卓 超，杜建邦

（1. 北京航天自動控制研究所，北京 100854；2. 宇航智能控制技術(shù)國家級重點實驗室，北京 100854）

基于比力差分測量的加速度計溫度誤差補償方法

卓 超1,2，杜建邦1,2

（1. 北京航天自動控制研究所，北京 100854；2. 宇航智能控制技術(shù)國家級重點實驗室，北京 100854）

針對溫度變化引起的慣導系統(tǒng)中石英撓性加速度計測量誤差，提出了一種基于比力差分測量的加速度計溫度誤差補償方法。首先，建立包含溫變速率影響的溫度誤差模型，利用標定慣導系統(tǒng)加速度計參數(shù)時的溫度作為標定參數(shù)溫度基準。其次，借助不帶轉(zhuǎn)臺的溫箱對慣導系統(tǒng)進行全溫測試，通過同一方位前后時間段加速度計輸出的差分消除未知的比力真值，只保留由于溫度改變引起的標度因數(shù)與零偏變化，通過多位置觀測對這兩項參數(shù)進行最小二乘擬合估計，獲得對應溫度系數(shù)。該方法不需要溫箱具備高精度定位基準，能夠?qū)崿F(xiàn)全溫范圍與快速變溫工作條件下溫度誤差的精確建模。試驗結(jié)果表明，應用該補償方法可使加速度計測量精度在全溫范圍內(nèi)保持在10 μg量級。

石英撓性加速度計；溫度誤差補償；標定參數(shù)；比力差分

石英撓性加速度計的溫度效應誤差是慣導系統(tǒng)的主要誤差源之一，對其進行建模與補償已成為提高導航精度的重要途徑[1]。溫度效應誤差的產(chǎn)生是環(huán)境溫度場與內(nèi)部元件發(fā)熱綜合作用的結(jié)果，其形成機理非常復雜，很難表示成簡單的函數(shù)關(guān)系[2-3]。因此，從系統(tǒng)級應用角度，一般不從原理出發(fā)，而是通過大量的溫度試驗，利用誤差與溫度之間一定的重復性和規(guī)律性，建立兩者相關(guān)模型，并在系統(tǒng)輸出中予以扣除。

工程中廣泛采用的方法是在某一固定溫度點下，利用帶溫箱的精密轉(zhuǎn)臺對慣導系統(tǒng)進行多位置觀測，標定出此溫度下的加速度計參數(shù)，再在多組溫度下重復試驗，建立相關(guān)參數(shù)隨溫度的變化關(guān)系[4-7]。這類方法由于在不同恒定溫度下試驗，只考慮了與絕對溫度的關(guān)系，故需要保證誤差項與溫度梯度相關(guān)性較小或僅應用于緩慢溫變的場合。在另外一些研究中，加速度計溫度誤差的建模并不追求對于全溫范圍的適用性，而是關(guān)注系統(tǒng)冷啟動升溫過程中參數(shù)的變化，以縮短準備時間，提高響應速度。文獻[8]提出了一種不同溫度條件下坐標系轉(zhuǎn)換矩陣，利用升溫過程中多組連續(xù)位置標定建立了加速度計溫度參數(shù)模型。文獻[9]則利用慣導啟動過程，將溫度系數(shù)作為卡爾曼濾波器狀態(tài)量，選取由陀螺輔助提供的不同位置加速度計比力輸入基準值作為量測量，完成對于溫度系數(shù)的估計。以上方法都基于一個共同假設(shè)，即認為溫度變化相對緩慢，在較短時間內(nèi)是一個恒定值，因而在此期間不會引起標定參數(shù)的變化。但實際冷啟動過程是溫升最為快速的階段，這將引入一定誤差；同時，冷啟動過程包含溫度范圍較窄，這會影響慣導系統(tǒng)對于不同環(huán)境的適應性。

本文提出了一種基于比力差分測量的石英撓性加速度計溫度誤差補償方法，能夠同時滿足全溫范圍和快速溫變環(huán)境的使用需求。它將常溫下轉(zhuǎn)臺標定與溫箱溫變試驗相結(jié)合，完成了標定參數(shù)基準與溫度誤差項的分離，克服了由于溫箱內(nèi)負載臺面缺乏定位精度引起的標度因數(shù)與零偏誤差的耦合。利用本文方法，只需一般標定轉(zhuǎn)臺和普通溫箱即可完成加速度計溫度誤差的精確建模。

