楊 蕾　黃亦斌

(江西師范大學(xué)　江西 南昌　330022)

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車輪運(yùn)動(dòng)問題

楊 蕾黃亦斌

(江西師范大學(xué)江西 南昌330022)

摘 要：主要探討了汽車主動(dòng)輪在運(yùn)動(dòng)中所受的摩擦，首先明確滾動(dòng)摩擦的產(chǎn)生原理和適用范圍，縮小問題范圍，將車輪運(yùn)動(dòng)看做剛體運(yùn)動(dòng)，得出靜摩擦力的作用.最后，討論汽車在提速前進(jìn)運(yùn)動(dòng)中，引入驅(qū)動(dòng)力，解釋不做功的靜摩擦力是如何對(duì)汽車動(dòng)能變化起作用，得出加速力與做功力的區(qū)別.

關(guān)鍵詞：主動(dòng)輪滾動(dòng)摩擦動(dòng)能靜摩擦 做功

汽車前進(jìn)過程是中學(xué)物理中常常討論的問題，尤其是汽車車輪所受摩擦力與其運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，是一個(gè)具有實(shí)際意義和理論意義的問題.然而，汽車運(yùn)動(dòng)中究竟是滾動(dòng)摩擦，還是靜摩擦起作用常常難以解釋.本文以汽車的主動(dòng)輪為研究對(duì)象，先討論車輪運(yùn)動(dòng)中滾動(dòng)摩擦的作用，明確中學(xué)階段車輪問題所研究的摩擦范圍，并對(duì)車輪的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行解釋.

1滾動(dòng)摩擦

車輪滾動(dòng)前進(jìn)，在這個(gè)滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)中是否有滾動(dòng)摩擦力呢？事實(shí)上，并不存在滾動(dòng)摩擦力的概念.滾動(dòng)摩擦力這一提法曾出現(xiàn)在50年代的教科書中，此后新改版的力學(xué)教材都將其做出改動(dòng)，一律把滾動(dòng)摩擦中的阻礙改為滾動(dòng)摩擦力偶矩.

假設(shè)車輪和地面為系統(tǒng)內(nèi)的兩個(gè)剛體，在不受外力的情況下，輪子在地面上無滑滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖1所示，車輪受到的重力G和地面對(duì)車輪的支持力N都在通過質(zhì)心的豎直直線上，這兩個(gè)力大小相等、方向相反.假設(shè)地面粗糙，沒有驅(qū)動(dòng)力作用的輪子是否受摩擦力？若假設(shè)車輪受到向前的摩擦力，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，輪子將在水平方向加速運(yùn)動(dòng)，速度為v；此外，摩擦力矩對(duì)輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)起著阻礙作用，減弱輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω.做無滑滾動(dòng)的車輪需要滿足v=ωR,若存在上述向前的摩擦力，則破壞無滑滾動(dòng)的前提條件；同理，做無滑滾動(dòng)的車輪也不存在向后的摩擦力.那么，無滑滾動(dòng)的車輪將在慣性的作用下一直勻速滾動(dòng)下去.

圖1

然而，在實(shí)際情況中，車輪在不受外力時(shí)，會(huì)慢慢減速而停下，這是為什么呢？因?yàn)樵趯?shí)際情況中，車輪和地面都是會(huì)發(fā)生形變的非剛體，當(dāng)兩者有形變時(shí)，會(huì)產(chǎn)生滾動(dòng)摩擦力偶矩，阻礙物體的滾動(dòng).

