☉江蘇省徐州市第三十四中學　孫　莉

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選用“數(shù)學現(xiàn)實”，踐行“單元教學”——以“直線和圓的位置關系”起始課教學為例

☉江蘇省徐州市第三十四中學孫莉

一、教材分析

在九年級圓的教學時，與圓有關的位置關系是一個重要的教學單元，一般包括點和圓的位置關系、直線和圓的位置關系、圓和圓的位置關系.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》將后者作為選學內容，不列入考試要求之后，各版本教材對前兩種位置關系的設置也不相同，比如有些教材將點和圓的位置關系安排在圓的基本概念一節(jié)，與三角形的外接圓一起學習；有些教材將其組合在一個單元.但是，筆者比較多種版本教材發(fā)現(xiàn)一個共同點，這就是關于直線和圓的位置關系的引入情境多是同一類型：以太陽升起過程中，和地平線的位置關系來引入新課.從數(shù)學與生活的廣泛聯(lián)系來看，這樣的情境設計固然有一定的道理，然而從數(shù)學知識“前后一致、邏輯連貫”的角度看，重視“點和圓的位置關系”作為數(shù)學現(xiàn)實情境，也應該是值得重視的一種情境引入方式，下面筆者展示近期執(zhí)教的一節(jié)“直線和圓的位置關系”研討課教學設計，并跟進解讀教學立意，供研討.

二、“直線和圓的位置關系”教學設計

教學環(huán)節(jié)（一）從“點與圓的位置關系”出發(fā)

開課設計：復習點和圓有關的位置關系，課前在黑板上畫出圖1（三個點，點B、C、D分別在圓內、上、外），安排學生講出（教師板書）：點B在圓內?BOr.

圖1

接著在三個圓外都取一點A，分別作直線AB、AC、AD；讓學生觀察直線與圓的位置關系，引出本節(jié)課的課題：直線和圓的位置關系.

類比點和圓的位置關系，問學生：如何研究直線和圓的位置關系呢？（預設：思考圓心O到直線的距離，如圖2，從而作出三條垂線段，即作OH⊥AB……）

圖2

繼續(xù)類比點和圓的位置關系，定義直線和圓相交、相切、相離的概念，并記圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，可歸納：直線和圓相交?dr.

【一組練習】

（1）圓的直徑是13cm，如果圓心與直線的距離分別是：①4.5cm；②6.5cm；③8cm，那么直線和圓分別是什么位置關系？有幾個公共點？

（2）已知Rt△ABC的斜邊AB=6cm，直角邊AC=3cm.圓心為C，半徑分別為2cm、4cm的兩個圓與AB有怎樣的位置關系？半徑是多長時，AB與圓相切？

預設意圖：通過兩道習題及變式訓練直線和圓的位置關系的一些概念，通過解題促進概念理解和內化.

教學環(huán)節(jié)（二）聚焦相切，研究性質

過渡語：繼續(xù)關注黑板上三個圓，在直線和圓的位置關系中，相交、相離變化較多，暫且不研究，讓我們先研究它們的特殊位置關系，就是相切的情形（如圖3）.

圖3

引導學生觀察圖3，發(fā)現(xiàn)并確認：經過半徑OC的外端并且垂直于半徑的直線就是圓的切線（即切線的判定定理）.

預設問題1：為什么這是一個定理，而不是公理？

預設意圖：啟發(fā)學生辨析公理和定理是重要的，九年級學生需要明白公理是不證自明的，定理是需要證明的，比如這里可以根據(jù)公理“過圓上一點C有且只有一條直線垂直于半徑”，或利用反證法推出矛盾來獲得證明.值得注意的是，教材沒有在這里給出詳細推證，教學時這里提及就可以，不必深究，啟發(fā)優(yōu)秀學生深入思考.

預設問題2：切線的判定定理反過來思考，可以提出如下命題：圓的切線一定垂直于過切點的半徑.請判斷該命題的真假，并說明理由.

預設意圖：其實是引導學生證明切線的性質定理，也可以通過反證法的思路獲得證明.注意對兩個定理給出符號語言的表達語句，為后續(xù)例題解答提供格式上的規(guī)范.

教學環(huán)節(jié)（三）例題探究，變式思考

圖4

例1如圖4，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切于點D.

求證：AC是⊙O的切線.

預設講評：根據(jù)切線的判定定理，引導學生作出輔助線（比如，連接OD，作OE⊥AC于點E），并說清楚這兩種輔助線在解決切線問題中是十分常見的.

