譚利萍　葉　俊

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“大問題”教學(xué)談——以“的士收費(fèi)”為例

譚利萍葉俊

前不久，學(xué)校進(jìn)行15分鐘片段教學(xué)比賽。我想：15分鐘，能夠給學(xué)生傳遞什么呢？如果給學(xué)生拋出一個(gè)“大問題”，讓他們進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，教師做適時(shí)的引導(dǎo)，收效會(huì)不會(huì)遠(yuǎn)勝于我傳授給他們的知識(shí)呢？

這里所說的“大問題”，是指具有思維的深度，具有探究學(xué)習(xí)的挑戰(zhàn)性，蘊(yùn)含豐富的活動(dòng)體驗(yàn)，有利于學(xué)生的小組合作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)問題。學(xué)生要求具有“能根據(jù)解決問題的需要，收集有關(guān)信息，進(jìn)行歸納、整理、類比與猜想，發(fā)展初步的合情推理能力”。合情推理雖不是一個(gè)嚴(yán)密的推理形式，卻是數(shù)學(xué)探究和發(fā)現(xiàn)中必不可少的一種思維能力。

1.出示情境圖，收集信息

師：當(dāng)當(dāng)和哥哥一起乘坐出租車放學(xué)回家。到站了，要付費(fèi)了。請(qǐng)看圖。從圖中你能獲得哪些數(shù)學(xué)信息呢？請(qǐng)將你收集到的信息列在學(xué)習(xí)卡上。對(duì)于收集到的數(shù)學(xué)信息，你有不明白的地方嗎？同學(xué)之間能不能互相解答？

生1：3km以內(nèi)7元是不是1km也是7元，2km也是7元。

生2：是的。只要在3km以內(nèi)都是7元。

師：那2.9km呢？

生2：還是7元。

師：哦，那7元就是我們常說的起步價(jià)了。

生3：不滿1km按1km收費(fèi)是什么意思？

生4：只要超過3km，比如3.1km就要看作4km收費(fèi)了。也就是超過3km一直到4km都按4km收費(fèi)，超過4km直到5km都按5km收費(fèi)。

師：這也就是我們常說的“進(jìn)一法”計(jì)數(shù)。那今天圖上的6.3km就要按幾km計(jì)費(fèi)呢？

生4：7km。

【設(shè)計(jì)意圖】通過一張學(xué)習(xí)卡，幫助學(xué)生在情境圖中找到有用的數(shù)學(xué)信息，并進(jìn)行整理。遇到不懂的數(shù)學(xué)信息，師生在互動(dòng)中理解清楚。

2.提出問題，解決問題

師：司機(jī)阿姨說要付費(fèi)13元，你認(rèn)為對(duì)嗎？你會(huì)怎樣判斷收費(fèi)呢？請(qǐng)獨(dú)立思考，并將你解決的過程寫在學(xué)習(xí)卡上。

學(xué)生先思考解決問題的過程，然后書寫。

師：請(qǐng)大家說說你是怎樣解決的。

生5：我是根據(jù)分段里程驗(yàn)證總價(jià)。7＋1.5×（7-3）＝7＋6＝13（元），所以司機(jī)阿姨說要付13元是對(duì)的。

生6：我是根據(jù)總價(jià)驗(yàn)證里程。13-7=6（元），6÷ 1.5=4（km），3+4=7（km），6.3km→7km，當(dāng)當(dāng)他們行駛了6.3km，按7km收費(fèi)，是對(duì)的。

