袁 平 李忠相
(重慶市第一中學(xué)校 重慶 400030)
競賽與物理專題研修
網(wǎng)孔電流法及其應(yīng)用
袁 平 李忠相
(重慶市第一中學(xué)校 重慶 400030)
以網(wǎng)孔電流替代支路電流為求解對象的網(wǎng)孔電流法在求解復(fù)雜電路上具有明顯優(yōu)勢,基于此介紹了網(wǎng)孔電流法的基本原理和在物理競賽中的應(yīng)用,并給出示例.
網(wǎng)孔電流法 基爾霍夫定律 復(fù)雜電路 等效電阻
凡不能用電阻串并聯(lián)等效變換化簡的電路,一般稱為復(fù)雜電路.在計算復(fù)雜電路的各種方法中,支路電流法是最基本的.它是應(yīng)用基爾霍夫電流定律和電壓定律分別對結(jié)點和回路列出所需要的方程組,而后解出各未知支路電流,即將各支路電流作為求解對象.
【例1】求解圖1所示電路中各支路電流.其中電源電動勢ε=1.4 V,內(nèi)阻不計,R2=R3=R5=1 Ω.
圖1 例1題圖
解析:先在電路圖上選定好未知支路電流的參考方向(圖2).電路中共4個結(jié)點,3個單孔回路,可列出4 - 1 = 3個結(jié)點電流方程組和3個回路電壓方程組,即
(1)
代入數(shù)據(jù),即可解得
I0=1.0 AI1=0.4 A
I2=0.6 AI3=0.6 A
I4=0.4 AI5=-0.2 A
圖2 選定參考方向
點評:利用基爾霍夫定律解題,雖然邏輯流程簡潔,但是在實際手工運算中有兩點極為不便.一是方程個數(shù)多,獨立方程數(shù)目等于電路支路數(shù),消元化簡步驟多,計算極易出錯;二是在列每個方程時,各項都要考慮正負號,費時且易出錯.任何一個環(huán)節(jié)出錯,都會導(dǎo)致滿盤皆輸,只得從頭再來.
如果根據(jù)基爾霍夫定律,將上述求解過程稍做調(diào)整,用網(wǎng)孔電流替代支路電流作為求解對象,上述不便就將逐一化解.
所謂網(wǎng)孔電流,就是假想每個網(wǎng)孔對應(yīng)一個獨立的電流,同時屬于兩個網(wǎng)孔的支路,其電流等于兩個網(wǎng)孔各自電流之和.例1所示電路有3個網(wǎng)孔,設(shè)如圖3所示的3個網(wǎng)孔電流(為了區(qū)分實際電流,網(wǎng)孔電流可用i表示).如果解出這3個網(wǎng)孔電流,各支路電流就都可以簡單寫出了.例如流過R1的電流I1=i1,流過R5的電流I5=i1-i2,其他支路情形類似.
圖3 例1網(wǎng)孔法分析
顯然,這樣假設(shè)的網(wǎng)孔電流一定滿足基爾霍夫電流定律,只需要根據(jù)基爾霍夫電壓定律列出方程即可求解.每個網(wǎng)格設(shè)一個網(wǎng)孔電流,剛好每個網(wǎng)格可以列一個回路電壓方程.對于第i個網(wǎng)孔回路,電壓方程的通式為[1]
ii∑Ri-∑ipRip=∑εi
(2)
其中∑Ri為第i個網(wǎng)孔回路的總阻值,此項恒為正;-∑ipRip中ip是與第i個網(wǎng)孔相鄰的第p個網(wǎng)孔對應(yīng)的網(wǎng)孔電流,Rip是第i個網(wǎng)孔和第p個網(wǎng)孔共用的電阻,如果所有網(wǎng)孔電流均同為順時針或同為逆時針,則此項恒為負;∑εi是第i個網(wǎng)孔回路的總電動勢,與該網(wǎng)孔電流同向為正,反向為負.
對于例1所示電路,網(wǎng)孔電流法具體表達式為
(3)
代入數(shù)據(jù),即可解得i1=0.4 A,i2=0.6 A,i3=1.0 A,再簡單換算就可以得到各支路電流.
點評:通過實際運算會發(fā)現(xiàn),網(wǎng)孔電流法完全解決了基爾霍夫的兩點不便.一是方程數(shù)目明顯減少,由等于電路支路數(shù)目變?yōu)榈扔诰W(wǎng)孔數(shù)目,大大簡化了消元過程.二是每個方程具有固定的結(jié)構(gòu),除了電動勢一項外其他各項均不需要判斷正負號,大大降低了符號錯誤的可能性.電路越復(fù)雜,網(wǎng)孔電流法的優(yōu)勢就越明顯.