1 加速度計溫度誤差模型

將慣導系統(tǒng)在室溫環(huán)境下充分預熱，待其溫度達到穩(wěn)定時，利用轉(zhuǎn)臺標定出石英撓性加速度計的標度因數(shù)K0和零偏?0作為標定參數(shù)基準。設(shè)加速度計穩(wěn)定點溫度為T0，以此為基準溫度，則加速度計理想比力輸出fap表示為

式中：加速度計所處方位記為上標p；N0p表示恒溫T0時加速度計脈沖輸出。

當溫度變化為T時，對于相同方位，加速度計比力輸出應為

式中：KT與?T為溫度T時的標度因數(shù)與零偏；是溫度為T，位置為p時加速度計脈沖輸出。對于同一方位，由于重力分量相同，加速度計比力測量應保持不變，故：

采用多項式建立標度因數(shù)與零偏隨溫度變化的誤差模型，并考慮溫變速率的影響，如下所示：

式中：K0與?0是在基準溫度T0下，經(jīng)過轉(zhuǎn)臺精確標定的加速度計標度因數(shù)與零偏；Km與?m為標度因數(shù)與零偏偏離基準溫度的相對溫度系數(shù)；K～n、?～n則為溫度變化率系數(shù)。多項式的階數(shù)可以根據(jù)補償效果進行選取。K0與?0由轉(zhuǎn)臺標定得到，其余溫度系數(shù)則通過溫箱溫度試驗獲取，由此即可完成標定參數(shù)基準與溫度誤差項的分離。

2 基于比力差分測量的加速度計補償方法

當石英撓性加速度計完成常溫下轉(zhuǎn)臺標定后，將慣導系統(tǒng)放入溫箱進行溫度循環(huán)試驗。由于負載臺面定位精度不高，溫度變化引起的標度因數(shù)與零偏誤差將會耦合在一起，共同作用產(chǎn)生加速度計溫度效應誤差，使得其所處方位的重力分量無法通過直接測量獲得。但在此過程中，對于固定方位，重力分量大小始終保持不變，因此可以采用前后等時間段比力差分的方法消除無法精確測量的加速度計比力輸出，而只保留由于溫度改變而引起的標度因數(shù)與零偏變化，之后同時對這兩部分進行最小二乘擬合估計，從而獲得相應溫度系數(shù)。

通過調(diào)整慣導位置，依次改變各軸加速度計方位，并對每一方位進行溫度循環(huán)試驗。由于各軸求解方法相同，這里以X軸加速度計為例進行說明。取對應處于方位p的X軸加速度計溫度試驗中偶數(shù)個輸出脈沖序列，記為，其中2n為采樣p點總數(shù)。設(shè)Tip表示第i個采樣時刻位于方位p的加速度計溫度值（i=1～2np），則根據(jù)式(2)，加速度計比力測量集合可表示為

式中：

將公式(4)代入，可得：

如果忽略由于溫度改變所引起的安裝誤差角變化，根據(jù)公式(3)知，，從而可以對相同方位前后兩時間段進行差分去除由于負載臺面定位精度不高而未知的重力分量，整理后可得：

實際上可以利用同一方位任意兩個時刻的比力測量進行相減。采用前后時間段差分的目的是為了最大限度的延長采樣窗的長度，有利于濾除噪聲，同時等時間間隔，保證了噪聲衰減的一致性。

其中最右邊等號內(nèi)部的中括號表示行向量。當未加入溫度補償時，含有溫度效應誤差的加速度計測量輸出為，故等式左邊用于估計溫度系數(shù)的觀測量實際為它完全由溫度誤差導致的差模增量引起。當加速度計處于垂直方位時，F(xiàn)p中由標度因數(shù)所引起的分量較大，會影響對于零偏系數(shù)的估計，需要引入水平方位，以提高溫度系數(shù)的估計精度。因而綜合考慮多個位置，設(shè)方位總數(shù)為sp。對于X軸加速度計，可得：

由此可利用最小二乘方法求解溫度系數(shù)為

3 試驗設(shè)計及數(shù)據(jù)預處理

3.1 轉(zhuǎn)臺標定試驗

將慣導系統(tǒng)安裝在三軸轉(zhuǎn)臺上充分預熱，使其達到溫度平衡。之后利用分立“六位置法”標定加速度計參數(shù)基準[10]，每個位置靜態(tài)測量5 min。在標定過程中，各加速度計溫度變化如圖1所示，可以看到，即使慣導經(jīng)過較長時間的預熱，標定過程中，位置改變引起的擾動仍然會導致加速度計溫度發(fā)生變化，其波動的最大幅值小于0.3℃，這一微小改變并不會引入明顯誤差（見后面分析）。利用各靜態(tài)位置的溫度平均值作為基準溫度T0，表1給出了基準溫度與標定參數(shù)基準的計算結(jié)果。

