯(lián)立式(1)～(9)，求得

I1=I2=0.025 A

I3=I4=0.05 A

點(diǎn)評(píng):應(yīng)用基爾霍夫定律時(shí)，可以任意假定電流的參考方向和回路的繞行方向.當(dāng)求出的電流為正時(shí)，說明實(shí)際電流方向與所設(shè)的參考方向一致；當(dāng)求出的電流為負(fù)時(shí)，說明實(shí)際電流方向與所設(shè)的參考方向相反.

對(duì)于有m條支路，n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，依據(jù)第一定律只能列n-1個(gè)獨(dú)立的電流方程，其余的m-(n-1)個(gè)方程只能根據(jù)第二定律列回路電壓方程.所謂方程“獨(dú)立”，即從數(shù)學(xué)上來講，相互獨(dú)立的方程中，任何一個(gè)方程都無法用其他幾個(gè)方程推導(dǎo)出來，相互獨(dú)立的n個(gè)方程可以解出n個(gè)未知數(shù).本題中有8條支路，5個(gè)節(jié)點(diǎn)，只能列4個(gè)獨(dú)立的電流方程，剩下的4個(gè)方程式，則由第二定律所列的電壓方程來補(bǔ)足.

在列回路電壓方程時(shí)，應(yīng)注意兩個(gè)問題：一是電壓符號(hào)的選取，回路電壓定律指出“各段電壓降的代數(shù)和等于零”，因此，如果遇到電勢(shì)升的情況，電壓要取負(fù)號(hào)；二是回路的選取要使得所列的電壓方程獨(dú)立.圖3中回路的個(gè)數(shù)有13個(gè)，而未知量只有8個(gè)，單純從數(shù)量上來講，僅僅依靠回路就可列出13個(gè)方程來，無需再依靠節(jié)點(diǎn)電流方程.但這13個(gè)電壓方程中只有4個(gè)是獨(dú)立的，有的方程可以由其他電壓方程推導(dǎo)出來.例如本題中式(8)若選取圖3左邊的“日”字形回路來列，則式(8)就變?yōu)?/p>

-U+2I1R-I3R+U-I4R+U+2I2R-U=0

很顯然該式可以由式(5)和(6)相加得到，用該式與式(5)、(6)、(7)聯(lián)立是無法求解的，因而它不是獨(dú)立的方程.在下面的討論中我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，用網(wǎng)孔列出的回路電壓方程都是獨(dú)立的.

3.2網(wǎng)孔電流法

網(wǎng)孔是指中間沒有支路穿過的回路，在圖3所示的電路中，回路有13個(gè)，而網(wǎng)孔只有4個(gè).

根據(jù)電流的連續(xù)性，可以假定一個(gè)電流在指定的網(wǎng)孔中流動(dòng)，這種電流稱為網(wǎng)孔電流.對(duì)于電路中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，網(wǎng)孔電流流入一次又流出一次，基爾霍夫第一定律自動(dòng)滿足.如果以網(wǎng)孔電流為未知數(shù)，只需應(yīng)用基爾霍夫第二定律列出各網(wǎng)孔的回路電壓方程，聯(lián)立解出網(wǎng)孔電流，各支路電流則為相關(guān)網(wǎng)孔電流的代數(shù)和.

圖5

設(shè)圖5中的4個(gè)網(wǎng)孔電流分別為I11，I22，I33和I44，方向?yàn)轫槙r(shí)針，將其余3個(gè)節(jié)點(diǎn)設(shè)為m，n，p.注意到支路fn，mn，np，nc為相鄰網(wǎng)孔的公共支路，每條支路均有兩個(gè)網(wǎng)孔電流同時(shí)流過.

用基爾霍夫第二定律對(duì)4個(gè)網(wǎng)孔列電壓方程

整理后代入數(shù)據(jù)，很容易求得

I11=I22=0.025 A

I33=I44=0.075 A

對(duì)比圖5中的網(wǎng)孔電流和圖3中各支路電流的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)，fam和mbc為獨(dú)立支路，每條支路只有一個(gè)網(wǎng)孔電流流過，故這兩個(gè)支路中的實(shí)際電流就等于網(wǎng)孔電流，即I1=I11=0.025 A，I2=I22=0.025 A.fn,nc為公共支路，其實(shí)際電流應(yīng)為相鄰網(wǎng)孔電流的代數(shù)和，即

I3=I33-I11=0.05 A

I4=I44-I22=0.05 A

點(diǎn)評(píng):網(wǎng)孔電流法和支路電流法相比，能有效減少解題時(shí)方程的個(gè)數(shù)，便于分析和求解.在列回路電壓方程和利用網(wǎng)孔電流表示各支路電流的過程中，一定要分清獨(dú)立支路和公共支路中的電流與網(wǎng)孔電流的關(guān)系，在上述解法中已經(jīng)專門強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn).對(duì)于電源，因所列回路電壓方程只需考慮元件上電壓的大小和方向，無論電源在哪種形式的支路中，兩端的電壓均不受網(wǎng)孔電流的影響.

