楊 蕾 黃亦斌
(江西師范大學(xué) 江西 南昌 330022)
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車輪運(yùn)動(dòng)問題
楊 蕾黃亦斌
(江西師范大學(xué)江西 南昌330022)
摘 要:主要探討了汽車主動(dòng)輪在運(yùn)動(dòng)中所受的摩擦,首先明確滾動(dòng)摩擦的產(chǎn)生原理和適用范圍,縮小問題范圍,將車輪運(yùn)動(dòng)看做剛體運(yùn)動(dòng),得出靜摩擦力的作用.最后,討論汽車在提速前進(jìn)運(yùn)動(dòng)中,引入驅(qū)動(dòng)力,解釋不做功的靜摩擦力是如何對(duì)汽車動(dòng)能變化起作用,得出加速力與做功力的區(qū)別.
關(guān)鍵詞:主動(dòng)輪滾動(dòng)摩擦動(dòng)能靜摩擦 做功
汽車前進(jìn)過程是中學(xué)物理中常常討論的問題,尤其是汽車車輪所受摩擦力與其運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系,是一個(gè)具有實(shí)際意義和理論意義的問題.然而,汽車運(yùn)動(dòng)中究竟是滾動(dòng)摩擦,還是靜摩擦起作用常常難以解釋.本文以汽車的主動(dòng)輪為研究對(duì)象,先討論車輪運(yùn)動(dòng)中滾動(dòng)摩擦的作用,明確中學(xué)階段車輪問題所研究的摩擦范圍,并對(duì)車輪的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行解釋.
1滾動(dòng)摩擦
車輪滾動(dòng)前進(jìn),在這個(gè)滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)中是否有滾動(dòng)摩擦力呢?事實(shí)上,并不存在滾動(dòng)摩擦力的概念.滾動(dòng)摩擦力這一提法曾出現(xiàn)在50年代的教科書中,此后新改版的力學(xué)教材都將其做出改動(dòng),一律把滾動(dòng)摩擦中的阻礙改為滾動(dòng)摩擦力偶矩.
假設(shè)車輪和地面為系統(tǒng)內(nèi)的兩個(gè)剛體,在不受外力的情況下,輪子在地面上無滑滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖1所示,車輪受到的重力G和地面對(duì)車輪的支持力N都在通過質(zhì)心的豎直直線上,這兩個(gè)力大小相等、方向相反.假設(shè)地面粗糙,沒有驅(qū)動(dòng)力作用的輪子是否受摩擦力?若假設(shè)車輪受到向前的摩擦力,根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,輪子將在水平方向加速運(yùn)動(dòng),速度為v;此外,摩擦力矩對(duì)輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)起著阻礙作用,減弱輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω.做無滑滾動(dòng)的車輪需要滿足v=ωR,若存在上述向前的摩擦力,則破壞無滑滾動(dòng)的前提條件;同理,做無滑滾動(dòng)的車輪也不存在向后的摩擦力.那么,無滑滾動(dòng)的車輪將在慣性的作用下一直勻速滾動(dòng)下去.
圖1
然而,在實(shí)際情況中,車輪在不受外力時(shí),會(huì)慢慢減速而停下,這是為什么呢?因?yàn)樵趯?shí)際情況中,車輪和地面都是會(huì)發(fā)生形變的非剛體,當(dāng)兩者有形變時(shí),會(huì)產(chǎn)生滾動(dòng)摩擦力偶矩,阻礙物體的滾動(dòng).
