花文華，張擁軍，張金鵬,2，孟慶齡

（1. 中國空空導彈研究院，洛陽 471009；2. 航空制導武器航空科技重點實驗室，洛陽 471009）

雙導彈攔截角度協(xié)同的微分對策制導律

花文華1，張擁軍1，張金鵬1,2，孟慶齡1

（1. 中國空空導彈研究院，洛陽 471009；2. 航空制導武器航空科技重點實驗室，洛陽 471009）

為提高命中高價值目標的概率，基于線性二次型微分對策理論，對兩枚導彈協(xié)同攔截單個目標的制導律進行了研究。單枚導彈在最小化自身脫靶量的同時，與另一枚導彈實現(xiàn)攔截角度上的協(xié)同，從而構(gòu)成特定的攔截態(tài)勢，以提高攔截機動目標的性能和末制導尾端對目標的可觀測性。所推導的微分對策制導律考慮到了對策三方的控制系統(tǒng)動態(tài)，且具有解析解，形式上為零控脫靶量和零控協(xié)同攔截角誤差的線性組合?；谕茖ЫY(jié)果完成了微分對策制導律的制導增益和對策空間分析，給出了鞍點解的存在條件，并進行了分析。非線性系統(tǒng)仿真結(jié)果表明由于導彈間存在顯式的協(xié)同關(guān)系，攔截目標所需的加速度較低，且在設(shè)定的協(xié)同攔截角度收斂后，加速度會進一步減小。

末制導律；微分對策；協(xié)同制導；目標攔截

多導彈協(xié)同易于構(gòu)建更加有利的目標攔截態(tài)勢，從而改進制導性能并降低控制量要求；多彈協(xié)同也可用于飽和目標防御，限制目標機動概率，誘騙目標和增強對目標的可觀測性等方面[1-3]。導彈協(xié)同方式主要包括隱式和顯式兩種：隱式協(xié)同中各導彈是彼此獨立的，一種典型情況是多個導彈以不同的終端碰撞角度攔截目標[4-7]，從而飽和目標防御；而顯式協(xié)同則不同，各導彈的彈道是相關(guān)的，并圍繞著期望的協(xié)同關(guān)系飛行，這一關(guān)系可以為飛行時間[8-9]或其他終端約束，如攔截角度等。顯示協(xié)同由于考慮到了導彈彼此間的彈道關(guān)系，可以獲得更好的制導性能。文獻[10]針對兩枚導彈與單個目標的線性二次型非零和微分對策問題進行了研究，當單枚導彈的脫靶量小于另一枚導彈時，開始執(zhí)行二對一的對抗策略直到兩枚導彈的脫靶量相等。文獻[9]給出了一種多彈攻擊時間顯式協(xié)同的制導律，是比例導引的一種衍生形式，實現(xiàn)了多彈對地面固定目標的同時攻擊，但不適用于運動目標和機動目標的情況。

本文基于線性二次型微分對策理論，提出一種雙導彈攔截角度和脫靶量顯式協(xié)同的微分對策制導律。

1 問題描述與建模

制導末端兩枚導彈和目標的相對運動關(guān)系如圖 1所示，XI-O-ZI為笛卡爾慣性坐標系，下標P、E分別表示導彈和目標的相關(guān)狀態(tài)，數(shù)字1和2對應(yīng)導彈1和導彈2。圖1中z表示導彈和目標之間的相對位移，λ為視線角，導彈航向角采用γ表示，若導彈和目標保持速度不變，則兩枚導彈攔截方向的夾角為 γ2-γ1，aP1、aP2和aE分別為導彈1、導彈2和目標的加速度。基于下述假設(shè)進行問題的分析：

