李麗霞

（吉林省大安市太山鎮(zhèn)第二中學 吉林大安 131300）

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反例在數(shù)學中的作用與構造

李麗霞

（吉林省大安市太山鎮(zhèn)第二中學 吉林大安 131300）

摘 要：本文通過反例在數(shù)學中的作用與構造，通過命題正、反兩面想比較，從而更加正確的理解概念、命題以及相互關系來說明反例的作用及意義，并且講述了反例在數(shù)學的教學中的作用，利用反例，加強對基本概念、定理和規(guī)則的理解；利用反例，否定命題的正確性；利用反例，加深學生對命題內涵和外延的理解程度；善于利用反例，能幫助學生通過比較，建立鮮明的表象；反例能幫助學生否定謬論，糾正錯誤；善于利用反例能幫助學生進行研究性的學習；如何將構造反例這一方法廣泛應用，從而將反證法得到推廣。

關鍵詞：數(shù)學教學 反例 構造 研究 日常生活

在數(shù)學的研究中，構造反例去解決問題是非常重要的，它在數(shù)學研究及數(shù)學教學中有著重要的地位和作用，如果能在教學的過程中充分的去發(fā)揮反例的作用，那么對于提高教學的質量，對于培養(yǎng)學生的數(shù)學能力和提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，都是非常有好處的。［1］

一、反例在數(shù)學中的作用與構造

1．反例在數(shù)學中的基本內容

（1）反例的含義

所謂的反例，通常來說就是用來說明一個命題不成立的例子，也就是符合命題的條件但是與命題的結論想矛盾的例子。

（2）反例在數(shù)學中的作用

數(shù)學的發(fā)展，其實就是一個不斷的提出問題，然后在解決問題的過程，通過不斷的提出和解決，得出一些新的理論，新的定理。而想要解決這些問題，主要還是由給出命題的證明或者構造反例來完成的。歐氏幾何的成立便離不開它的幫助了。

自從歐氏幾何成立以后，很多人都試圖證明平行公理，但都失敗了。而高斯、黎曼等杰出的數(shù)學家采用了銳角與鈍角的假設，徹底的推翻了“平行公理是可以證明的”這一猜想，使得將近兩千年的一大數(shù)學難題得到了解決，對幾何學乃至整個數(shù)學領域的發(fā)展作出了偉大的貢獻。像這樣的貢獻還有許多，如微積分理論中的“每一連續(xù)函數(shù)除了在去件內某些孤立點外都具有導數(shù)”等命題 ，都是通過構造反例才得以解決。

二、反例在數(shù)學教學中的作用

1．反例在教學中的應用

反例不僅能夠證明命題的真實性，在教學中也有著不可代替的位置。反例在教學中有很多作用，如評判學生對問題的回答，批改學生作業(yè)，都需要指出他的錯誤，而指出錯誤最有說服力的也就是舉出反例。［2］

（1）利用反例，加強對基本概念、定理和規(guī)則的理解

數(shù)學概念是空間形式的數(shù)量關系以及他們的本質屬性在人的腦海中的反映，也是數(shù)學知識的重要組成部分。對于數(shù)學概念的教學，我們不僅僅要運用正面的實例去引導學生形成概念，還要善于借助反例加深學生對概念本身的理解和再思考、再認識。在數(shù)學當中，有許多的概念定理和規(guī)則，想要接受這些抽象的東西，有時會很困難，很多的學生只會死記硬背那些定義，卻不知道那些概念的真正意思，這時，我們利用舉出反例，讓他們從側面去抓住概念的本質，往往效果非凡，還可一提高學生對知識的理解程度，從而去辨析。

（2）利用反例，否定命題的正確性

一個數(shù)學命題的成立，是經(jīng)過了反反復復的證明，需要經(jīng)過非常嚴格的邏輯證明，而否定一個命題，我們只需要判斷出它在某種情況下不成立即可，這是一種非常慣用的數(shù)學方法和證明手段，也是學生必須要認真去掌握的。

