劉德民　侯江霞（新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830046）

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直觀性教學(xué)法在最優(yōu)化課程中的應(yīng)用案例

劉德民侯江霞
（新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830046）

一、最優(yōu)化課程的教學(xué)特點(diǎn)和直觀性教學(xué)法的必要性

最優(yōu)化是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要研究目標(biāo)函數(shù)在某個(gè)集合上取極值的理論和算法，它有著悠久的研究歷史。伴隨著現(xiàn)代化科學(xué)與技術(shù)的進(jìn)步，最優(yōu)化的理論和算法已經(jīng)在工程和科學(xué)研究的方方面面得到了發(fā)展和應(yīng)用，發(fā)揮其越來越大的作用。例如，在航空航天科學(xué)科，翼型的最優(yōu)氣動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)與飛行器的最佳飛行軌跡；在經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)科，股票或商品的最優(yōu)定價(jià)及物流配送最優(yōu)路徑問題；在石油天然氣工業(yè)領(lǐng)域，油氣輸送的最優(yōu)管道設(shè)計(jì)及復(fù)雜巖性儲(chǔ)集層測井的最優(yōu)評(píng)價(jià)等。

最優(yōu)化課程具有如下基本特點(diǎn)：

1.內(nèi)容跨度大，需要基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)。最優(yōu)化理論和算法的來源背景豐富，研究方法多樣，因此需要在高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、大學(xué)物理，數(shù)學(xué)模型以及泛函分析等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程及程序設(shè)計(jì)等計(jì)算機(jī)課程的基礎(chǔ)上予以展開，所以開設(shè)這門課程之前不僅要求學(xué)生具備很好的數(shù)學(xué)分析和解析求解的能力，還需要具有很好的算法設(shè)計(jì)和程序研制能力。

2.內(nèi)容多，學(xué)時(shí)少。最優(yōu)化課程主要講授線性規(guī)劃的單純形方法及對(duì)偶原理，線性與非線性規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件，一維搜索，使用導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)化方法（如最速下降法，共軛梯度法等）、懲罰函數(shù)法、二次規(guī)劃、組合優(yōu)化、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃等內(nèi)容。通常這門課安排一學(xué)期講完，每周四節(jié)，其中三節(jié)理論課，一節(jié)實(shí)驗(yàn)課。加之要提前給學(xué)生講解程序設(shè)計(jì)的相關(guān)內(nèi)容，因此理論課的時(shí)間比較少，而實(shí)驗(yàn)課也很難有好的授課效果。

3.數(shù)學(xué)理論豐富，算法眾多。由于最優(yōu)化課程內(nèi)容龐雜，而每部分都有各自的數(shù)學(xué)理論知識(shí)和算法，因此最優(yōu)化課程涉及到的理論非常豐富，算法非常眾多。從離散數(shù)學(xué)到連續(xù)數(shù)學(xué)、從靜態(tài)標(biāo)規(guī)劃到動(dòng)態(tài)規(guī)劃、從線性規(guī)劃到非線性規(guī)劃、從單目標(biāo)規(guī)劃到多目標(biāo)規(guī)劃等等。

4.直觀性需求高。最優(yōu)化課程中有很多概念和定理都很理論化，缺乏直觀性，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)往往是被動(dòng)的接收，機(jī)械的記憶，并不能很好的理解。由于最優(yōu)化課程自身的特點(diǎn)，需要結(jié)合現(xiàn)代化的教學(xué)和多媒體手段，豐富與充實(shí)教學(xué)內(nèi)容，加強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容直觀性的研究和實(shí)現(xiàn)。如果能采用更為直觀的方式將這些內(nèi)容展現(xiàn)給學(xué)生，將會(huì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，改善教學(xué)效果?；谧顑?yōu)化課程的如上特點(diǎn)，直觀性教學(xué)法在最優(yōu)化課程中的應(yīng)用非常有必要。直觀性教學(xué)法是指在直觀性的教學(xué)原則和教學(xué)手段下的課程講授。直觀性教學(xué)法在最優(yōu)化課程中的應(yīng)用，是指結(jié)合最優(yōu)化課程的自身特點(diǎn)，在直觀性的教學(xué)原則下，采用不同的直觀性教學(xué)手段，提高學(xué)生對(duì)抽象理論與具體問題之間的認(rèn)識(shí)，增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)值分析課程基本理論的理解，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，改善教學(xué)效果。

