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        層次分析法中兩種標(biāo)度的對比分析

        2023-08-31 14:11:56舒孝珍
        玉溪師范學(xué)院學(xué)報 2023年3期
        關(guān)鍵詞:排序一致性定義

        舒孝珍

        (成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 成都 611130)

        美國運籌學(xué)家T·L·saaty 教授提出層次分析法是一種基于1-9 標(biāo)度下的定性與定量分析相結(jié)合的系統(tǒng)決策方法[1].在實際應(yīng)用過程中,該標(biāo)度下的層次分析法存在很多不足之處,因而,國內(nèi)外學(xué)者對層次分析法的1-9 標(biāo)度進(jìn)行了改進(jìn),并且取得了豐碩的研究成果.目前的研究成果有:1-15 標(biāo)度、x2標(biāo)度、標(biāo)度[2]、9/9-9/1 標(biāo)度、10/10-18/2 標(biāo)度、指數(shù)標(biāo)度[3-4]、分?jǐn)?shù)標(biāo)度[5-6]等互反型標(biāo)度,0-2 標(biāo)度[7]、-1-1標(biāo)度[8]、-2-2 標(biāo)度[9]、0.1-0.9 標(biāo)度[10]等互補型標(biāo)度.如何分析比較不同類型標(biāo)度在實際決策應(yīng)用中的效益已成為眾多研究者所關(guān)心的問題[11-14].

        對于標(biāo)度的對比分析,呂躍進(jìn)及其合作者對指數(shù)標(biāo)度與1-9 標(biāo)度進(jìn)行了對比研究,得到指數(shù)標(biāo)度與1-9 標(biāo)度在一致性上是互不相容的,前者效果優(yōu)于后者,且前者具有優(yōu)良的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[15].駱正清和楊善林提出了用保序性、一致性、標(biāo)度均勻性、標(biāo)度可記憶性、標(biāo)度可感知性、標(biāo)度權(quán)重擬合性6 個標(biāo)準(zhǔn)對常見的7 種互反型標(biāo)度進(jìn)行了比較,得到對于解決單一準(zhǔn)則下的排序問題,保序性對所有標(biāo)度都成立,指數(shù)標(biāo)度的一致性和權(quán)重擬合性最好[16].1-9 標(biāo)度法的標(biāo)度均勻性、標(biāo)度可記憶性、標(biāo)度可感知性這3個性質(zhì)最好.劉穎芬和占濟(jì)舟論證了1-9 標(biāo)度、a8= 9 標(biāo)度、9/9-9/1 標(biāo)度、10/10-18/2 標(biāo)度的完全一致性互不相容,得到a8= 9 標(biāo)度比其他幾種標(biāo)度更為合理[17].以上的研究主要集中在“互補型”標(biāo)度的對比方面,但很少有研究針對“互反型標(biāo)度”和“互反與互補型”標(biāo)度進(jìn)行深入研究.因此,在前人的研究方法基礎(chǔ)上,文章對應(yīng)用最廣泛的互反型1-9 標(biāo)度與互補型0.1-0.9 標(biāo)度進(jìn)行了對比研究,得到了如下的結(jié)論:1- 9 標(biāo)度和0.1- 0.9 標(biāo)度這兩種標(biāo)度法都具有保序性和一致性,1/9 標(biāo)度的均勻性比0.1-0.9標(biāo)度要好,而權(quán)重擬合性比后者差.

        1 兩種標(biāo)度的關(guān)系

        在實際應(yīng)用中,互反型1-9 標(biāo)度與互補型0.1-0.9 標(biāo)度是應(yīng)用廣泛的兩種標(biāo)度,二者的關(guān)系如表1 所示.

        表1 1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度的關(guān)系

        2 兩種標(biāo)度的比較

        2.1 保序性

        保序性的數(shù)學(xué)定義如下[16]:對某一排序決策問題D,有n個被比較對象A1,A2, ... ,An,它們在準(zhǔn)則C下存在一個客觀次序R,現(xiàn)利用某一標(biāo)度S對問題D進(jìn)行排序,如果得到的排序結(jié)果與客觀次序R相同,則稱標(biāo)度S對排序決策問題D具有保序性.

        現(xiàn)建立一組被比較對象:A1,A2,A3,A4,A5.不失一般性,假定在某準(zhǔn)則C(即構(gòu)造一個新的標(biāo)度:1-5標(biāo)度)下的客觀次序是A1與A1,A2,A3,A4,A5之間的關(guān)系恰好構(gòu)成:同等重要、稍微重要、明顯重要、強(qiáng)烈重要、極端重要.A2與A2,A3,A4,A5之間的關(guān)系恰好構(gòu)成:同等重要、稍微重要、明顯重要、強(qiáng)烈重要.A3與A3,A4,A5之間的關(guān)系恰好構(gòu)成:同等重要、稍微重要、明顯重要.A4與A4,A5之間的關(guān)系恰好構(gòu)成:同等重要、稍微重要.A5與A5之間的關(guān)系恰好構(gòu)成:同等重要.