例2已知△ABC內接于⊙O，過點A作直線EF.如圖5所示，若AB為⊙O的直徑，要使EF成為⊙O的切線，還需要添加的一個條件是（至少說出兩種）：_______或者__________.

圖5

圖6

預設追問：如圖6所示，如果AB是不過圓心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切線嗎？試證明你的判斷.

預設講評：第一問主要訓練學生對切線判定定理的理解；第二問對于初學者有難度，提示輔助線（連接OA）后，關鍵是證明∠OAE為直角，這里圖形的本質是弦切角定理.考慮到教學時間的原因，可以根據(jù)學情，相機使用“變式追問”.

教學環(huán)節(jié)（四）“生長式”課堂小結

小結語（安排學生簡要小結本課內容之后）：讓我們回到本課開始時的圖形，從圓外一點引圓的割線可作無數(shù)條；從圓外一點作圓的切線能作幾條呢？（再次利用PPT展示圖3，讓學生分析過點A能引圓的切線幾條.）

預設意圖：當學生發(fā)現(xiàn)并確認有且僅有兩條之后，告知下一節(jié)課將繼續(xù)研究這種圖形，留下生長式的課堂小結.

附：板書設計

三、教學立意的進一步解讀

1.教學內容的組織，值得踐行“單元教學”

一年來，我們在《中學數(shù)學》等刊物上讀到很多同行研究或賞析南通市啟秀學中學、專家教師李庾南老師的課例文章，特別是李老師幾十年如一日踐行著數(shù)學單元教學.所謂單元教學，即根據(jù)數(shù)學知識發(fā)生的規(guī)律、內在的聯(lián)系、學生學習的基礎與可達到的高度，以及發(fā)展思維能力，將學材分為單元或知識模塊，從整體上把握教學要求，安排教學內容，分課時實施.從上文課例來看，教材上直線和圓的位置關系第1課時往往只是總結到三種位置關系，數(shù)與形之間的對應關系，就進入系列練習鞏固階段，而我們在教學內容設計時，還基于從知識發(fā)展的內在聯(lián)系出發(fā)，研究直線與圓相切的關系，即切線的判定和性質定理.由于教學時間原因，將切線長性質作為課堂小結提出來，下一節(jié)課繼續(xù)探討.

2.教學情境的創(chuàng)設，需要關注“數(shù)學現(xiàn)實”

如本文開篇所指出的，新世紀以來的教材一個顯著的特點就是關于新知導入環(huán)節(jié)，設置了大量的“生活現(xiàn)實”引入新課.然而“課標（2011年版）”關于數(shù)學情境創(chuàng)設做出了必要的糾偏平衡，這就是需要兼顧生活現(xiàn)實、數(shù)學現(xiàn)實及其他學科現(xiàn)實.筆者認為，當前值得關注的應該是數(shù)學現(xiàn)實情境的創(chuàng)設，就如同本課例在開課階段，我們就舍棄了各種教材上流行的太陽升起與地平線之間的關系引入新課的情境創(chuàng)設，而選擇了點與圓的位置關系的圖形作為引入圖形，追求了章建躍教授所倡導的“前后一致、邏輯連貫”的建議.

3.單元教學起始課，預設“生長式小結”

對于單元教學起始課，很多同行會認為這種課型往往容量、難度偏大，不適合一些農村學校或城鄉(xiāng)結合部學校實踐.事實上，這是一種認識上的封閉現(xiàn)象.所謂教學容量，常常應該是預設大于生成，切實堅持以學定教.比如，上文課例中我們預設了好多追問、變式拓展和富有深度的問題，并不要求所有學生當堂對有難度的問題都即時獲得理解消化.再比如，例題教學環(huán)節(jié)，在例2中我們預設了系列追問，也可以根據(jù)教學時間靈活選擇.還有，本課小結階段，我們引導學生回到開課階段的情境，過圓外一點A引圓的兩條切線，為下一節(jié)課研究切線長性質提供一種生長式情境.所以這些教學預設都是為了追求不同課時之間的平滑過渡、無縫對接，想來戲劇、影視藝術中常常經營轉場效果，也是如此吧.

參考文獻：

1.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數(shù)學通報，2013（6）.

2.何明.追求邏輯連貫、生長自然的教學設計［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2015（3）.

3.劉東升.關聯(lián)性：一個值得重視的研究領域［J］.中學數(shù)學（下），2013（12）.

4.仇錦華.從數(shù)學整體觀看單元教學［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2015（11）.