1) 導彈和目標可視為質(zhì)點，近似具有一階控制系統(tǒng)動態(tài)特性；

2) 導彈和目標速度大小不變，前者機動能力大于后者；

3) 導彈和目標間的相對運動關(guān)系可沿初始視線方向進行線性化。

文獻[11]驗證了末制導段線性化假設(shè)在機動目標攔截上的有效性和可行性，本文還將通過非線性系統(tǒng)仿真對基于上述假設(shè)的推導結(jié)果進行驗證。

圖1 平面彈目相對運動關(guān)系Fig.1 Planar engagement geometry

式(1)中：

τP1、τP2和 τE分別為導彈1、導彈2和目標的一階控制系統(tǒng)時間常數(shù)，uP1、uP2和uE為對應(yīng)的控制指令。

基于假設(shè)2)和假設(shè)3)，導彈的飛行時間近似為

式(2)中：ρ0為彈目初始距離，Vc為彈目接近速度。則剩余飛行時間可表示為

式(3)中：t表示當前時間。由于未對剩余飛行時間進行協(xié)同設(shè)計，兩枚導彈在攔截目標的過程中總是存在飛行時間差，假設(shè)tgo1＜tgo2，導彈1在滿足式(4)所示的條件后，認為攔截目標的任務(wù)結(jié)束：

2 協(xié)同微分對策制導律

2.1 性能指標定義和系統(tǒng)降階

近年來，微分對策理論應(yīng)用于機動目標攔截方面得到了較為深入的研究[12-16]。對策雙方分別追求性能指標的最大化和最小化，微分對策制導律相比最優(yōu)制導律對目標機動形式及加速度估計誤差魯棒性更強。

定義線性二次型性能指標為

式(6)中：α1,α2,β,η,ηE＞0為加權(quán)設(shè)計參數(shù)。α1,α2→∞表示完全攔截情形，脫靶量趨于零；α1,α2＜∞時脫靶量為有限非零值；α2,β,η→0時則轉(zhuǎn)化為導彈1和目標間的微分對策問題；η和ηE分別表征了導彈2和目標相對于導彈1的機動能力，當其機動能力較強時，η和ηE取較小值，ηE→∞則表示攔截非機動目標的情形，由假設(shè)2)，ηE＞1。σ為設(shè)計的兩枚導彈攔截方向的夾角，用于攔截角度的協(xié)同。

求解系統(tǒng)方程(1)所對應(yīng)的奇次微分方程，并經(jīng)進一步整理可以得到：

式(7)中：

Φ(tf,t )為系統(tǒng)(1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；zP1、zP2和zγ表征了導彈和目標由時間t起零控，并保持該時刻的參數(shù)飛行至攔截結(jié)束時的脫靶量和協(xié)同攔截角度，分別為導彈1的零控脫靶量、導彈2的零控脫靶量和二者的零控協(xié)同攔截角。

由式(7)可以得到：

則可以將性能指標式(6)轉(zhuǎn)化為以下形式：

對式(7)兩邊關(guān)于時間t微分，經(jīng)進一步整理可以得到：

2.2 微分對策制導律推導

基于降階后的系統(tǒng)(12)和性能指標(11)進行攔截角度協(xié)同微分對策制導律的推導。構(gòu)造哈密頓函數(shù)如式(13)所示：

式(13)中： λ1、 λ2和 λγ為待定的拉格朗日乘子。

進一步結(jié)合協(xié)態(tài)方程和橫截條件可以求得：

則基于上述條件可以得到導彈1、導彈2和目標的最優(yōu)制導或規(guī)避策略為

式(15)～(17)是關(guān)于末端時刻狀態(tài)的表達形式，需要進一步轉(zhuǎn)化為當前時刻狀態(tài)才能夠用于執(zhí)行。將式(15)～(17)代入式(10)，可以得到三個耦合的微分方程，進行積分求解，則末端時刻狀態(tài)可表示為

