時(shí)杰

摘 要：從收斂和一致收斂的概念出發(fā)，討論數(shù)學(xué)分析中函數(shù)列的收斂與一致收斂的關(guān)系，這為如何掌握并進(jìn)一步研究函數(shù)列的收斂與一致收斂問(wèn)題提供了方法。

關(guān)鍵詞：函數(shù)列；收斂；一致收斂

函數(shù)列收斂與一致收斂理論是數(shù)學(xué)分析中的重要概念之一，同時(shí)也是教與學(xué)的難點(diǎn)。但是學(xué)生往往對(duì)定義理解不透徹，生搬硬套“？著-N”語(yǔ)言，加之各種版本的數(shù)學(xué)分析教科書(shū)將函數(shù)列的收斂問(wèn)題與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題放在一起，使得教與學(xué)更為困難。本文從實(shí)數(shù)數(shù)列的收斂問(wèn)題中引出函數(shù)列的收斂，進(jìn)而引出一致收斂，逐步推進(jìn)，使得這部分內(nèi)容更易學(xué)習(xí)并掌握。

實(shí)數(shù)序列的收斂問(wèn)題是定義在實(shí)數(shù)集上的，其實(shí)函數(shù)序列的收斂性也是如此，函數(shù)序列的收斂性反映的是函數(shù)列在點(diǎn)集上的局部性質(zhì)，也就是說(shuō)，函數(shù)列在點(diǎn)集上的收斂性就是實(shí)數(shù)序列的收斂問(wèn)題。下面就從這個(gè)角度討論函數(shù)列的收斂與一致收斂問(wèn)題。

一、收斂的幾個(gè)定義

實(shí)數(shù)列的收斂性定義

定義1：設(shè)xn是實(shí)數(shù)序列，a是實(shí)數(shù)，若對(duì)任意給定的正數(shù)？著，都存在相應(yīng)的正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，恒有xn-a<？著，則稱實(shí)數(shù)列xn收斂于a，記為limxn→∞=a，或簡(jiǎn)記為xn→a（n→∞）。

幾何上，xn→a的意思是：數(shù)軸上跳動(dòng)的點(diǎn)xn與定點(diǎn)a之間的距離，隨著n的無(wú)限變大而無(wú)限變小，無(wú)論？著是怎樣小的數(shù)，做點(diǎn)a的？著鄰域（a-？著，a+？著），跳動(dòng)的點(diǎn)遲早有一次將跳進(jìn)去，再也跳不出來(lái)，這個(gè)次數(shù)便可作為N。

但是例如序列：（1+ ），（1+ ）2，（1+ ）3，…，（1+ ）n，…有極限ex，這個(gè)序列的特點(diǎn)是每一項(xiàng)都是函數(shù)，極限也是x的函數(shù)，這樣構(gòu)成的序列就不是實(shí)數(shù)序列了，而是函數(shù)序列，可以記為：fn（x），收斂定義如下：

定義2：設(shè)函數(shù)列fn（x）每一項(xiàng)fn（x）及函數(shù)f（x）均在數(shù)集E上有定義，若？坌x∈E，函數(shù)列fn（x）收斂于f（x），則稱函數(shù)列fn（x）在E上收斂于f（x），并稱函數(shù)f（x）是函數(shù)列fn（x）的極限函數(shù)。

定義2也可以用“？著-N”語(yǔ)言描述：設(shè)函數(shù)列fn（x）每一項(xiàng)fn（x）及函數(shù)f（x）均在數(shù)集E上有定義，對(duì)？坌x∈E，？坌？著>0存在正數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，總有fn（x）-f（x）<？著，則稱函數(shù)列fn（x）在E上收斂于f（x），并稱函數(shù)f（x）是函數(shù)列fn（x）的極限函數(shù)，記為limf（x）→∞=f（x）。