對于沒有電源的純電阻網(wǎng)絡(luò),也可以構(gòu)造假想網(wǎng)孔電流,從而求解其等效電阻.
【例2】如圖4所示“田”字形電阻網(wǎng)絡(luò),每小段電阻均為R,求A和B兩點間的等效電阻.
圖4 例2題圖
解析:假設(shè)有電流I從A點流入網(wǎng)絡(luò),從B點流出.電流在網(wǎng)絡(luò)中的具體分布,采用網(wǎng)孔電流設(shè)出.提供外電流I的電路也設(shè)為一個網(wǎng)孔,但無需列出相應(yīng)的方程,直接將I視為已知.如圖5所示.對原網(wǎng)絡(luò)的4個網(wǎng)孔列出電壓方程,有
(4)
圖5 例2網(wǎng)孔法分析
(5)
點評:求解電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的方法很多,比如等勢點的斷開與連接、星三變換、疊加法、電流分布法等.和這些方法相比較,網(wǎng)孔電流法對思維能力和運算能力要求均不太高,具有比較明顯的優(yōu)勢.一旦掌握,一般會成為求解不對稱電阻網(wǎng)絡(luò)的首選方法.
【例3】如圖6所示的電阻絲網(wǎng)絡(luò)包含n≥3個正方形,網(wǎng)絡(luò)中每一小段的電阻均為R,試求A和B之間的等效電阻RAB.
圖6 例3題圖
解析:此網(wǎng)絡(luò)有n個單元,但各單元又有一定的相似性,無論用什么方法都不會太簡單,我們嘗試在網(wǎng)孔電流法的基礎(chǔ)上尋求解決之道.假設(shè)有電流I從A點流入網(wǎng)絡(luò),從B點流出.電流在網(wǎng)絡(luò)中的具體分布,采用網(wǎng)孔電流設(shè)出,如圖7所示.
圖7 例3網(wǎng)孔法分析
如果解出各網(wǎng)孔電流,由ACB路徑,AB間的電壓可以寫為
UAB=2i1R+i2R+…in-1R+inR=
(i1+i2+…+in-1+in)R+i1R
(6)
由ADB路徑,AB間的電壓可以寫為
UAB=(n+1)IR-
(i1R+i2R+…in-1R+2inR)=
(n+1)IR-(i1+i2+…+in-1+in)R-inR
(7)
將(6)、(7)兩式相加即可消去各中間網(wǎng)孔的電流,有
(8)
由于對稱性,AC段電流和DB段電流相等,即
i1=I-in
(9)
由(8)、(9)兩式可得
(10)
結(jié)合UAB=IRAB,可得
(11)
可見,只需要求出i1與I之比,即可得到AB間的等效電阻.
對各個網(wǎng)孔,列出回路電壓方程,有
將各個網(wǎng)孔對應(yīng)列出的回路電壓方程化簡為
(12)
可見,從第2個網(wǎng)孔到第n- 1個網(wǎng)孔,都具有相同結(jié)構(gòu)的表達式
4ik-ik-1-ik+1-I=0
(13)
設(shè)上式可寫為
ik+1-αik=β(ik-αik-1)-I
(14)
由式(13)、(14)對比可知
α+β=4αβ=1
(15)
解得
(16)
由式(14)累加,不難得到
in-1-αin-2=
βn-3(i2-αi1)-(1+β+…+βn-4)I
(17)
由對稱性,有
i1=I-ini2=I-in-1i3=I-in-2
(18)
可解得
(19)
(20)
長期的教學(xué)實踐表明,網(wǎng)孔電流法大大降低了解復(fù)雜電路計算出錯的概率,在物理競賽之類的考試中有非常重要的應(yīng)用.從網(wǎng)孔電流法的原理不難理解,它不但適用于恒定電流電路,也適用于正弦交變電流電路[3].但電路中如果有不滿足疊加原理的非線性元件,疊加原理失效,此方法也就不能用了.
1 王鳳池.網(wǎng)孔電流法.冀東學(xué)刊,1994(6):7~9
2 舒幼生,胡望雨,陳秉乾.物理學(xué)難題集萃(增訂本).北京:高等教育出版社,1999.688~691
3 秦曾煌.電工學(xué)(第六版).北京:高等教育出版社,2004.129~130
2017-04-09)