式中：

滿足：

式(22)～(24)中函數(shù)φ和φ如式(8)和式(9)所示。

將式(18)～(20)帶入式(15)～(17)，則導彈1、導彈2和目標的最優(yōu)制導策略可表示為

式(25)～(27)為導彈1和導彈2零控脫靶量和零控協(xié)同攔截角誤差的線性組合，其中分別為相應(yīng)的制導增益，且滿足：

2.3 制導增益分析

當β→0時，導彈1和導彈2不再存在攔截角度協(xié)同上的約束，僅實現(xiàn)脫靶量上的協(xié)同，此時對策三方的制導增益為

該無攔截角度協(xié)同的雙方微分對策制導律在結(jié)構(gòu)上是與文獻[2]相類似的，只是在對策關(guān)系上，導彈1是與導彈2協(xié)同于目標攔截，而不是與載機協(xié)同，以保護載機的安全。

當β,η,a2→0時，則轉(zhuǎn)化為導彈1與目標兩者之間典型的線性二次型微分對策問題，此時的制導增益為

2.4 對策空間分析

對于零和微分對策問題，不存在共軛點的充分條件是具有鞍點解，而鞍點解當且僅當系統(tǒng)(10)所對應(yīng)的Riccati微分方程(36)的解是有限時存在[17]。

式(37)經(jīng)進一步整理可以得到：

式(38)中：

圖2給出了不同η值下，ηE隨剩余飛行時間tgo的分布曲線，假設(shè)導彈1與導彈2速度和控制系統(tǒng)時間常數(shù)相同，剩余飛行時間近似相等。從圖2中可以看出：ηE＞0，滿足微分對策線性二次型性能指標中目標控制指令加權(quán)參數(shù)正定的條件；同時，當tgo足夠大時，ηE趨于常值，且該常值大于η。在導彈1控制量一定的條件下，導彈2為實現(xiàn)與導彈1之間的協(xié)同，在tgo較大時，所需的控制量大于目標，而在末制導尾端，所要求的控制量則低于目標，因此協(xié)同情況下對擊中目標更為有利。

圖2 不同η下的Eη分布曲線Fig.2 Distribution of Eη with differentη

3 仿真結(jié)果及分析

雙導彈攔截角度協(xié)同制導律的推導基于末制導線性化假設(shè)，為充分驗證制導律的性能，針對非線性平面相對運動關(guān)系進行了仿真和分析。仿真中模擬兩枚導彈由同一武器系統(tǒng)同時發(fā)射，即初始位置相同，對于兩枚導彈初始位于不同空間位置的情況，所推導的協(xié)同制導律同樣適用。仿真中取導彈飛行速度VP1= VP2=500m/s ，目標飛行速度VE=300m/s ，控制系統(tǒng)時間常數(shù)τP1=τP2=0.2s，τE=0.3s ，α1=α2=105，β=108，η=1，ηE=10，兩枚導彈的協(xié)同攔截角度σ=45°。假設(shè)目標機動為“bang-bang”類型，且僅具有一次隨機時間切換[13-16]，最大機動能力為5g，所得仿真結(jié)果如圖3～10所示。

圖3和圖4為初始位置相同的兩枚導彈在協(xié)同情況下和非協(xié)同情況下攔截非機動目標的飛行彈道。在非協(xié)同情況下，導彈采用的制導增益和零控脫靶量分別如式(34)和式(7)所示。圖3中由于導彈1剩余飛行時間大于導彈2，在攔截角度上更多的協(xié)同導彈1，彈道更加彎曲，所需的加速度也相對較大。圖5給出了協(xié)同情況下兩枚導彈的加速度曲線。圖6為兩枚導彈的協(xié)同攔截角度，在達到設(shè)定值45°后，導彈加速度也隨之減少。