我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)列fn（x）的收斂問(wèn)題不僅要考慮fn（x）的趨向，還要考慮極限函數(shù)f（x），但是我們也發(fā)現(xiàn)取定x0∈E時(shí)，代入fn（x）即得實(shí)數(shù)序列：f1（x0），f2（x0），…，fn（x0）…，這時(shí)就是實(shí)數(shù)序列的收斂性問(wèn)題了。

函數(shù)列fn（x）收斂的定義中是對(duì)每一個(gè)固定的x∈E，根據(jù)給定的？著找N，一般來(lái)說(shuō)，這樣找到的N不僅與？著有關(guān)，而且與x有關(guān)，可記為N（？著，x）。但是對(duì)于函數(shù)列，僅停留在談?wù)撘稽c(diǎn)上的收斂是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，重要的是研究極限函數(shù)與函數(shù)列所具有的解析性質(zhì)的關(guān)系，例如能否根據(jù)函數(shù)列每項(xiàng)的連續(xù)性和可導(dǎo)性來(lái)判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性，或極限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或積分，是否分別是函數(shù)列每項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)或積分的極限，顯然只研究函數(shù)列在一點(diǎn)處的收斂不能滿足要求。

例如：函數(shù)列fn（x）=xn（x∈[0，1]），n∈N，它處處收斂于函數(shù)f（x）=0 x∈[0，1）1 x=1，但是極限函數(shù)f（x）不連續(xù)，也就是說(shuō)收斂性不能保證極限函數(shù)的連續(xù)性。

那么是否能根據(jù)正數(shù)？著找到一個(gè)公共的N，使得N只與？著有關(guān)，不妨記為N（？著），對(duì)此我們引進(jìn)比點(diǎn)點(diǎn)收斂更強(qiáng)一點(diǎn)的收斂概念，那就是一致收斂，定義如下：

定義3：設(shè)函數(shù)列fn（x）每一項(xiàng)fn（x）及函數(shù)f（x）均在數(shù)集E上有定義，若對(duì)任意？著>0，總存在正數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)一切x∈E，都有fn（x）-f（x）<？著，則稱函數(shù)列fn（x）在數(shù)集E上一致收斂于f（x），記為fn（x）？圯f（x）（n→∞）。

定義3的描述等價(jià)于：對(duì)于定義在同一數(shù)集E上的fn（x）和f（x），滿足條件lim→∞supx∈efn（x）-f（x）=0（n→∞），進(jìn)一步還等價(jià)于lim→∞fn（x）-f（x）=0。顯然定義3比定義2更強(qiáng)，定義3成立必能推出定義2成立。

定義4：設(shè)函數(shù)列fn（x）每一項(xiàng)fn（x）及函數(shù)f（x）均在數(shù)集E上有定義，若對(duì)任意[a，？茁]？奐E，fn（x）在[a，？茁]上都一致收斂于f（x），則稱fn（x）在數(shù)集E上內(nèi)閉一致收斂于f（x）。顯然定義4比定義3更強(qiáng)，定義4成立必能推出定義3成立。

注1：函數(shù)列fn（x）在數(shù)集E內(nèi)閉一致收斂于f（x），則必在E上收斂于f（x）。

注2：函數(shù)列fn（x）在非閉數(shù)集E上一致收斂于f（x），則必在E內(nèi)閉一致收斂于f（x）。

注3：函數(shù)列fn（x）在閉數(shù)集E上一致收斂于f（x）的充分必要條件是在E內(nèi)閉一致收斂于f（x）。

注4：fn（x）在（-∞，+∞）上內(nèi)閉一致收斂等價(jià)于對(duì)一切充分大的N>0，fn（x）在[-N，+N]上一致收斂。

注5：fn（x）在（a，？茁）上內(nèi)閉一致收斂等價(jià)于對(duì)一切充分小的a>0，fn（x）在[a+？滓，b-？滓]上一致收斂。（a，？茁這有限實(shí)數(shù)）