我們還可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)復(fù)雜直流電路，求解電路所需的獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)與電路的網(wǎng)孔數(shù)相等.換句話說，電路中有幾個(gè)網(wǎng)孔，我們就設(shè)幾個(gè)獨(dú)立變量.因而在本題中，即使我們用支路電流法求解，也只需設(shè)4個(gè)獨(dú)立變量，譬如I1,I2,I3,I4，由基爾霍夫第一定律用這4個(gè)變量將其余4條支路的電流表示出來，而沒有必要設(shè)出8個(gè)變量.具體到列電壓方程時(shí)，可以直接選取網(wǎng)孔這樣特殊的回路來列方程，且列出的方程式都是獨(dú)立的，其余回路可以用來檢驗(yàn)結(jié)果的正確與否.

3.3節(jié)點(diǎn)電勢(shì)法

圖6所示是某電路的一部分，設(shè)a,b兩點(diǎn)的電勢(shì)分別為φa和φb，I的參考方向與Uab的方向一致，則順著電流的流向來看，在電阻R和電源的內(nèi)阻r上都存在電勢(shì)降低，降低量為I(R+r)，而經(jīng)過電源E1，電勢(shì)降低E1；經(jīng)過電源E2，電勢(shì)升高E2，所以對(duì)圖6所示的電路，有

φa-IR-Ir1-E1+E2-Ir2=φb

從而

Uab=I(R+r1+r2)+E1-E2

我們稱之為一段含源電路的歐姆定律.由該定律可得

其中電源電動(dòng)勢(shì)的方向和參考電壓方向一致時(shí)E取正號(hào)，反之則取負(fù)號(hào)；而電流與參考電壓方向一致時(shí)I取正號(hào)，反之則取負(fù)號(hào).

圖6

如圖7所示，設(shè)c點(diǎn)接地，選取4個(gè)獨(dú)立變量φm,φn,φf和φp，則

圖7

因圖7中有5個(gè)節(jié)點(diǎn)m,n,p,f,c，故可列4個(gè)獨(dú)立的電流方程，分別對(duì)m,n,p和f應(yīng)用基爾霍夫第一定律，有

將電流的表達(dá)式依次代入上述方程組，有

代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立求解，可得

φm=φn=φp=0.15 Vφf=0.3 V

重新代回電流的表達(dá)式，可得

I1=I2=0.025 AI3=I4=0.05 A

點(diǎn)評(píng):節(jié)點(diǎn)電勢(shì)法實(shí)際上是借助于一段含源電路的歐姆定律，以節(jié)點(diǎn)電勢(shì)作為未知量分析電路的一種方法.適用于支路數(shù)較多，而節(jié)點(diǎn)數(shù)較少的電路中，同樣可使方程的個(gè)數(shù)減少.解決問題的關(guān)鍵是選取哪些節(jié)點(diǎn)電勢(shì)為未知量.本題中有5個(gè)節(jié)點(diǎn)，如令其中一個(gè)接地，則獨(dú)立變量變?yōu)?個(gè)，且不影響電路中各支路電流的大小.節(jié)點(diǎn)電勢(shì)法在解決只有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路時(shí)顯得尤為簡(jiǎn)便.

3.4對(duì)稱分析法

仔細(xì)觀察圖3中的電路，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)該電路的上下兩部分是完全一樣的，即電路關(guān)于中間兩個(gè)電阻對(duì)稱，可知I1=I2，I3=I4，I6=I8，從而中間兩個(gè)電阻上的電流I5和I7必為零，故我們對(duì)圖3可做以下兩種等效處理：

第一，從電流為零的角度來看，可將中間兩個(gè)電阻等效斷開，電路如圖8所示.

圖8

第二，因兩個(gè)電阻的電流為零，則每個(gè)電阻上的電壓也為零，電阻兩端為等電勢(shì)點(diǎn)，故也可將中間兩個(gè)電阻等效為短路.

兩種等效方法對(duì)于I1,I2,I3,I4,I6,I8而言沒有影響.

圖8可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為圖9所示的電路.

圖9

對(duì)于圖9，我們除了可以用上面提到的支路電流法、網(wǎng)孔電流法和節(jié)點(diǎn)電勢(shì)法輕松求解之外，還可以利用以下3種方法.

方法1：疊加定理

疊加定理是線性電路的一種重要方法，其內(nèi)容是：由線性電阻和多個(gè)電源組成的線性電路中，任何一個(gè)支路中的電流(或電壓)等于各個(gè)電源單獨(dú)作用時(shí)，在此支路中所產(chǎn)生的電流(或電壓)的代數(shù)和.