圖7和圖8為兩枚導彈協(xié)同攔截機動目標的飛行彈道。協(xié)同攔截角度的設(shè)計有利于兩枚導彈構(gòu)成特定的攔截態(tài)勢，如鉗形，對于機動目標的攔截有利，也增強了末制導尾端對目標的可觀測性。由于兩枚導彈之間存在協(xié)同攔截關(guān)系，所需的加速度較低，最大值與攔截非機動目標的情況相當，且在構(gòu)成設(shè)定的協(xié)同攔截態(tài)勢后，需用加速度逐步減少到目標最大機動能力的2倍以內(nèi)，如圖9所示。圖10給出了攔截機動目標情況下的協(xié)同攔截角度，滿足了設(shè)計要求。

圖3 飛行彈道，非機動目標，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.3 Flight trajectory, non-maneuvering target, and cooperation between missiles

圖4 飛行彈道，非機動目標，彈間無協(xié)同F(xiàn)ig.4 Flight trajectory, non-maneuvering target, and non-cooperation between missiles

圖5 導彈加速度，非機動目標，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.5 Missile acceleration, non-maneuvering target, and cooperation between missiles

圖6 兩枚導彈的協(xié)同攔截角度，非機動目標，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.6 Cooperative attacking angle between two missiles, non-maneuvering target, and cooperation between missiles

圖7 飛行彈道，機動目標，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.7 Flight trajectory, maneuvering target, and cooperation between missiles

圖8 飛行彈道，機動目標，彈間無協(xié)同F(xiàn)ig.8 Flight trajectory, maneuvering target, and non-cooperation between missiles

圖9 導彈加速度，機動目標，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.9 Missile acceleration, maneuvering target, and cooperation between missiles

圖10 兩枚導彈的協(xié)同攔截角度，機動目標，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.10 Cooperated attacking angle between two missiles, maneuvering target, and cooperative missiles

4 結(jié) 論

針對兩枚導彈協(xié)同攔截單個目標的攔截情形進行了微分對策制導律的設(shè)計，單枚導彈在減少脫靶量的同時，與另一枚導彈在攔截態(tài)勢上構(gòu)成角度上的協(xié)同關(guān)系。非線性仿真結(jié)果表明，由于可構(gòu)成特定的攔截態(tài)勢，所推導的微分對策制導律更加有利于機動目標的攔截，且由于導彈之間存在協(xié)同關(guān)系，對加速度的需求較低，而攔截角度協(xié)同也增強了末制導尾端對目標的可觀測性。本文基于線性二次型微分對策理論進行三方微分對策制導律的推導，設(shè)計方法同樣適用于更多枚導彈協(xié)同攔截單個目標的情況。

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Differential game guidance law for double missiles with cooperative intercept angle

HUA Wen-hua1, ZHANG Yong-jun1, ZHANG Jin-peng1,2, MENG Qing-ling1
(1. China Airborne Missile Academy, Luoyang 471009, China; 2. Aviation Key Laboratory of Science and Technology on Airborne Guided Weapons, Luoyang 471009, China)

To improve the kill probability of high-value targets, the guidance law for intercepting a single target by double missiles is studied based on the linear quadratic differential game theory. Each missile attempts to minimize its expected miss distance while also imposes a cooperation attacking angle relative to the other missiles to construct a specific attacking scenario for improving the agile maneuvering target interception and target observability in the end-game phase. The derived differential game guidance law takes into account of the control system dynamics of the game’s three-sides and has closed-form analytic solutions. The solutions are linear combination of zero-effort miss distance and zero-effort cooperative intercept angle error. The guidance gains and differential game space are also analyzed, and the existence condition of the saddle point solution is given. Nonlinear simulations are carried out, and the simulation results show that the acceleration requirements of the missiles are low thanks to the cooperation between the double missiles, and the required accelerations can be further reduced after the designed cooperation attacking angles are converged.

terminal guidance; differential game; cooperation guidance; target interception

V448.133

：A

2016-07-27；

：2016-11-18

航空科學基金項目（2015ZC12006）

花文華（1983—），男，高級工程師，博士，主要研究方向為飛行器制導與控制。E-mail: huawh6611@163.com

1005-6734(2016)06-0838-07

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.06.025