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一道高考試題結(jié)論的引申與探究

湖南省瀏陽市第一中學(xué)1309班(410300)羅邯

1.考題再現(xiàn)

2014年四川省高考數(shù)學(xué)卷理科第20題

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x=-3上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.

(ⅰ)證明：OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))；

對(duì)于第(1)問,易求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

2.引申與探究

圖1

(1)若y0=0,則線段PQ垂直于x軸,顯然OT平分線段PQ.

綜合(1)、(2)可得結(jié)論成立．

顯然,若x0=c(或-c),則定點(diǎn)F和定直線l分別是橢圓的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線.

上述結(jié)論能否類比到雙曲線上呢?答案是肯定的.于是就有如下的結(jié)論:

圖2

證明方法與結(jié)論1的類似,本文不再贅述．

同樣，若x0=c(或-c),則定點(diǎn)F和定直線l分別是雙曲線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線．

橢圓和雙曲線稱為有心圓錐曲線，而拋物線則稱為無心圓錐曲線．經(jīng)過研究，對(duì)于拋物線有如下的結(jié)論：

結(jié)論3如圖3，已知拋物線y2=2px，F(xiàn)(x0,0)是x軸上一定點(diǎn)，直線l:x=x0-p是相應(yīng)于定點(diǎn)F的定直線，T為直線l上任意一點(diǎn)，過定點(diǎn)F作TF的垂線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，則過點(diǎn)T且與y軸垂直的直線平分線段PQ．

圖3

證明：設(shè)T(x0-p,t)，

(1)若t=0，則線段PQ的中點(diǎn)即為F，結(jié)論顯然成立．

綜合(1)、(2)可得結(jié)論成立．

在解決一個(gè)問題后，思考此問題相應(yīng)的逆命題是否成立．通過探究可以得出如下結(jié)論．

證明:因?yàn)镸與定點(diǎn)F不重合,所以弦PQ所在直線的斜率存在且不為零(因x0≠0).

設(shè)PQ:y=k(x-x0)(k≠0),

結(jié)論6設(shè)M是拋物線y2=2px的過定點(diǎn)F(x0,0)的弦PQ的中點(diǎn),且M與定點(diǎn)F不重合,則過M和y軸垂直的直線與過點(diǎn)F垂直于弦PQ的直線的交點(diǎn)落在定直線l:x=x0-p上.

結(jié)論5和結(jié)論6的證明過程與結(jié)論4的證明過程類似,在此不再再贅述.

(注：本文得到朱保倉老師指導(dǎo)，特此致謝！)