☉江蘇省南京市金陵中學(xué)河西分校　李玉榮

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研題要
勤于“走自己的路”——以一類中考題為例

☉江蘇省南京市金陵中學(xué)河西分校李玉榮

我們知道，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的素材主要有“教材知識”和“各類題目”兩部分構(gòu)成，而題目又直接體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的運用和應(yīng)用，可以這樣說，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的成長主要是通過解題水平來體現(xiàn)的.因此，要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)教師必須具有研題的能力.所謂研題，一般指教師在題目教學(xué)前、題目教學(xué)中、題目教學(xué)后對題目自身及解法做的研究工作，它既是數(shù)學(xué)教師日常教學(xué)的一項基本工作，更是永無止境的一門必修課，優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師，無一例外都是研題的行家里手.本文圍繞一類中考題談?wù)劷虒W(xué)前研題的思考與認(rèn)識.

近幾年的中考幾何命題出現(xiàn)一種現(xiàn)象：有難度的幾何題都會設(shè)置一些鋪墊，雖然命題者的用意是體現(xiàn)對考生的人文關(guān)懷，設(shè)計合理的鋪墊也的確對學(xué)生解題有所幫助，但設(shè)置的鋪墊通常僅僅是命題者預(yù)設(shè)的解題思路，無疑局限了考生的思維，使其他解法（或許更好）無法施展.作為教師，在接觸此類問題時，不能按部就班、就提論題，需要潛心研題，走自己的路——題目鋪墊合適嗎？還有更好的解法嗎？努力使題目的功效最大化.

例1（某市中考模擬題）已知，在△ABC中，∠ABC=45°，D是BC上一點，∠ADC=60°，且CD=2BD，將△ADC沿AD翻折，使點C落在點C′處，

（1）求證：BC′⊥BC；

（2）求∠C的度數(shù).

標(biāo)準(zhǔn)答案：（1）如圖1，取DC′的中點M，連接BM.

圖1

圖2

由翻折知∠ADC′=∠ADC=60°，C′D=CD，所以∠BDC′=60°.因為CD=2BD，所以C′D=2BD，所以MD=BD，所以△BMD為等邊三角形.

所以∠MBD=∠MDB=60°，BM=MD=MC′.

所以∠C′BM=∠C′=30°.

從而∠C′BD=90°，故BC′⊥BC.

（2）如圖2，作AE⊥BC，AG⊥C′D，AF⊥BC′，垂足分別為E、G、F.

由（1）知∠ABC′=∠ABC=45°，所以AF=AE.

又∠ADC′=∠ADC=60°，所以AG=AE，故AF=AG.

從上面的解題過程看，命題者設(shè)置了鋪墊的第（1）小題，然后利用第（1）小題得到的一些結(jié)論來解決第（2）小題，但是我們看到鋪墊的第（1）小題自身也并不容易，且與第（2）小題的聯(lián)系并不十分明顯.因此，教師需要研題：直接求解第（2）小題需要先作翻折變換嗎？怎樣更合理地利用題中的兩個特殊角“∠ABC=45°，∠ADC=60°”？實際上，容易想到的自然解法是作垂線構(gòu)造直角三角形.

圖3

另解：如圖3，作CH⊥AD于點H，連接BH，則∠HCD=30°，所以CD=2DH=2BD，所以BD=DH，從而∠HBD=∠BHD=30°.

又∠ABC=45°，所以∠ABH=15°.

又∠BAD=∠ADC-∠ABC=15°，所以AH=BH.

又∠HCD=30°=∠HBD，所以CH=BH=AH，所以∠ACH=45°.

從而∠ACB=∠ACH+∠HCD=75°.

評注：此解法通過添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，將問題轉(zhuǎn)化為求∠ACH即可，解法簡潔，學(xué)生更易于接受.對難題設(shè)置鋪墊體現(xiàn)了對考生的人文關(guān)懷，但鋪墊必須精心設(shè)置，對學(xué)生解題才能真正有所幫助，題目自身的價值才不會喪失.一般而言，當(dāng)一個題目偏難且解法唯一時，設(shè)置鋪墊才有必要，否則還是應(yīng)把思考留給學(xué)生，讓學(xué)生在思考中展示自己的數(shù)學(xué)潛能，體現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”這一理念.

例2（2015年南京市中考題）如圖4，AB∥CD，點E、F分別在AB、CD上，連接EF，∠AEF、∠CFE的平分線交于點G，∠BEF、∠DFE的平分線交于點H.

（1）求證：四邊形EGFH是矩形.

（2）小明在完成（1）的證明后繼續(xù)進行了探索.過點G作MN∥EF，分別交AB、CD于點M、N，過點H作PQ∥EF，分別交AB、CD于點P、Q，得到四邊形MNQP.此時，他猜想四邊形MNQP是菱形，請在如圖5所示的框圖中補全他的證明思路.

圖4

圖5

因為AB∥CD，所以∠BEF+∠DFE=180°，

因為∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，

所以∠EHF=180°-（∠FEH+∠EFH）=180°-90°=90°.

同理可得∠EGF=90°.

因為EH平分∠BEF，所以∠FEH=∠BEF.

因為點A、E、B在同一條直線上，所以∠AEB=180°，即∠AEF+∠BEF=180°.

所以四邊形EGFH是矩形.

（2）（答案不唯一）由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形.

要證MNQP是菱形，只要證MN=NQ.由已知條件FG平分∠CFE，MN∥EF，故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH，易證GE=FH、∠GME=∠FGH.