生7：我是先全程按單價(jià)計(jì)費(fèi)，再找差。1.5×7=10.5（元），前3km少算7-1.5×3=2.5（元）。

師：請(qǐng)觀察以上同學(xué)的解答，你發(fā)現(xiàn)他們的解題思路有什么相同和不同的地方？

生8：第1、3種方法都是通過知道路程再計(jì)算總價(jià)的方法驗(yàn)證13元對(duì)不對(duì)。

生9：第2種方法是已知總價(jià)錢，倒過來推導(dǎo)走的路程是不是對(duì)的。

師：也就是說，題目的條件雖然很多，但是我們可以通過合適的條件得到一個(gè)結(jié)論，再與題中給出的信息做比較，看是否合理。也就是說我們既可以用乘法解決這個(gè)問題，也可以用除法解決，對(duì)吧。大家真動(dòng)腦！

【設(shè)計(jì)意圖】這道題在教材中是直接給出路程和單價(jià)，要學(xué)生解決分段收費(fèi)求總價(jià)的問題。在課后練習(xí)題中，又出現(xiàn)了一個(gè)給出總價(jià)要學(xué)生倒過來求路程的拓展提高題。在這里，我們把這兩個(gè)問題都作為已知條件拋給學(xué)生，形成一個(gè)大問題。這樣一來，題目的思維難度大大提高。但難度的提高，給了不同學(xué)生學(xué)習(xí)不同數(shù)學(xué)的平臺(tái)。在這個(gè)過程中，學(xué)生的創(chuàng)造性思維得到了發(fā)展，有的孩子能在短短的時(shí)間內(nèi)用不同的方法解決此類問題。

3.結(jié)合具體問題，初步滲透函數(shù)思想

師：剛剛我們計(jì)算的是的士收費(fèi)問題，我們知道在生活中很多時(shí)候都有這種分段計(jì)費(fèi)的問題。我們把剛剛的的士分段計(jì)費(fèi)做成一個(gè)統(tǒng)計(jì)表，可以嗎？

生：當(dāng)然可以的。我們現(xiàn)在就可以填寫。

學(xué)生動(dòng)手設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)表并填表。

師：老師將你們的分段計(jì)費(fèi)統(tǒng)計(jì)表做成了一個(gè)統(tǒng)計(jì)圖，想看嗎？（PPT展示分段計(jì)費(fèi)統(tǒng)計(jì)圖）這與我們之前學(xué)過的統(tǒng)計(jì)圖有什么不同呢？

生10：每一段距離，它的收費(fèi)都是不一樣的。

師：從統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖中，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生11：3km以內(nèi)全是7元。

生12：3km以外，每增加1km都增加了1.5元。

4.拓展延伸

師：我們已經(jīng)學(xué)過用字母表示數(shù)了，如果用字母a表示行駛的路程（千米），用字母C表示收費(fèi)總價(jià)（元），你可以表示出總價(jià)C與路程a之間的關(guān)系嗎？

生：這個(gè)有點(diǎn)難，可以試試。

師：注意了，這里的路程a是有要求的，必須是大于3，才可以這樣表示。如果a在0到3之間，總價(jià)C=7元了。

由于這次片段教學(xué)比賽是在學(xué)生學(xué)習(xí)完“用字母表示數(shù)”單元的知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此在上這個(gè)片段時(shí)，我們想到能不能嘗試進(jìn)行拓展，也就是引導(dǎo)學(xué)生用含有字母的關(guān)系式表達(dá)總價(jià)和路程之間的關(guān)系。15分鐘的片段確實(shí)時(shí)間不夠，但是如果是上一節(jié)課，這個(gè)拓展是可以展示給學(xué)生的。大問題的提出還是需要立足于一定的認(rèn)知基礎(chǔ)。

大問題的提出與解決過程，就是一個(gè)知其然還要知其所以然的過程，也是一個(gè)不斷豐富自己解決問題的方法的過程。圍繞大問題，學(xué)生經(jīng)歷了收集信息，選擇合適信息解決問題的過程，也感悟了數(shù)學(xué)研究的思想，學(xué)習(xí)了探索知識(shí)的方法，掌握了自主學(xué)習(xí)的技巧，培養(yǎng)了創(chuàng)造性的思維能力。

（作者單位：長沙市麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校）