梁艷云

【摘要】 本文通過對(duì)基本圖形三角形、四邊形的作圖，歸納方法，提煉模型，并應(yīng)用基本模型解決梯形、任意四邊形等多邊形的面積評(píng)分問題.最后對(duì)基本圖形的教學(xué)進(jìn)行反思.

【關(guān)鍵詞】 基本圖形；提煉模型；應(yīng)用模型

面積平分問題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)問題，在近幾年的中考試題中出現(xiàn)的頻率也比較高. 它不僅考查學(xué)生的基本作圖，更重要的是考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的要求很高，所以很多學(xué)生面對(duì)此類問題很難下筆. 如何讓學(xué)生有效的掌握多邊形面積平分問題的解題策略，是值得我們研究探討的一個(gè)問題，下面就這類問題筆者談一談自己的一些做法，希望能給同行們一些啟發(fā)、借鑒和參考.

一、提煉基本模型

問題一：能否作一條直線將△ABC分成面積相等的兩部分？

已知：△ABC.

結(jié)論：可作一條直線平分△ABC的面積.

方法：作△ABC一條中線所在的直線.

基本模型：平分△ABC面積的直線是三角形中線所在的直線.

二、應(yīng)用基本模型

1. 基本模型在梯形中的應(yīng)用

問題二：如圖1，如何作一條直線將梯形ABCD分成面積相等的兩部分？

（1）將梯形轉(zhuǎn)化為三角形

方法一：如圖2所示，取DC中點(diǎn)M，連接AM并延長交BC的延長線于點(diǎn)N，則S△ADM = S△CMN，因此S梯形ABCD = S△ABN，根據(jù)三角形面積的平分方法，即可平分此梯形.

方法二：如圖3所示，取AB、CD的中點(diǎn)M、N及AD上任取一點(diǎn)E，連接EM、EN并延長交CB延長線、BC延長線于點(diǎn)G、H，則S△AEM = S△BGM，S△DEN = S△CHN，因此S梯形ABCD = S△EGH，也根據(jù)三角形面積的平分方法，即可平分此梯形.

（2）將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形

方法一：如圖4所示，可將梯形轉(zhuǎn)化為矩形，分別過AB、DC的中點(diǎn)M，N作BC的垂線，交BC于點(diǎn)F、G，交DA和AD的延長線于點(diǎn)E，H，則S△AEM = S△BFM，S△DHN = S△CGN，因此S梯形ABCD = S矩形EFGH，根據(jù)平行四邊形面積的平分方法，即可平分此梯形.

方法二：如圖5所示，可直接將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，方法更簡單.過DC的中點(diǎn)M，作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，交AD的延長線于點(diǎn)E，則S△DEM = S△CFM，因此S梯形ABCD = S？荀 ABFE，根據(jù)平行四邊形面積的平分方法，也可平分此梯形.

（3）平分梯形面積的通法

平分梯形面積的方法很多，無論哪種方法所作的直線都滿足下列兩個(gè)條件：

① 經(jīng)過梯形中位線中點(diǎn)；② 與梯形的兩底相交.

理由如下，如圖6所示，

3. 基本模型在任意五邊形中的應(yīng)用

問題三： 如圖7，如何作一條直線將五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分.

解法 將任意五邊形轉(zhuǎn)化為三角形，如圖8所示，連接AC，AD，過點(diǎn)B，E分別作AC，AD的平行線，交直線CD于點(diǎn)G，H，連接AG和AH分別交BC、DE于點(diǎn)M，N，即形成了兩對(duì)蝴蝶型，則有S△ABM = S△CGM，S△AEN = S△DHN， 將五邊形ABCDE的面積轉(zhuǎn)化為面積相等的三角形AGH，因此S五邊形ABCDE = S△AGH，根據(jù)三角形面積的平分方法，即可平分此五邊形.

三、反思基本圖形教學(xué)

1. 本文蘊(yùn)含的基本圖形

在多邊形面積平分問題中，可以歸納出以上四種基本圖形：三角形、平行四邊形、梯形、蝴蝶形，具體分割方法如上圖所述. 平分梯形可以直接轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形來解決，平分任意四邊形或任意五邊形可以利用蝴蝶形間接轉(zhuǎn)化為三角形來解決，不論是哪種多邊形面積平分問題都可以轉(zhuǎn)化為三角形面積平分問題. 所以教師在教學(xué)中要有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生挖掘基本圖形，在解題中靈活運(yùn)用基本圖形，這樣便可以快捷的找到解題思路，縮短思維距離，提高解題速度.

2. 將基本圖形功能最大化

教無定法，不同的問題有不同的教學(xué)方法，相同的問題不同的老師教法也不一定相同，當(dāng)然教學(xué)效果也有區(qū)別.如何使問題教學(xué)功能最大化，從多年的教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出對(duì)問題的處理可分為三個(gè)層次；

第一層次：教法單一，就題論題 . 學(xué)生能聽懂但不一定會(huì)做，這是最低層次. 常聽一些老師抱怨：反復(fù)多次講過的問題，還是有很多的學(xué)生仍然不會(huì)做，就認(rèn)為是學(xué)生不努力、腦子笨. 我認(rèn)為這樣說對(duì)學(xué)生是不公平的，因?yàn)榫吞嵴擃}的教學(xué)方式本身就有很大的弊端，教給學(xué)生的知識(shí)是孤立的、零散的，學(xué)生難以溝通知識(shí)間的聯(lián)系，一旦問題變化就束手無策，即使老師講過的問題也容易忘記.

第二層次：教法多樣，變式拓展. 對(duì)問題能進(jìn)行一題多解，一題多變，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題多角度、多層次、多方面思考，這是第二層次，這樣的教學(xué)方式能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，能靈活的運(yùn)用所學(xué)知識(shí)思考問題解決問題.

第三層次：歸納總結(jié)，上升模式. 通過對(duì)問題多解和多變，能進(jìn)行總結(jié)歸納其解題數(shù)學(xué)思想方法，上升到一種解題模式，這是教學(xué)的最高境界.這也是一線教師所追求的最高目標(biāo).