如圖2所示，設(shè)坐標(biāo)系xOy為與水平面固定相連的靜止坐標(biāo)系，地面受車輪壓力而發(fā)生形變，地面部分下陷，當(dāng)車輪向前滾動(dòng)時(shí)，前方支持面凸起，接觸面給車輪的作用力已經(jīng)不再通過質(zhì)心，受力點(diǎn)由B點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn),在這塊小的接觸面積上，受到的作用力為F，將作用力分解為豎直方向支持力N和水平方向的摩擦力f，車輪受到的支持力N與重力G組成了一對(duì)大小相等，方向相反，不是同一條直線上的力偶矩，這就是滾動(dòng)摩擦力偶矩，滿足公式M=dN，d為滾動(dòng)摩擦系數(shù)，具有長(zhǎng)度的量綱，其數(shù)值大小主要取決于相互接觸的物體的材料性質(zhì)和表面狀況(粗糙程度、濕度等)，正是這個(gè)滾動(dòng)摩擦力偶矩阻礙了輪子的轉(zhuǎn)動(dòng).

當(dāng)解釋輪子在向前滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)中會(huì)慢慢減速停下時(shí)，必須考慮水平方向上的摩擦力f，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，這個(gè)摩擦力f與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方向相反，對(duì)車輪的平動(dòng)起到阻礙作用.

可見，在剛體滾動(dòng)中，不存在滾動(dòng)摩擦力偶矩.在非剛體滾動(dòng)中，滾動(dòng)摩擦力偶矩才起作用，該滾動(dòng)摩擦力偶矩做負(fù)功，使車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能減小，阻礙物體的轉(zhuǎn)動(dòng)，使車輪在不受外力時(shí)慢慢減速.但若有外力如發(fā)動(dòng)機(jī)提供的驅(qū)動(dòng)力作用，這個(gè)驅(qū)動(dòng)力矩往往數(shù)值很大，滾動(dòng)摩擦力偶矩相對(duì)于發(fā)動(dòng)機(jī)提供的驅(qū)動(dòng)車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩來說很小，常常忽略.并且中學(xué)階段我們進(jìn)行受力分析的多為大小不可改變的理想物體.

2解車輪運(yùn)動(dòng)

通過上述的分析，我們可以將車輪運(yùn)動(dòng)中的滾動(dòng)摩擦忽略，把車輪和地面都視為理想剛體，討論在車輪不打滑的情況下(無滑動(dòng)摩擦力)，解車輪的運(yùn)動(dòng)，分析車輪運(yùn)動(dòng)中各部分相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)情況，再將力與運(yùn)動(dòng)聯(lián)系，得出產(chǎn)生這種運(yùn)動(dòng)的原因.

2.1車輪運(yùn)動(dòng)

如圖3，在不打滑的情況下，車輪以角速度ω向前滾動(dòng).將車輪的平動(dòng)看成是質(zhì)心O1的運(yùn)動(dòng)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)間為T,轉(zhuǎn)動(dòng)一圈后車輪質(zhì)心運(yùn)動(dòng)位移為L(zhǎng),則質(zhì)心O1相對(duì)地面的速度

(1)

圖3

車輪以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，則車輪頂端A相對(duì)于質(zhì)心的速度

(2)

從地面坐標(biāo)系xOy觀察，根據(jù)速度疊加公式，結(jié)合式(1)和式(2)，可得車輪頂端A相對(duì)地面的速度為

同理可得輪子底端B點(diǎn)，從地面系中觀察到的速度vB為零.這也是不打滑的真正含義，即車輪和地面之間沒有相對(duì)速度.

這里，還可以通過動(dòng)能的角度進(jìn)行分析，汽車車輪運(yùn)動(dòng)可以看做平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)合.

平動(dòng)動(dòng)能

(3)

轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

(4)

動(dòng)能

Ek=E1+E2=

(5)

從式(5)中可以發(fā)現(xiàn)，車輪在地面的轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)等效于一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1的物體做純轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，這個(gè)新的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

根據(jù)平行軸定理J=JC+Md2，剛體對(duì)任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體質(zhì)量與兩軸間距離的平方的乘積.