如圖2所示,設(shè)坐標(biāo)系xOy為與水平面固定相連的靜止坐標(biāo)系,地面受車輪壓力而發(fā)生形變,地面部分下陷,當(dāng)車輪向前滾動(dòng)時(shí),前方支持面凸起,接觸面給車輪的作用力已經(jīng)不再通過質(zhì)心,受力點(diǎn)由B點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn),在這塊小的接觸面積上,受到的作用力為F,將作用力分解為豎直方向支持力N和水平方向的摩擦力f,車輪受到的支持力N與重力G組成了一對(duì)大小相等,方向相反,不是同一條直線上的力偶矩,這就是滾動(dòng)摩擦力偶矩,滿足公式M=dN,d為滾動(dòng)摩擦系數(shù),具有長(zhǎng)度的量綱,其數(shù)值大小主要取決于相互接觸的物體的材料性質(zhì)和表面狀況(粗糙程度、濕度等),正是這個(gè)滾動(dòng)摩擦力偶矩阻礙了輪子的轉(zhuǎn)動(dòng).
當(dāng)解釋輪子在向前滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)中會(huì)慢慢減速停下時(shí),必須考慮水平方向上的摩擦力f,根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,這個(gè)摩擦力f與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方向相反,對(duì)車輪的平動(dòng)起到阻礙作用.
可見,在剛體滾動(dòng)中,不存在滾動(dòng)摩擦力偶矩.在非剛體滾動(dòng)中,滾動(dòng)摩擦力偶矩才起作用,該滾動(dòng)摩擦力偶矩做負(fù)功,使車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能減小,阻礙物體的轉(zhuǎn)動(dòng),使車輪在不受外力時(shí)慢慢減速.但若有外力如發(fā)動(dòng)機(jī)提供的驅(qū)動(dòng)力作用,這個(gè)驅(qū)動(dòng)力矩往往數(shù)值很大,滾動(dòng)摩擦力偶矩相對(duì)于發(fā)動(dòng)機(jī)提供的驅(qū)動(dòng)車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩來說很小,常常忽略.并且中學(xué)階段我們進(jìn)行受力分析的多為大小不可改變的理想物體.
2解車輪運(yùn)動(dòng)
通過上述的分析,我們可以將車輪運(yùn)動(dòng)中的滾動(dòng)摩擦忽略,把車輪和地面都視為理想剛體,討論在車輪不打滑的情況下(無滑動(dòng)摩擦力),解車輪的運(yùn)動(dòng),分析車輪運(yùn)動(dòng)中各部分相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)情況,再將力與運(yùn)動(dòng)聯(lián)系,得出產(chǎn)生這種運(yùn)動(dòng)的原因.
2.1車輪運(yùn)動(dòng)
如圖3,在不打滑的情況下,車輪以角速度ω向前滾動(dòng).將車輪的平動(dòng)看成是質(zhì)心O1的運(yùn)動(dòng),設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)間為T,轉(zhuǎn)動(dòng)一圈后車輪質(zhì)心運(yùn)動(dòng)位移為L(zhǎng),則質(zhì)心O1相對(duì)地面的速度
(1)
圖3
車輪以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng),則車輪頂端A相對(duì)于質(zhì)心的速度
(2)
從地面坐標(biāo)系xOy觀察,根據(jù)速度疊加公式,結(jié)合式(1)和式(2),可得車輪頂端A相對(duì)地面的速度為
同理可得輪子底端B點(diǎn),從地面系中觀察到的速度vB為零.這也是不打滑的真正含義,即車輪和地面之間沒有相對(duì)速度.
這里,還可以通過動(dòng)能的角度進(jìn)行分析,汽車車輪運(yùn)動(dòng)可以看做平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)合.
平動(dòng)動(dòng)能
(3)
轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能
(4)
動(dòng)能
Ek=E1+E2=
(5)
從式(5)中可以發(fā)現(xiàn),車輪在地面的轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)等效于一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1的物體做純轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng),這個(gè)新的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
根據(jù)平行軸定理J=JC+Md2,剛體對(duì)任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體質(zhì)量與兩軸間距離的平方的乘積.