故只要證∠MGE=∠QFH，易證∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得證.

毋容置疑，這是一道設(shè)置新穎、獨特的中考題，命題者將一道“證明四邊形MNQP是菱形”的題目設(shè)置成兩個問題，先證明四邊形EGFH是矩形，再給出一個留有“空白”的證明思路，讓考生補全，體現(xiàn)了過程性原則，意在考查學(xué)生做幾何題的分析能力.作為教師，教學(xué)中對這道題僅僅如法炮制是不夠的，需要做的研究是：能用其他更簡潔的方法直接證明四邊形MNQP是菱形嗎？

另證：易證四邊形MNQP、MNFE、PEFQ都是平行四邊形，所以MN=PQ，ME=NF，PE=QF.

因為EG平分∠AEF，所以∠GEF=∠MEG.

因為MN∥EF，所以∠GEF=∠MGE，所以∠MEG= ∠MEG，所以ME=MG.

所以平行四邊形MNQP是菱形.

評注：此證法無需先證明矩形，也無需證明全等三角形，只需利用“平行線+角平分線產(chǎn)生等腰三角形”這一基本圖形，問題輕松獲解，帶給學(xué)生的是一次思維的“震撼”，如果再適當(dāng)安排一些類似習(xí)題給學(xué)生練習(xí)，效果更加明顯.

例3（2015年江西省中考題）我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.例如，圖6，圖7，圖8中，AF、BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P.像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a，AC=b，AB=c.

圖6

圖7

圖8

特例探索：

如圖7，當(dāng)∠ABE =30°，c =4時，a =_______，b = _______.

歸納證明：

（2）請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖8證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式.

拓展應(yīng)用：

（3）如圖9，在?ABCD中，E、F、G分別是AD、BC、CD的中點，AB=3.求AF的長.

圖9

（2）a2+b2=5c2（過程略）.

（3）方法一：如圖10，設(shè)AF、BE交于點P，取AB的中點H，連接FH、AC.

因為E、G分別是AD、CD的中點，F(xiàn)是BC的中點，所以EG∥AC∥FH.

又BE⊥EG，所以FH⊥BE.

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以AD∥BC，AD=BC.

所以AE=BF，AE∥BF，所以AP=FP.

所以△ABF是中垂三角形.

圖10

方法二：如圖11，設(shè)AF、BE交于點P，連接AC、CE，延長CE、BA交于點H.

因為E、G分別是AD、CD的中點，所以EG∥AC.

又BE⊥EG，所以AC⊥BE.

顯然△AEH≌△DEC，所以HE=CE，HA=CD=BA，所以BE、CA是△HBC的中線，所以△HBC是中垂三角形.

所以BH2+HC2=5BC2，即所以HC=8.

圖11

這是一道中考壓軸題，題目先定義了“中垂三角形”，然后從特例探索到歸納證明，為學(xué)生解題設(shè)置鋪墊，最終應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解決第（3）小題，題目的命制特色鮮明，梯度合理，具有一定的區(qū)分度，踐行了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的理念.但從第（3）小題的解答過程看，怎樣構(gòu)造“中垂三角形”并不容易.如果將此題作為例題教學(xué)，除了按部就班地講評方法，能否進一步引導(dǎo)學(xué)生不走命題者提供的思路，直接求解第（3）小題呢？筆者在課前做了研究：要求AF的長度，一般會想到作垂線構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解，注意到BE⊥EG，聯(lián)想到一個與相似三角形有關(guān)的基本圖形——“一線三直角模型”，可分別過點B、G作AD的垂線，得到如下解法：

方法三：如圖12，分別作AH⊥BC，BM⊥AD，GN⊥AD，H、M、N為垂足，則AH=BM，HB=AM.

易證△BMA∽△GND，△BME∽△ENG.

圖12

評注：模型思想是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的10個核心概念之一.在本題中，根據(jù)圖形特點，構(gòu)造直角三角形、構(gòu)造相似三角形求解樸素、自然，是幾何圖形中計算線段的“通法”或“模式”.章建躍博士曾在《中小學(xué)數(shù)學(xué)》中撰文《注重通性通法才是好數(shù)學(xué)教學(xué)》.羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中也指出：“典型模式就像建筑上的預(yù)制構(gòu)件，也是思維的基本模塊，本質(zhì)上是一種標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)計，即將陌生的問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的問題，然后用標(biāo)準(zhǔn)的程序去解決它.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，‘基本問題’的思想是這一策略的重要表現(xiàn)，積累基本問題也就成為提高這一策略效率的捷徑，比如，在幾何上有解題的‘基本圖形法’，即將一些典型的圖形徹底剖析，遇到一個新的圖形時，或者將其補充成一個基本圖形，或者將其分拆為幾個基本圖形，然后在基本圖形的框架內(nèi)加以解決.”

教學(xué)前的研題，有助于課堂教學(xué)中選用例題、習(xí)題，使知識的運用更具有針對性，有助于教學(xué)中有的放矢地啟發(fā)、引導(dǎo)和點撥，使教學(xué)更有效.教師對現(xiàn)成的題目及標(biāo)準(zhǔn)答案應(yīng)持尊重但不迷信的態(tài)度，善于研究，勤于走自己的路，努力挖掘題目的內(nèi)涵、揭示問題的本質(zhì)，通過研題讓學(xué)生受益、促自己提升，實現(xiàn)教學(xué)雙贏.