二、最優(yōu)化課程中直觀性教學(xué)法案例

在最優(yōu)化課程的講授過程中可以采用多種直觀性的教學(xué)手段來改善和提高教學(xué)效果。例如在講解線性規(guī)劃時(shí)，可以采用通常的表格形式[1]；講解具體算法時(shí)可以采用流程圖和程序代碼演示等直觀形式[2]等。作為案例這里再考慮幾類直觀性方法。

（一）語言直觀

語言直觀主要是指教師在教學(xué)過程中對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念或定理用形象的語言進(jìn)行闡釋，使學(xué)生獲得直觀感受的一種直觀教學(xué)方法。

例如在講解到線性規(guī)劃的對(duì)偶定理時(shí)講到：“若原問題和對(duì)偶問題中有一個(gè)問題存在最優(yōu)解，則另一問題也存在最優(yōu)解，且兩個(gè)問題的目標(biāo)函數(shù)值相等”。對(duì)該定理的證明可以采用多種方法，如凸集分離定理等[1]，往往比較抽象。為此我們以買家和賣家分別為研究對(duì)象可以得到一對(duì)對(duì)偶問題，買家想要花費(fèi)最少的錢獲得商品，而賣家想要賺取最大利潤。顯然如果買賣能夠達(dá)成，也即存在最優(yōu)解，則買家花費(fèi)的錢和賣家獲得利潤是相等的，也即原問題和對(duì)偶問題的目標(biāo)函數(shù)值相等。通過這樣一個(gè)實(shí)例，相信學(xué)生會(huì)對(duì)該定理記憶深刻。

（二）圖形直觀

圖形的優(yōu)點(diǎn)是它所反映的信息簡潔、直觀、豐富，便于理解問題。例如在講到針對(duì)單峰函數(shù)的一維無約束極值問題的黃金分割法時(shí)，當(dāng)確定了第k次迭代區(qū)間為[ak,bk],k=0,1,…后，需要插入兩個(gè)試探點(diǎn)姿資,滋k綴[akbk]，姿資約滋k通過判定姿k,滋k,處的函數(shù)取值，按照規(guī)則若f(姿k)躍f(滋k)，則ak+1=姿資，bk+1=bk；否則ak+1=ak,bk+1=滋k，可以確定下一次迭代區(qū)間[ak+1,bk+1]，這里要求如下兩個(gè)條件成立：

其中參數(shù)0約a約1為待定參數(shù)。通過求解（1），（2）兩式，可以得到

事實(shí)上，要通過（1），（2）兩式得到姿資,滋k的表達(dá)式（3）和（4）是比較麻煩的。根據(jù)黃金分割法的算法過程，可以做出黃金分割法示意圖，由該圖知道（3）和（4）兩式顯然成立。

黃金分割法示意圖

（三）公式直觀

公式直觀是指教師借助公式的具體形式，簡潔而直觀的表現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的把握和理解。例如在講解共軛梯度法時(shí)，首先是針對(duì)二次凸函數(shù)的FR共軛梯度法，這里求解的問題為：

其中x=(x1,x2…,xn)綴R，A是對(duì)稱正定矩陣。這里對(duì)矩陣A對(duì)稱正定的要求從何而來？我們可以給出如下直觀性的解釋。

首先考慮對(duì)矩陣A的對(duì)稱性要求，即A=AT。通過對(duì)目標(biāo)函數(shù)f(x)求梯度，可以得到

由此按照極值的必要條件可得，若x*為目標(biāo)函數(shù)f(x)的極小點(diǎn)，則滿足成立。因此若矩陣A滿足對(duì)稱性要求，則根據(jù)（7）式知此時(shí)x*滿足線性代數(shù)方程組Ax*+b=0。

