楊 蕾 黃亦斌
(江西師范大學(xué) 江西 南昌 330022)
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車輪運動問題
楊 蕾黃亦斌
(江西師范大學(xué)江西 南昌330022)
摘 要:主要探討了汽車主動輪在運動中所受的摩擦,首先明確滾動摩擦的產(chǎn)生原理和適用范圍,縮小問題范圍,將車輪運動看做剛體運動,得出靜摩擦力的作用.最后,討論汽車在提速前進運動中,引入驅(qū)動力,解釋不做功的靜摩擦力是如何對汽車動能變化起作用,得出加速力與做功力的區(qū)別.
關(guān)鍵詞:主動輪滾動摩擦動能靜摩擦 做功
汽車前進過程是中學(xué)物理中常常討論的問題,尤其是汽車車輪所受摩擦力與其運動之間的關(guān)系,是一個具有實際意義和理論意義的問題.然而,汽車運動中究竟是滾動摩擦,還是靜摩擦起作用常常難以解釋.本文以汽車的主動輪為研究對象,先討論車輪運動中滾動摩擦的作用,明確中學(xué)階段車輪問題所研究的摩擦范圍,并對車輪的運動過程進行解釋.
1滾動摩擦
車輪滾動前進,在這個滾動運動中是否有滾動摩擦力呢?事實上,并不存在滾動摩擦力的概念.滾動摩擦力這一提法曾出現(xiàn)在50年代的教科書中,此后新改版的力學(xué)教材都將其做出改動,一律把滾動摩擦中的阻礙改為滾動摩擦力偶矩.
假設(shè)車輪和地面為系統(tǒng)內(nèi)的兩個剛體,在不受外力的情況下,輪子在地面上無滑滾動運動時,如圖1所示,車輪受到的重力G和地面對車輪的支持力N都在通過質(zhì)心的豎直直線上,這兩個力大小相等、方向相反.假設(shè)地面粗糙,沒有驅(qū)動力作用的輪子是否受摩擦力?若假設(shè)車輪受到向前的摩擦力,根據(jù)質(zhì)心運動定理,輪子將在水平方向加速運動,速度為v;此外,摩擦力矩對輪子的轉(zhuǎn)動起著阻礙作用,減弱輪子轉(zhuǎn)動的角速度ω.做無滑滾動的車輪需要滿足v=ωR,若存在上述向前的摩擦力,則破壞無滑滾動的前提條件;同理,做無滑滾動的車輪也不存在向后的摩擦力.那么,無滑滾動的車輪將在慣性的作用下一直勻速滾動下去.
圖1
然而,在實際情況中,車輪在不受外力時,會慢慢減速而停下,這是為什么呢?因為在實際情況中,車輪和地面都是會發(fā)生形變的非剛體,當兩者有形變時,會產(chǎn)生滾動摩擦力偶矩,阻礙物體的滾動.
如圖2所示,設(shè)坐標系xOy為與水平面固定相連的靜止坐標系,地面受車輪壓力而發(fā)生形變,地面部分下陷,當車輪向前滾動時,前方支持面凸起,接觸面給車輪的作用力已經(jīng)不再通過質(zhì)心,受力點由B點移動到C點,在這塊小的接觸面積上,受到的作用力為F,將作用力分解為豎直方向支持力N和水平方向的摩擦力f,車輪受到的支持力N與重力G組成了一對大小相等,方向相反,不是同一條直線上的力偶矩,這就是滾動摩擦力偶矩,滿足公式M=dN,d為滾動摩擦系數(shù),具有長度的量綱,其數(shù)值大小主要取決于相互接觸的物體的材料性質(zhì)和表面狀況(粗糙程度、濕度等),正是這個滾動摩擦力偶矩阻礙了輪子的轉(zhuǎn)動.
當解釋輪子在向前滾動的運動中會慢慢減速停下時,必須考慮水平方向上的摩擦力f,根據(jù)質(zhì)心運動定理,這個摩擦力f與質(zhì)心運動方向相反,對車輪的平動起到阻礙作用.
可見,在剛體滾動中,不存在滾動摩擦力偶矩.在非剛體滾動中,滾動摩擦力偶矩才起作用,該滾動摩擦力偶矩做負功,使車輪的轉(zhuǎn)動動能減小,阻礙物體的轉(zhuǎn)動,使車輪在不受外力時慢慢減速.但若有外力如發(fā)動機提供的驅(qū)動力作用,這個驅(qū)動力矩往往數(shù)值很大,滾動摩擦力偶矩相對于發(fā)動機提供的驅(qū)動車輪轉(zhuǎn)動的力矩來說很小,常常忽略.并且中學(xué)階段我們進行受力分析的多為大小不可改變的理想物體.
2解車輪運動
通過上述的分析,我們可以將車輪運動中的滾動摩擦忽略,把車輪和地面都視為理想剛體,討論在車輪不打滑的情況下(無滑動摩擦力),解車輪的運動,分析車輪運動中各部分相對地面的運動情況,再將力與運動聯(lián)系,得出產(chǎn)生這種運動的原因.