        根據(jù)以上關(guān)系,可以得到這5 個被比較的對象在1-5 標(biāo)度的判斷矩陣,如表2 所示.

        表2 1-5 標(biāo)度下的判斷矩陣

        根據(jù)表2,把1-9 標(biāo)度下的5 個標(biāo)度值作為被比較的5 個對象,可得它們1-5 標(biāo)度的

        利用MATLAB 編寫程序cxl1.m

        Z=[1 1/3 1/5 1/7 1/9;3 1 1/3 1/5 1/7;5 3 1 1/3 1/5;7 5 3 1 1/3 9 7 5 3 1];

        [V,D]=eig(Z)

        W=V(:,1)/sum(V(:,1))

        lambda=max(eig(Z))

        n=size(Z)

        CI=(lambda-n)./(n-1)

        RI=1.12

        CR=CI./RI

        if CR>=0.1

        error;

        else ’pass text’

        end

        運算結(jié)果:

        lambda=5.2375,W=( 0.0333 0.0634 0.1290 0.2615 0.5128),CI=0.0594,CR=0.0530,ans=pass text

        根據(jù)表2,可得0.1-0.9 標(biāo)度下的5 個標(biāo)度值作為被比較的5 個對象,并且可得其在1-5 標(biāo)度下的判斷矩陣為:

        根據(jù)上述判斷矩陣,利用MATLAB 編寫程序cxl2.m

        Z=[0.5 0.4 0.3 0.2 0.1;0.6 0.5 0.4 0.3 0.2;0.7 0.6 0.5 0.4 0.3;0.8 0.7 0.6 0.5 0.4; 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5];

        [V,D]=eig(Z)

        W=V(:,1)/sum(V(:,1))

        lambda=max(eig(Z))

        運算結(jié)果:

        lambda=2.808,W=(0.1123 0.1562 0.2000 0.2438 0.2877 ).

        由上述運算結(jié)果,可得1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度的權(quán)重,如表3 所示.

        表3 1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度的權(quán)重

        由表3 可知,1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度的權(quán)重雖然不同,但是當(dāng)它們同在1-5 這個任意特定的標(biāo)度下,權(quán)重又都具有如下性質(zhì):Wi>W(wǎng)j,當(dāng)i>j時,即下標(biāo)小的權(quán)重小,由此可知,對1-5 這個標(biāo)度下的排序問題,1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度都具有保序性.由此,得到如下結(jié)論:對單一準(zhǔn)則下的任何排序問題,1-9標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度,這兩種標(biāo)度都具有保序性.

        2.2 一致性

        層次分析法中判斷矩陣的一致性,主要用來評判決策者在作出定性判斷時是否保持前后一致.在互反型判斷矩陣中,若矩陣中的元素滿足aik×akj=aij,則稱判斷矩陣為一致性矩陣.但在實際應(yīng)用中,決策者做出的定性判斷往往不是完全一致的,因而引入了一致性指標(biāo)CR作為衡量判斷矩陣一致性的標(biāo)準(zhǔn),并規(guī)定當(dāng)CR= 0 時,判斷矩陣具有完全一致性;當(dāng)CR< 0.1 時,判斷矩陣的一致性在可以接受的范圍;當(dāng)CR> 0.1 時,判斷矩陣的一致性不符合要求.

        一致性指標(biāo)CR的計算方法如下:

        其中,RI是平均隨機(jī)一致性指標(biāo),可通過查表得到.λmax是判斷矩陣的最大特征值,aij=aik-ajk+0 是判斷矩陣的階.

        在互補型判斷矩陣中,若判斷矩陣中的元素滿足aij=aik-ajk+0.5,則稱判斷矩陣是一致性矩陣.根據(jù)杜棟教授在文章[10]和徐澤水教授在文章[18]中的分析,可以得到:原始互補型判斷矩陣A= (aij)n×n,通過以下數(shù)學(xué)變換[19],可以得到一致性判斷矩陣B= (bij)n×n,從而可以避免一致性檢驗.

        其中,i,j= (1,2,...,m),m為單準(zhǔn)則下的元素個數(shù).

        另外,徐澤水教授在文章[18]中指出,若A= (aij)n×n是互反型1-9 標(biāo)度下的判斷矩陣,則可以通過公式(2)

        轉(zhuǎn)換為互補型0.1-0.9 標(biāo)度下的判斷矩陣B= (bij)n×n.

        反過來,若B= (bij)n×n是互補型0.1-0.9 標(biāo)度下的判斷矩陣,則可以通過公式(3)

        轉(zhuǎn)換為互反型1-9 標(biāo)度下的判斷矩陣A= (aij)n×n.

        由上述分析可知,1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度這兩種標(biāo)度的判斷矩陣的一致性是相同的.對于1-9 標(biāo)度的判斷矩陣,通過2.1 節(jié)中的MATLAB 軟件運算結(jié)果,可以看到一致性指標(biāo):

        滿足一致性,從而0.1-0.9 標(biāo)度的判斷矩陣也滿足一致性.