圖10

分別作出圖9中的兩個(gè)電源單獨(dú)作用時(shí)的電路圖，如圖10(a)和(b)所示.圖10(a)中

圖10(b)中

點(diǎn)評(píng):疊加定理采用的是先分后合的思想，只對(duì)線性電路成立，對(duì)非線性電路則不適用，如電路中存在二極管、三極管等非線性元件.此外，該定理只能用來進(jìn)行電流、電壓的疊加，而不能進(jìn)行功率的疊加，這是因?yàn)楣β逝c電流、電壓為二次方關(guān)系，即

P=I2R=(I′+I″)2R≠I′2R+I″2R

同時(shí)在除去電源時(shí)應(yīng)注意保留其內(nèi)阻.

方法2：戴維南定理

戴維南定理也叫等效電壓源定理，即對(duì)外電路來說，一個(gè)含源二端線性網(wǎng)絡(luò)可以用一個(gè)電壓源來代替，該電壓源的電動(dòng)勢(shì)E0等于二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓，其內(nèi)阻R0等于含源二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有電源電動(dòng)勢(shì)為零，僅保留其內(nèi)阻時(shí)，網(wǎng)絡(luò)兩端的等效電阻(即輸入電阻).

根據(jù)戴維南定理可以對(duì)一個(gè)含源二端網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化的關(guān)鍵在于正確求出含源二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓和等效電阻.

下面用戴維南定理求圖9中的電流I1.

移開圖9左邊的待求支路，如圖11(a)所示，該二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓

即等效電源的電動(dòng)勢(shì)為

圖11

再求二端網(wǎng)絡(luò)的輸入電阻Rab，這時(shí)將電源電動(dòng)勢(shì)除去，如圖11(b)所示，則

畫出ab端對(duì)應(yīng)的等效電壓源，并將待求支路接入，如圖11(c)所示，可求得

I3的求解過程同上，但是我們?cè)谇蟪鯥1后，不一定非要再用一次戴維南定理求I3，也可以在圖9中用求得的I1結(jié)合基爾霍夫兩個(gè)定律計(jì)算出I3的大小.

點(diǎn)評(píng):在實(shí)際問題中，遇到一個(gè)復(fù)雜直流電路，如果并不需要把所有的支路電流都求出來，在這種情況下，用基爾霍夫定律來計(jì)算就很復(fù)雜，而應(yīng)用戴維南定理就比較方便.

戴維南定理的兩個(gè)關(guān)鍵步驟：求開路電壓Uab和等效電阻Rab.在計(jì)算開路電壓Uab時(shí)，必須注意代替含源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電壓源E0的極性應(yīng)與開路電壓Uab保持一致，如果求得的Uab是負(fù)值，則電動(dòng)勢(shì)E0的極性應(yīng)與圖11(c)中的極性相反；求等效電阻Rab時(shí)，必須將網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的各個(gè)電源除去，僅保留電源內(nèi)阻.

戴維南定理只適用于二端網(wǎng)絡(luò)以及二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部為線性電路的情形，如果二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)有非線性元件(如二極管、三極管等)，或者所求部分為三端網(wǎng)絡(luò)(如三相負(fù)載)，則不適用，但如果所求支路中含有非線性元件，戴維南定理同樣適用.

在高中物理電學(xué)部分，戴維南定理也常被我們用來作為電路分析的一種有效方法，如求解負(fù)載的最大功率問題、測(cè)定電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻中的實(shí)驗(yàn)誤差分析等.

方法3：Y-△變換

如圖12(a)和(b)所示是一個(gè)Y形電阻網(wǎng)絡(luò)和一個(gè)△形電阻網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)這兩個(gè)電阻網(wǎng)絡(luò)分別接到同一個(gè)電路中時(shí)，如能保持這個(gè)電路中其余各部分的電流和電壓不變，則這兩個(gè)電阻網(wǎng)絡(luò)對(duì)于這個(gè)電路是等效的.

圖12

Y形電路等效變換成△形電路的條件為(證明過程略)

△形電路等效變換成Y形電路的條件為

觀察圖9中的3個(gè)電阻4R,2R,4R，可以發(fā)現(xiàn)它們是Y接法，將其下端分別標(biāo)上數(shù)字“1”、“2”、“3”，如圖13(a)所示.用Y-△等效變換法將此Y形接法變換成△形接法，如圖13(b)所示，對(duì)應(yīng)的△形接法中等效電阻為R12=8R,R13=16R,R23=8R.

由圖13(b)可知，電阻R12上電壓為零，故電流也為零，可將R12等效為斷開，且對(duì)I1和I3無影響，則

圖13

點(diǎn)評(píng):Y-△電路的等效變換屬于節(jié)點(diǎn)電路的等效，在應(yīng)用中，除了正確使用電阻變換公式計(jì)算各電阻值外，還必須正確連接各對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn).

Y-△變換所說的等效是對(duì)外部電路等效，對(duì)內(nèi)部不成立.如本題中的這種變換對(duì)于外電路，即圖13(a)中虛線所圈外面的兩個(gè)電源和一根導(dǎo)線而言是等效的，不會(huì)改變I1,I3和I6的大小，而對(duì)虛線所圈內(nèi)部的3個(gè)電阻來講是不等效的.

(收稿日期：2015-10-23)