關(guān)于對(duì)矩陣A的正定性要求可以如下解釋：一方面從理論上來看這是函數(shù)f(x)極值存在的充分性條件要求之一，另一方面結(jié)合對(duì)矩陣A的對(duì)稱性要求可知，此時(shí)矩陣A的特征值全為正，且存在正交陣P=(P1,P2,…，Pn)，使得P-1AP=PTAP=撰成立，其中矩陣A是由矩陣A的特征值姿1,姿2,…，姿n所構(gòu)成的對(duì)角陣，PiTPj=啄ij,i= 1,2,…,n。由于A=P撰PT成立，如果做正交線性變換y=PTx，即x=Py，也即將x看做由pi,i=1,2,…，n，為標(biāo)架所生成的直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)，并令=bTP，則易得

注意到確定一個(gè)矩陣的特征向量同樣是非常困難的，因此上面的理論并不適合于數(shù)值計(jì)算。為了克服這個(gè)困難，引入一組關(guān)于對(duì)稱正定矩陣A共軛的向量組qi,i=1,2,…,n，它們是線性無關(guān)的，且滿足當(dāng)i屹j,i,j=1,2,…,n時(shí)成立qiTAqj=0，同時(shí)當(dāng)i=1,2,…,n時(shí)成立qiTAqj躍0。進(jìn)一步令匝=(q1,q2,…,qn)，并作仿射變換x=匝z，該變換的幾何意義是將x看做由qi,i=1,2,…,n所生成的仿射標(biāo)架下的點(diǎn)，通過簡單地計(jì)算可得，

同樣是將原目標(biāo)函數(shù)f (x)的極小值問題轉(zhuǎn)化為n個(gè)獨(dú)立的或分離變量的目標(biāo)函數(shù)fi(zi)的極小值問題。注意到此時(shí)共軛向量組qi,i=1,2,…,n的選取容易的多，從而非常便于數(shù)值計(jì)算。比較公式（8），（9）可知，通過直角坐標(biāo)變換或者仿射坐標(biāo)變換均可使得原始的目標(biāo)函數(shù)變換為變量分離形式，且不論哪種變換，都至多需要n步即可求得極值，該結(jié)論正是課本中這部分內(nèi)容的主要定理和結(jié)論[1]，通常采用數(shù)學(xué)歸納法證明，缺乏直觀性理解。

三、結(jié)束語

本文結(jié)合作者在最優(yōu)化課程教學(xué)中的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，討論了直觀性教學(xué)法在最優(yōu)化課程中應(yīng)用的必要性，并給出了直觀性教學(xué)法的具體案例。教學(xué)實(shí)踐表明直觀性教學(xué)法可以提升學(xué)生學(xué)習(xí)最優(yōu)化課程的興趣、增進(jìn)學(xué)生對(duì)最優(yōu)化課程中抽象理論的理解，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效果。

參考文獻(xiàn)

[1]陳寶林.最優(yōu)化理論與算法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009. [2]施光燕.最優(yōu)化方法[M].北京：高等教育出版社，2009.

摘要：通過歸納最優(yōu)化課程的基本特點(diǎn)，分析了直觀性教學(xué)法在最優(yōu)化課程中應(yīng)用的必要性。借助具體的教學(xué)案例，演示了語言直觀、圖形直觀與公式直觀在最優(yōu)化課程講授時(shí)的具體實(shí)施。教學(xué)實(shí)踐表明適當(dāng)?shù)闹庇^性教學(xué)可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)抽象理論的理解，從而改善教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)化；直觀性教學(xué)法；教學(xué)案例

侯江霞，單位：新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院。

Abstract:By generalizing the features of optimization course, this paper analyzes the necessity of the application of the intuitive teaching method in optimization course. Through the specific teaching cases, the paper demonstrates the implementation of intuitionist teaching aids, such as the language intuition, intuition of graph, and formula intu-ition. Teaching practices have shown that the intuitive teaching method can effectively promote students' understand-ing of the abstract theory and enhance the teaching effects.

Keywords:optimization; intuitionist teaching method; teaching case

作者簡介：劉德民，單位：新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院。

中圖分類號(hào)：G642

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2096-000X（2016）02-0085-02