        2.3 標(biāo)度均勻性

        標(biāo)度均勻性是指在某一標(biāo)度下,所有相鄰的兩標(biāo)度值的差或商大致相等的程度[16].為了比較1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度這兩種標(biāo)度的均勻性,引入如下關(guān)于標(biāo)度均勻性的定義.

        定義1[16]某一標(biāo)度下相鄰的標(biāo)度值差dij為:

        其中,Si,Sj為某一標(biāo)度下相鄰的兩個標(biāo)度值.

        定義2[16]某一標(biāo)度下相鄰的標(biāo)度值商Dij為:

        其中,Si,Sj為某一標(biāo)度下相鄰的兩個標(biāo)度值.

        定義3[16]某一標(biāo)度下標(biāo)度值差的距離d為該標(biāo)度下最大標(biāo)度值差與該標(biāo)度下最小標(biāo)度值差的差:

        定義4[16]某一標(biāo)度下標(biāo)度值差商的距離D為該標(biāo)度下最大標(biāo)度值商與該標(biāo)度下最小標(biāo)度值商的商:

        定義5[16]某一標(biāo)度的標(biāo)度值距離的平衡值為:

        當(dāng)1.1 ≤b≤ 2.0 時,標(biāo)度均勻性比較理想;當(dāng)2.1 ≤b≤ 6.0 時,標(biāo)度均勻性比較好;當(dāng)b取其他值時,標(biāo)度均勻性比較差.

        根據(jù)上述定義,現(xiàn)在分別考察1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度,這兩種標(biāo)度的均勻性.

        對于1-9 標(biāo)度,所有的dij= 2,故標(biāo)度值差的均勻性好,標(biāo)度值差的距離d= 2.標(biāo)度值商分別為D31= 3,D53= 1.67,D75= 1.4,D97= 1.29.標(biāo)度值商的距離D= 2.33.因而平衡值b=1.16,標(biāo)度均勻性較為理想.

        對于0.1-0.9 標(biāo)度,所有的dij= 0.1,故標(biāo)度值差的均勻性好,標(biāo)度值差的距離d= 0.1.標(biāo)度值商分別為D31= 1.2,D53= 1.17,D75= 1.14,D97= 1.13.標(biāo)度值商的距離D= 1.06.因而平衡值b= 10.6,標(biāo)度均勻性較差.

        根據(jù)以上分析表明,1-9 標(biāo)度的標(biāo)度均勻性優(yōu)于0.1-0.9 標(biāo)度的標(biāo)度均勻性.

        2.4 標(biāo)度權(quán)重擬合性

        定義6[16]標(biāo)度權(quán)重擬合性是指用層次分析法計算的權(quán)重與用標(biāo)度值直接加權(quán)的權(quán)重的擬合程度.我們可以引入以下公式來判斷一個標(biāo)度權(quán)重擬合性的優(yōu)劣.

        其中,Wbi表示用層次分析法得到的第i個標(biāo)度值的權(quán)重,Wzi表示用直接加權(quán)法得到的第i個標(biāo)度值的權(quán)重,n表示某一標(biāo)度下標(biāo)度值的個數(shù).當(dāng)Eavg越小時,表明該標(biāo)度的權(quán)重擬合性越好.

        利用上述權(quán)重擬合性優(yōu)劣公式以及通過表3 和直接計算兩種標(biāo)度的權(quán)重,可以得到1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度的權(quán)重擬合程度,如表4 所示.

        表4 1-9 標(biāo)度與0.1-0.9 標(biāo)度的權(quán)重擬合度

        表4 表明,1-9 標(biāo)度的權(quán)重擬合度比0.1-0.9 標(biāo)度的權(quán)重擬合度差.

        3 結(jié) 語

        關(guān)于1-9 標(biāo)度和0.1-0.9 標(biāo)度,文章從標(biāo)度的保序性、一致性、均勻性、權(quán)重擬合性這4 個方面對兩種標(biāo)度法進(jìn)行了對比分析.結(jié)果表明,在標(biāo)度的保序性和一致性這兩方面,1-9 標(biāo)度和0.1-0.9 標(biāo)度的都具有良好的保序性和一致性;在標(biāo)度均勻性方面,1-9 標(biāo)度優(yōu)于0.1-0.9 標(biāo)度;在標(biāo)度的權(quán)重擬合性方面,0.1-0.9 標(biāo)度優(yōu)于1-9 標(biāo)度.

        文章通過對1-9 標(biāo)度和0.1-0.9 標(biāo)度進(jìn)行分析比較,目的在于幫助決策者在利用層次分析法去解決實際問題時,可以根據(jù)具體情況入手,有針對性地選擇恰當(dāng)標(biāo)度去解決問題,從而避免在標(biāo)度選擇上的盲目與無所適從.

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