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        網(wǎng)孔電流方程的改進和廣義網(wǎng)孔電流方程的建立

        2018-10-24 07:51:08彭愛蓮
        商丘師范學(xué)院學(xué)報 2018年12期

        彭愛蓮

        (商丘師范學(xué)院 電子電氣工程學(xué)院,河南 商丘 476000)

        在分析復(fù)雜的線性時不變的平面電路時,網(wǎng)孔電流法是一種普適的方法,尤其對于支路數(shù)較多而網(wǎng)孔較少的電路,運用網(wǎng)孔法求解電路最方便和快捷.網(wǎng)孔電流法是以網(wǎng)孔電流為變量,依據(jù)基爾霍夫電壓定律(Kirchhoff′s voltage law,KVL)列出每個網(wǎng)孔的電流方程,通過方程組求得各網(wǎng)孔電流,進而得到電路中每條支路的電壓、電流和功率[1].

        在含有多個無伴電流源的電路中,為了避免引入網(wǎng)孔電流以外的變量,通常把含有公共電流源支路的、相毗鄰的網(wǎng)孔所構(gòu)成的回路看作一個廣義網(wǎng)孔,廣義網(wǎng)孔的電流方程目前沒有統(tǒng)一的公式[2-4].本文中,在對網(wǎng)孔分類的基礎(chǔ)上,對普通的網(wǎng)孔電流方程進行改進,并對廣義網(wǎng)孔的KVL方程進行分析,總結(jié)出廣義網(wǎng)孔電流方程的一般表達式.本文中,網(wǎng)孔的繞行方向和網(wǎng)孔電流的方向均取順時針方向,用imk表示第k個網(wǎng)孔的電流.

        1 普通網(wǎng)孔電流方程的改進

        具有m個網(wǎng)孔的平面電路,網(wǎng)孔k的電流方程的一般形式為[1]:

        Rk1im1+Rk2im2++Rkkimk+Rkmimm=uskk

        (1)

        如果對電路中的網(wǎng)孔進行分類,依據(jù)與網(wǎng)孔k的關(guān)系,可分成三類,第一類是不與k毗鄰的網(wǎng)孔;第二類是與k毗鄰的網(wǎng)孔;第三類是k自身.第一類網(wǎng)孔與k之間的互電組均為0,因此,公式(1)中相應(yīng)的項可以去除.如果將第二類網(wǎng)孔記為i,公式(1)可以改寫為:

        (2)

        公式(2)表明,在列寫網(wǎng)孔k的電流方程時,主要是觀察電路中與k毗鄰的網(wǎng)孔和k自身,計算出互電阻和自電阻.電路中不與k毗鄰的網(wǎng)孔,其網(wǎng)孔電流和相應(yīng)的互電阻可以不列在方程的表達式中,公式(2)是對公式(1)的精簡,是普通網(wǎng)孔電流方程的改進.

        用圖1示例比較公式(1),(2)的不同.圖1中,從左向右共4個網(wǎng)孔,依次記為網(wǎng)孔1,2,3和4,其網(wǎng)孔電流依次為im1,im2,im3和im4.以網(wǎng)孔1和2為例,應(yīng)用公式(1),電流方程分別為:

        R11im1+R12im2+R13im3+R14im4=us11

        (3)

        R21im1+R22im2+R23im3+R24im4=us22

        (4)

        利用改進后的方程(2),網(wǎng)孔1和2的電流方程可寫為:

        R12im2+R11im1=us11

        (5)

        R21im1+R23im3+R22im2=us22

        (6)

        公式(3)和(4)中,共需要計算10項,而公式(5)和(6)中,共需要計算7項.因此,利用改進后的公式,計算量有效降低,對于含有更多網(wǎng)孔的電路中,計算量的降低會更加明顯.

        圖1 比較公式(1)和(2)的電路圖

        圖2 具有公共無伴電流源支路的電路

        2 廣義網(wǎng)孔電流方程的建立

        在含有多個無伴電流源的電路中,若某無伴電流源所在的支路是兩個網(wǎng)孔的公共支路,如圖2中的is1.

        依據(jù)公式(1)或公式(2)列寫網(wǎng)孔1和2列電流方程時,都必須引入電流源is1的兩端電壓作為電路變量,方程的難度增大.如果將回路abcdefa作為一個廣義網(wǎng)孔,記為網(wǎng)孔A.A的KVL方程為R1(im1-im4)+R2(im2-im4)+R3(im2-im3)+us2-us1=0,整理可得:

        -R3im3-(R1+R2)im4+R1im1+(R2+R3)im2=us1-us2

        (7)