圖1 標定過程中加速度計溫度變化Fig.1 Temperatures of accelerometer during calibration

表1 加速度計基準溫度與標定參數(shù)基準Tab.1 References of temperature and calibration parameters for accelerometers

3.2 溫度循環(huán)試驗

針對本系列慣導系統(tǒng)的實際工作環(huán)境溫度需求，溫箱溫度循環(huán)范圍設(shè)置為0～40℃，升降溫速率設(shè)定為1℃/min，以常溫開機時溫箱顯示溫度作為起始溫度。由于加速度計位于慣導殼體內(nèi)，其溫度達到穩(wěn)態(tài)需要較長時間，因此選擇起始溫度保持4 h，低溫與高溫各保持5 h，溫箱溫度試驗曲線設(shè)置如圖2所示。

為提高溫度系數(shù)估計精度，可同時考慮垂直方位與水平方位。當綜合考慮6個位置時，加速度計方位觀測集合列于表2（由于溫箱負載臺面定位精度不高，只需朝向大致方位即可）。

圖2 溫箱溫度試驗曲線設(shè)置示意圖Fig.2 Applied temperature profile of the climate chamber

表2 加速度計溫度系數(shù)估計六方位觀測集合Tab.2 Six observing positions for estimating the accelerometer temperature coefficients

3.3 數(shù)據(jù)預處理

由于誤差建模中考慮了溫變速率的影響，會對測溫傳感器噪聲起到放大作用，同時加速度計原始輸出噪聲也會降低參數(shù)擬合精度，故需要對兩者進行適當平滑。圖3以方位p=1，X軸加速度計為例展示了加速度計比力與溫度測量平滑效果。

圖3 加速度與溫度平滑效果Fig.3 Smoothing results of accelerometers and temperature

由圖3可以看到，溫度的改變引起了加速度計輸出發(fā)生變化，產(chǎn)生了溫度效應誤差。它是由標度因數(shù)與零偏漂移共同作用產(chǎn)生，這一點可通過前后時間差分觀測量Yp做進一步闡釋。由式(10)，Yp包含標度因數(shù)溫度變化δKp與零偏溫度變化δpΔ兩部分，可以表示為Yp=δKp+δΔp。以X軸加速度計為例，對于不同方位p，由于溫度循環(huán)曲線設(shè)置大致相同，溫度系數(shù)的變化幾乎相當。當p=1，X軸天向放置時，有 Y1=δK+δΔ；當 p=3，X軸處于水平時，零偏變化起主要作用，故Y3≈δΔ；對于p=2，X軸朝下，有Y2≈-δK+δΔ，故可推出Y3≈（Y1+Y2）/2。以上關(guān)系可通過圖4中黑色虛線與紅色粗實線幾乎重合加以驗證，進而綜合曲線Y1、Y2、Y3可知，溫度引起的零偏變化與標度因數(shù)變化大致各占一半。因此當X軸朝下時，零偏變化與標度因數(shù)變化相互抵消，只產(chǎn)生很小的輸出誤差（Y2綠色點劃線）。

圖4 X軸加速度計前后時間差分觀測量Fig.4 Differential observables between pre and post time for X-axis accelerometer

4 加速度計溫度誤差補償效果及分析

4.1 全溫范圍溫度誤差補償效果驗證

通過試驗選取相對溫度系數(shù)階數(shù)為 3，溫度變化率系數(shù)階數(shù)為2，利用多位置觀測進行最小二乘估計，獲得全部溫度系數(shù)。由于系數(shù)較多，只將X軸溫度系數(shù)列于表3。

表3 X軸加速度計溫度系數(shù)Tab.3 Temperature coefficients of X-axis accelerator

全溫范圍的溫度誤差補償效果以各軸典型方位（天向、地向和水平方向）為例加以說明，由于綜合考慮了絕對溫度與溫變速率的影響，誤差建?？梢赃_到很高的精度。補償前后的效果如圖5所示。

加速度計比力輸出10 s的標準差（1σ）見表4。經(jīng)溫度誤差補償后，全溫范圍測量標準差減小至10-5g量級，且對不同加速度計各方位具有一致的補償結(jié)果。

圖5 加速度計全溫范圍溫度誤差補償效果Fig.5 Thermal error compensation results of accelerometers in full temperature range