（3）利用反例，加深學生對命題內涵和外延的理解程度

許多定理、性質、公式、法則都有它成立的條件和適用的范圍。教學中如果不注意分析，不提供挑戰(zhàn)性素材，學生很容易便拋開條件，超越范圍，從而釀成錯誤。關于一些定理，許多教材書上一般都是先介紹定理，再給出證明，最后舉出滿足定理條件的正面例子。但這些方法會讓學生只理解到片面的定理，不能夠深入的去理解定理，這時我們便可以說出一些反例來更一步的說明這些定理的本質。

（4）善于利用反例，能幫助學生通過比較，建立鮮明的表象

在數(shù)學的教程過程中，如果只是單純的從正面給學生講解概念，學生可能會感覺到模糊，不能理解。為了能夠加深學生對所學的知識的理解，可以將抽象的東西，借助實物或者列舉反例，通過比較直觀的角度，提高他們的判斷能力，并且通過舉反例，也能十分簡潔的識別出錯誤，從而提高學習的效率。構造反例，可以讓學生加強思維訓練，慢慢培養(yǎng)出實事求是的優(yōu)良學風。而且，常常能產生正確的解題技巧。

（5）反例能幫助學生否定謬論，糾正錯誤

學生在學習的過程中，經(jīng)常會碰到一些通過類比推廣，或者憑主觀的想象得出的錯誤結論，并去應用它們，對于此類錯誤，如果能夠運用反例加以否定，更容易讓學生接受，并信服，也能夠加強學生對此類命題的印象。要說明一個結論的成立，需要很多的證明和正彌漫的論述，而想要推翻一個結論，只需要舉出一個反例，便可以得出答案。

（6）善于利用反例能幫助學生進行研究性的學習

學生認知的最大的特點就是直覺思維，它多以猜測為主。但是數(shù)學是非常嚴謹?shù)膶W科，猜測到的偶然性是不可以代表驗證的必然性的。所以，教師需要引導學生進行科學的例證和推理。反例往往是推翻錯誤的命題最有效手段，從而進行研究性的學習。

（7）一些注意事項

在運用反例證明一些論題的時候，需要認真細致地去審題，如果發(fā)現(xiàn)和結論互相矛盾的方面有不止一種情況的時候，必須一一的去否定，不可以有任何的遺漏。還有在數(shù)學證明中，用到反例法證明命題的時候，并非從一開始就全部需要用到反證法，有時反證法只出現(xiàn)在一部分當中。

2．如何將構造反例這一方法廣泛應用

許多學生在初次接觸反證法時，認為它無課本可尋，會產生一種排斥的心理，加上剛開始學習反證法，例題也不多，需要用到的地方可能也很少，所以會忽略，不夠重視。然而，反證法卻是一種非常重要的證明方法，也是非常普遍的思維方式，比如筷子是直的，可是我們將它放入水中在看，我們會發(fā)現(xiàn)它變彎曲了，雖然是因為物理現(xiàn)象中的光在水中的折射導致的，但是它卻并不是真實的。通過這個例子，我們應該知道無論是從數(shù)學能力上的培養(yǎng)來說，還是從社會公民所必要的文化素質來看，學習反證法都是非常重要的。

三、總結

反例在數(shù)學研究及數(shù)學教學中有其重要的地位和作用，若能在教學中充分發(fā)揮反例的作用，對于提高教學質量，對于培養(yǎng)學生的數(shù)學能力和提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，都是非常有幫助的。構造反例也需要發(fā)揮想象力和創(chuàng)造性。鼓勵學生著眼于發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新，自己提出問題，自己解決問題，這樣就能使構造和運用反例得到用武之地。不僅學習會深入得多，而且也能逐漸的培養(yǎng)學生開展數(shù)學研究的能力。

參考文獻：

［1］龔升.簡明微積分.人民教育出版社.1979

［2］張筑生.數(shù)學分析新講.北京大學出版社.1989