對(duì)比平行軸定理和J1,可以發(fā)現(xiàn),這個(gè)純轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)可視為質(zhì)量不變,繞坐標(biāo)原點(diǎn)(輪子與地面的接觸點(diǎn))以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)的輪子,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1滿足
J1=JC+MR2
那么,這個(gè)新的轉(zhuǎn)軸位置也是物體在平面運(yùn)動(dòng)過程中某一瞬間,速度為零的點(diǎn),即為瞬心C.還可以根據(jù)剛體上兩點(diǎn)的速度用繪圖的方式確定瞬心C的位置,如圖4所示.
圖4
因此,可以想象,對(duì)于任何一輛高速行駛的汽車來說,其車輪底部邊緣對(duì)與地面的接觸點(diǎn)沒有任何速度和位移,如果此處有摩擦力,那么就只能是靜摩擦力.
2.2汽車加速過程的動(dòng)力學(xué)分析
如圖5所示,主動(dòng)輪受到豎直向下的重力G和汽車對(duì)車輪的壓力F,還受到地面對(duì)車輪垂直水平面向上的支持力N和靜摩擦力f,以及汽車內(nèi)部發(fā)動(dòng)機(jī)提供使主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力矩M.
主動(dòng)輪在豎直方向上受力平衡F+G=N,車輪運(yùn)動(dòng)必須滿足質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理
f=ma
(6)
M-fr=Jα
(7)
圖5
由于在不打滑的情況下,質(zhì)心平動(dòng)速度與車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度需滿足vC=ωR,故而,質(zhì)心加速度與車輪的角加速度必須滿足aC=Rα.改變系統(tǒng)動(dòng)量、提供加速度的力只能是系統(tǒng)的外力,而靜摩擦力是汽車在水平方向唯一受到的外力.雖然該靜摩擦力沒有做功(受力點(diǎn)沒有速度),但為車輪向前提供了加速度,為車輪的平動(dòng)提供了可能.就像立定跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)中,鞋子受到地面的靜摩擦力,這個(gè)力為人的向前運(yùn)動(dòng)提供了加速度,卻沒有做功.
在不打滑的情況下,若主動(dòng)輪在向前做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí),其角加速度α必須保持不變,如式(7)所示,靜摩擦力產(chǎn)生阻礙車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩,因此必須有其他的力矩提供給車輪,讓其保持以角加速度α加速轉(zhuǎn)動(dòng),這就是汽車的動(dòng)力系統(tǒng),提供驅(qū)動(dòng)力.驅(qū)動(dòng)力僅僅在車輪轉(zhuǎn)動(dòng)上起作用,體現(xiàn)為力矩,提高車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度.車輪做無滑滾動(dòng),角速度和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)速度滿足v=ωR,驅(qū)動(dòng)力矩通過增加車輪的角速度,改變汽車運(yùn)動(dòng)的平動(dòng)速度.根據(jù)功能關(guān)系,內(nèi)力和外力做功都會(huì)改變系統(tǒng)的動(dòng)能,驅(qū)動(dòng)力作為汽車系統(tǒng)的內(nèi)力通過做功的方式,只是使車輪的轉(zhuǎn)速增大,配合靜摩擦力的作用去改變主動(dòng)輪向前運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能.若只有驅(qū)動(dòng)力的作用,而無靜摩擦力,此時(shí)可以想象輪子陷入泥坑的情形,輪子只能在原地加速轉(zhuǎn)動(dòng),增加轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能,但汽車無法向前運(yùn)動(dòng).
因此,在汽車加速的情境中,加速的力不做功(指靜摩擦力),做功的力不加速(指內(nèi)力或驅(qū)動(dòng)力).
參 考 文 獻(xiàn)
1汪志成. 滾動(dòng)摩擦機(jī)理與滾動(dòng)摩擦系數(shù).上海機(jī)械學(xué)院學(xué)報(bào),1993(4):35~43
2梁昆淼. 力學(xué)(上冊(cè)).北京:人民教育出版社,1978.113~114
3趙加良. 車輪上的物理——靜摩擦力扮演的角色.物理通報(bào),2013(1):34~35
(收稿日期:2015-11-13)