        觀察圖2可知,公式(7)中的網(wǎng)孔電流分為兩類,一類是與A毗鄰網(wǎng)孔的電流,即im3和im4,其系數(shù)分別是A與網(wǎng)孔3、4公共支路上的電組的負值,因此可令:RA3=-R3,RA4=-(R1+R2),分別稱為A與網(wǎng)孔3、4的互電阻.另一類是A內(nèi)部網(wǎng)孔的電流,即im1和im2,其系數(shù)分別是各自網(wǎng)孔上的電阻之和,因此可令:R11=R1,R22=R2+R3,分別稱為網(wǎng)孔1、2的自電阻.等號右邊是A邊沿支路上的電源電壓的代數(shù)和,令:usAA=uS1-uS2,公式(7)可寫為:

        RA3im3+RA4im4+R11im1+R22im2=usAA

        (8)

        依據(jù)各網(wǎng)孔與A的關(guān)系,公式(8)可看作由三部分組成,第一部分是與A毗鄰網(wǎng)孔的電流項,即RA3im3+RA4im4;第二部分是A內(nèi)部網(wǎng)孔的電流項,即R11im1+R22im2;第三部分是usAA.依據(jù)此結(jié)構(gòu)特點,可以將公式進行推廣,若電路中與A毗鄰的網(wǎng)孔記為i,A內(nèi)部的網(wǎng)孔記為j,則廣義網(wǎng)孔A電流方程的一般表達可書寫如下:

        (9)

        公式(9)表明,在列寫A的電流方程時,主要是觀察電路中與A毗鄰的網(wǎng)孔和A自身,計算出互電阻RAi和自電阻Rjj.電路中不與A毗鄰的網(wǎng)孔,如圖2中的網(wǎng)孔5,與A的互電阻為零,其網(wǎng)孔電流im5不列在方程的表達式中,該特征與改進的普通網(wǎng)孔電流方程的特征相同[5].

        特殊情況下,若A中的網(wǎng)孔只有一個,則廣義網(wǎng)孔變成一個普通的網(wǎng)孔.若設(shè)A只包含一個網(wǎng)孔k,則網(wǎng)孔j也等于網(wǎng)孔k,則有如下公式:

        (10)

        公式(10)和公式(2)表達形式完全相同,即公式(9)不僅適用于以無伴電流源為公共支路的廣義網(wǎng)孔,也適用于普通網(wǎng)孔.

        3 廣義網(wǎng)孔電流方程的推廣應(yīng)用

        圖3 含有多個相連的無伴電流源的電路

        當(dāng)電路中存在多個相連的無伴電流源時,可把以這些電流源為公共支路的所有網(wǎng)孔所構(gòu)成的回路看作一個廣義網(wǎng)孔.如圖3所示,把回路abcda作為一個廣義網(wǎng)孔,記為網(wǎng)孔B.對B列KVL方程:R1(im1-im5)+R4(im4-im8)+R3(im3-im7)+R2(im2-im6)+us2-us1=0,整理可得:

        -R1im5-R2im6-R3im7-R4im8+R1im1+R2im2+R3im3+R4im4=us1-us2

        (11)

        觀察圖3可知,公式(11)的組成也是分為三部分,公式的前4項屬于與B毗鄰的網(wǎng)孔電流項;公式的第5、6、7、8項屬于B內(nèi)部的網(wǎng)孔電流項;等號右邊是B邊沿支路上的電源電壓的代數(shù)和.若與B毗鄰的網(wǎng)孔記為i,B內(nèi)部的網(wǎng)孔記為j,則公式(11)可分寫為:

        其中RBi是B與網(wǎng)孔i的互電阻,Rjj是網(wǎng)孔j的自電阻,usBB是B邊沿支路上的電源電壓的代數(shù)和,則公式(11)可重新寫為:

        (12)

        公式(12)與公式(9)在形式上是完全一致的,以此推斷,公式(9)也適用于以多個相連的無伴電流源為公共支路的廣義網(wǎng)孔[6-8].

        4 結(jié) 論

        電路中不與網(wǎng)孔k毗鄰的網(wǎng)孔,與k之間的互電阻均為0,普通網(wǎng)孔電流方程中相應(yīng)的項可以去除,方程的表達式得到精簡.以無伴電流源為公共支路的、相毗鄰的網(wǎng)孔所構(gòu)成的廣義網(wǎng)孔,其KVL方程可以劃分為三個組成部分,第一部分是與廣義網(wǎng)孔毗鄰的網(wǎng)孔電流項;第二部分是廣義網(wǎng)孔內(nèi)部的網(wǎng)孔電流項;第三部分是廣義網(wǎng)孔邊沿支路上的電源電壓的代數(shù)和.依據(jù)此結(jié)構(gòu)特點,總結(jié)出廣義網(wǎng)孔電流方程的一般表達式.分析證明,公式(9)不僅適用于以單個或多個相連的無伴電流源為公共支路的廣義網(wǎng)孔,也同樣適用于普通的單個網(wǎng)孔,屬于更廣泛意義上的網(wǎng)孔電流方程.

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