2.1車輪運動
如圖3,在不打滑的情況下,車輪以角速度ω向前滾動.將車輪的平動看成是質(zhì)心O1的運動,設(shè)轉(zhuǎn)動一圈時間為T,轉(zhuǎn)動一圈后車輪質(zhì)心運動位移為L,則質(zhì)心O1相對地面的速度
(1)
圖3
車輪以角速度ω轉(zhuǎn)動,則車輪頂端A相對于質(zhì)心的速度
(2)
從地面坐標系xOy觀察,根據(jù)速度疊加公式,結(jié)合式(1)和式(2),可得車輪頂端A相對地面的速度為
同理可得輪子底端B點,從地面系中觀察到的速度vB為零.這也是不打滑的真正含義,即車輪和地面之間沒有相對速度.
這里,還可以通過動能的角度進行分析,汽車車輪運動可以看做平動和轉(zhuǎn)動的結(jié)合.
平動動能
(3)
轉(zhuǎn)動動能
(4)
動能
Ek=E1+E2=
(5)
從式(5)中可以發(fā)現(xiàn),車輪在地面的轉(zhuǎn)動和平動等效于一個轉(zhuǎn)動慣量J1的物體做純轉(zhuǎn)動運動,這個新的轉(zhuǎn)動慣量
根據(jù)平行軸定理J=JC+Md2,剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量加上剛體質(zhì)量與兩軸間距離的平方的乘積.
對比平行軸定理和J1,可以發(fā)現(xiàn),這個純轉(zhuǎn)動運動可視為質(zhì)量不變,繞坐標原點(輪子與地面的接觸點)以角速度ω轉(zhuǎn)動的輪子,轉(zhuǎn)動慣量J1滿足
J1=JC+MR2
那么,這個新的轉(zhuǎn)軸位置也是物體在平面運動過程中某一瞬間,速度為零的點,即為瞬心C.還可以根據(jù)剛體上兩點的速度用繪圖的方式確定瞬心C的位置,如圖4所示.
圖4
因此,可以想象,對于任何一輛高速行駛的汽車來說,其車輪底部邊緣對與地面的接觸點沒有任何速度和位移,如果此處有摩擦力,那么就只能是靜摩擦力.
2.2汽車加速過程的動力學(xué)分析
如圖5所示,主動輪受到豎直向下的重力G和汽車對車輪的壓力F,還受到地面對車輪垂直水平面向上的支持力N和靜摩擦力f,以及汽車內(nèi)部發(fā)動機提供使主動輪轉(zhuǎn)動的驅(qū)動力矩M.
主動輪在豎直方向上受力平衡F+G=N,車輪運動必須滿足質(zhì)心運動定理和對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理
f=ma
(6)
M-fr=Jα
(7)
圖5
由于在不打滑的情況下,質(zhì)心平動速度與車輪轉(zhuǎn)動的角速度需滿足vC=ωR,故而,質(zhì)心加速度與車輪的角加速度必須滿足aC=Rα.改變系統(tǒng)動量、提供加速度的力只能是系統(tǒng)的外力,而靜摩擦力是汽車在水平方向唯一受到的外力.雖然該靜摩擦力沒有做功(受力點沒有速度),但為車輪向前提供了加速度,為車輪的平動提供了可能.就像立定跳遠運動中,鞋子受到地面的靜摩擦力,這個力為人的向前運動提供了加速度,卻沒有做功.
在不打滑的情況下,若主動輪在向前做勻加速運動時,其角加速度α必須保持不變,如式(7)所示,靜摩擦力產(chǎn)生阻礙車輪轉(zhuǎn)動的力矩,因此必須有其他的力矩提供給車輪,讓其保持以角加速度α加速轉(zhuǎn)動,這就是汽車的動力系統(tǒng),提供驅(qū)動力.驅(qū)動力僅僅在車輪轉(zhuǎn)動上起作用,體現(xiàn)為力矩,提高車輪的轉(zhuǎn)動角速度.車輪做無滑滾動,角速度和質(zhì)心運動速度滿足v=ωR,驅(qū)動力矩通過增加車輪的角速度,改變汽車運動的平動速度.根據(jù)功能關(guān)系,內(nèi)力和外力做功都會改變系統(tǒng)的動能,驅(qū)動力作為汽車系統(tǒng)的內(nèi)力通過做功的方式,只是使車輪的轉(zhuǎn)速增大,配合靜摩擦力的作用去改變主動輪向前運動的動能.若只有驅(qū)動力的作用,而無靜摩擦力,此時可以想象輪子陷入泥坑的情形,輪子只能在原地加速轉(zhuǎn)動,增加轉(zhuǎn)動的動能,但汽車無法向前運動.
因此,在汽車加速的情境中,加速的力不做功(指靜摩擦力),做功的力不加速(指內(nèi)力或驅(qū)動力).
參 考 文 獻
1汪志成. 滾動摩擦機理與滾動摩擦系數(shù).上海機械學(xué)院學(xué)報,1993(4):35~43
2梁昆淼. 力學(xué)(上冊).北京:人民教育出版社,1978.113~114
3趙加良. 車輪上的物理——靜摩擦力扮演的角色.物理通報,2013(1):34~35
(收稿日期:2015-11-13)