表4 全溫范圍補償前后加速度計輸出標準差對比Tab.4 Comparison on standard deviation of accelerometer outputs before and after compensation in full-temperature range

4.2 慣導系統(tǒng)冷啟動溫度誤差補償效果驗證

由于溫箱試驗環(huán)境與實際導航系統(tǒng)工作環(huán)境存在差異，因此需要利用實際的慣導工作過程對通過溫度試驗獲得的補償模型進行檢驗。這里利用3.1節(jié)轉(zhuǎn)臺標定之前慣導系統(tǒng)預熱數(shù)據(jù)進行溫度補償驗證，效果如圖6所示。圖6中加速度計溫度緩慢上升并逐漸穩(wěn)定至基準溫度，標定參數(shù)也趨近于K0和0?，故補償前的比力測量曲線將與補償后曲線漸漸重合，并穩(wěn)定于標定基準點處，由此說明了補償模型的正確性。

將慣導固定于傾斜狀態(tài)（與水平面夾角約45°），利用啟動過程進一步驗證非垂直狀態(tài)下的補償效果。

圖6 加速度計冷啟動溫度誤差補償效果Fig.6 Thermal error compensation results of accelerometers during after-power-on process

從表5可知，補償后三軸加速度計輸出10 s的標準差(1σ)均小于10 μg，證明了標度因數(shù)與零偏溫度誤差分離的有效性。圖7中補償前后輸出曲線不重合是由于環(huán)境溫度與標定基準參數(shù)時不同，標定參數(shù)不再是K0和0?，因而加速度計溫度模型對這一誤差進行了修正。

圖7 加速度計傾斜放置時補償效果Fig.7 Compensation results of accelerometers when tilting placed

表5 傾斜放置時，補償前后加速度計輸出標準差對比Tab.5 Comparison on standard deviations of accelerometer outputs before and after compensation when tilting placed

即使經(jīng)過長時間預熱，在標定參數(shù)過程中，加速度計溫度仍會發(fā)生變化，此時的基準溫度T0采用的是各靜態(tài)位置平均溫度，這將引入一定誤差。假設(shè)實際溫度偏離基準溫度不超過±0.5℃，由此產(chǎn)生的比力輸出誤差如圖8所示。

由圖8可見，X方向的誤差最大，但在±0.25℃范圍內(nèi)，誤差不超過10 μg。而實際標定過程中，溫度波動峰值小于0.3℃，標準差只有0.03℃，這一微小變化將不會對補償結(jié)果產(chǎn)生顯著影響。

圖8 偏離基準溫度所產(chǎn)生誤差Fig.8 Error caused by deviation from reference temperature

5 結(jié) 論

為降低溫度效應對于加速度計測量精度的影響，提出了基于比力差分測量的加速度計溫度誤差補償方法。該方法只需一般標定轉(zhuǎn)臺和普通溫箱即可完成加速度計溫度誤差的精確建模。試驗結(jié)果表明，加速度計測量精度在全溫及冷啟動條件下都得到了顯著提高，這對于提高慣導系統(tǒng)在不同溫度環(huán)境的適用性具有工程參考價值。

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Thermal error compensation algorithm for accelerometers based on differential measurement of specific force

ZHUO Chao1,2, DU Jian-bang1,2
(1. Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing 100854, China; 2. National Key Laboratory of Science and Technology on Aerospace Intelligent Control, Beijing 100854, China)

In view of the thermal measurement error of the quartz flexible accelerometers in the inertial navigation system, a thermal error compensation algorithm is proposed for accelerometers based on differential measurement of specific force. A temperature error model is established by taking into account the effect of the temperature’s varying rate and using the temperature when calibrating the accelerometer parameters as the reference. Thermal experiments are carried out in a climate chamber without turntable, and the accelerometer’s outputs of the pre and post time segments in the same location is differentiated in order to eliminate the unknown true values of the specific force and preserve the temperature-caused variations of the scale factors and biases. Based on these, the thermal coefficients are obtained by using the least square estimation via multi- position observation. The proposed method does not need the chamber to have high-accuracy positioning reference, and can realize high-accuracy modeling in full temperature range under the working condition with rapid temperature changing. Experiment results illustrate that the proposed method can have the measurement precision of the accelerometers maintain at the level of 10 μg in full temperature range.

quartz flexible accelerometer; temperature error compensation; calibration parameters; specific force difference

U666.1

：A

2016-09-23；

：2016-11-26

卓超（1988—），男，博士研究生，主要研究方向為導航、制導與控制。E-mail: ngjyzc@126.com

1005-6734(2016)06-0821-07

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.06.022