對(duì)比平行軸定理和J1，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)純轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)可視為質(zhì)量不變，繞坐標(biāo)原點(diǎn)(輪子與地面的接觸點(diǎn))以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)的輪子，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1滿足

J1=JC+MR2

那么，這個(gè)新的轉(zhuǎn)軸位置也是物體在平面運(yùn)動(dòng)過程中某一瞬間，速度為零的點(diǎn)，即為瞬心C.還可以根據(jù)剛體上兩點(diǎn)的速度用繪圖的方式確定瞬心C的位置，如圖4所示.

圖4

因此，可以想象，對(duì)于任何一輛高速行駛的汽車來說，其車輪底部邊緣對(duì)與地面的接觸點(diǎn)沒有任何速度和位移，如果此處有摩擦力，那么就只能是靜摩擦力.

2.2汽車加速過程的動(dòng)力學(xué)分析

如圖5所示,主動(dòng)輪受到豎直向下的重力G和汽車對(duì)車輪的壓力F，還受到地面對(duì)車輪垂直水平面向上的支持力N和靜摩擦力f，以及汽車內(nèi)部發(fā)動(dòng)機(jī)提供使主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力矩M.

主動(dòng)輪在豎直方向上受力平衡F+G=N，車輪運(yùn)動(dòng)必須滿足質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理

f=ma

(6)

M-fr=Jα

(7)

圖5

由于在不打滑的情況下，質(zhì)心平動(dòng)速度與車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度需滿足vC=ωR，故而，質(zhì)心加速度與車輪的角加速度必須滿足aC=Rα.改變系統(tǒng)動(dòng)量、提供加速度的力只能是系統(tǒng)的外力，而靜摩擦力是汽車在水平方向唯一受到的外力.雖然該靜摩擦力沒有做功(受力點(diǎn)沒有速度)，但為車輪向前提供了加速度，為車輪的平動(dòng)提供了可能.就像立定跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)中，鞋子受到地面的靜摩擦力，這個(gè)力為人的向前運(yùn)動(dòng)提供了加速度，卻沒有做功.

在不打滑的情況下，若主動(dòng)輪在向前做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其角加速度α必須保持不變，如式(7)所示，靜摩擦力產(chǎn)生阻礙車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩，因此必須有其他的力矩提供給車輪，讓其保持以角加速度α加速轉(zhuǎn)動(dòng)，這就是汽車的動(dòng)力系統(tǒng)，提供驅(qū)動(dòng)力.驅(qū)動(dòng)力僅僅在車輪轉(zhuǎn)動(dòng)上起作用，體現(xiàn)為力矩，提高車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度.車輪做無滑滾動(dòng)，角速度和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)速度滿足v=ωR，驅(qū)動(dòng)力矩通過增加車輪的角速度，改變汽車運(yùn)動(dòng)的平動(dòng)速度.根據(jù)功能關(guān)系，內(nèi)力和外力做功都會(huì)改變系統(tǒng)的動(dòng)能，驅(qū)動(dòng)力作為汽車系統(tǒng)的內(nèi)力通過做功的方式，只是使車輪的轉(zhuǎn)速增大，配合靜摩擦力的作用去改變主動(dòng)輪向前運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能.若只有驅(qū)動(dòng)力的作用，而無靜摩擦力，此時(shí)可以想象輪子陷入泥坑的情形，輪子只能在原地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，增加轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能，但汽車無法向前運(yùn)動(dòng).

因此，在汽車加速的情境中，加速的力不做功(指靜摩擦力)，做功的力不加速(指內(nèi)力或驅(qū)動(dòng)力).

參 考 文 獻(xiàn)

1汪志成. 滾動(dòng)摩擦機(jī)理與滾動(dòng)摩擦系數(shù).上海機(jī)械學(xué)院學(xué)報(bào)，1993(4):35～43

2梁昆淼. 力學(xué)(上冊(cè)).北京：人民教育出版社，1978.113～114

3趙加良. 車輪上的物理——靜摩擦力扮演的角色.物理通報(bào)，2013(1):34～35

(收稿日期：2015-11-13)