注6：fn（x）在（a，？茁]上內(nèi)閉一致收斂等價(jià)于對(duì)一切充分小的？滓>0，fn（x）在[a+？滓，b]上一致收斂。（a，？茁這有限實(shí)數(shù)）

注7：fn（x）在數(shù)集E上一致收斂于f（x），則其任一子函數(shù)列fn（x）均在E上一致收斂于f（x）。

注8：fn（x）在數(shù)集E上內(nèi)閉一致收斂于f（x），則其任一子函數(shù)列fn（x）均在E上內(nèi)閉一致收斂于f（x）。

注7和注8可以類比實(shí)數(shù)序列與子序列的收斂關(guān)系，其實(shí)注7和注8便是對(duì)實(shí)數(shù)序列與子序列收斂關(guān)系的推廣。

下面僅給出注2、注3的簡(jiǎn)單證明：

證明注2：

任給[a，？茁]？奐E，因fn（x）在E上一致收斂于f（x），則在[a，？茁]上一致收斂于f（x），即fn（x）在數(shù)集E上內(nèi)閉一致收斂于f（x）。反之未必成立。

證明注3：

必要性：任給[a，？茁]？奐E，由于fn（x）在E上一致收斂于f（x），必在[a，？茁]上一致收斂于f（x），即在E內(nèi)閉一致收斂于f（x）；

充分性：由于fn（x）在E內(nèi)閉一致收斂于f（x），故對(duì)閉數(shù)集E？奐E，也有fn（x）在E上一致收斂于f（x）。

二、一致收斂的幾個(gè)等價(jià)命題

命題1（一致收斂的柯西收斂準(zhǔn)則）

函數(shù)列fn（x）在數(shù)集E上一致收斂？圳對(duì)任給的？著<0，總存在正整數(shù)N，對(duì)一切x∈X，都有fn（x）-fm（x）<？著。

命題1等價(jià)于如下命題：

命題2：函數(shù)列fn（x）在數(shù)集E上一致收斂？圳對(duì)任給的？著>0，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N且x∈E時(shí)，對(duì)任意自然數(shù)p，都有fn+p（x）-f（x）<？著。

用命題1和命題2進(jìn)行判別的優(yōu)勢(shì)在于不需要知道極限函數(shù)是什么，只是根據(jù)函數(shù)列本身的特點(diǎn)來(lái)判斷函數(shù)列是否一致收斂。

例如：設(shè)函數(shù)列fn（x）=xn，n∈N，為定義在（-∞，+∞）上的函數(shù)列，證明它的收斂域是（-1，1]，且極限函數(shù)為fn（x）=0，x<11， x=1（*）

證明：任給？著>0，（不妨設(shè)？著>1），當(dāng)0N（？著，x）時(shí)，就有fn+p（x）-f（x）<？著，當(dāng)x=0和x=1時(shí)，則對(duì)任何正整數(shù)n，都有fn（0）-f（0）=0<？著，fn（1）-f（1）=0<？著，這就證得fn（x）在（-1，1]上收斂，且有（*）式的極限函數(shù)。而當(dāng)x>1時(shí)，則有xn→∞（n→∞），當(dāng)x=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列為：-1，1，-1，1，…顯然它是發(fā)散的。所以函數(shù)列xn在區(qū)間（-1，1]外是發(fā)散的。

以上內(nèi)容通過(guò)實(shí)數(shù)列的收斂引出函數(shù)列的收斂、一致收斂以及一致收斂的等價(jià)命題，據(jù)此我們可以研究數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與一致收斂問(wèn)題。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究過(guò)程中，函數(shù)列的收斂和一致收斂的證明是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，這些內(nèi)容在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都有很好的體現(xiàn)。這些內(nèi)容更是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與一致收斂的基礎(chǔ)。以上討論，為學(xué)習(xí)者理清了思路，幫助學(xué)習(xí)者掌握其中規(guī)律，增強(qiáng)對(duì)函數(shù)列收斂與一致收斂的概念理解。

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編輯 薛直艷