☉江蘇省南通市通州區(qū)興仁中學(xué) 張玉萍

把問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)
——由曹才翰先生的一篇評(píng)課文獻(xiàn)說起

☉江蘇省南通市通州區(qū)興仁中學(xué) 張玉萍

課堂導(dǎo)入的情境設(shè)置是教學(xué)研究的經(jīng)典課題，研究相關(guān)課題的理論文獻(xiàn)、案例文獻(xiàn)十分豐富，特別是本世紀(jì)之初“課改”影響了課堂導(dǎo)入情境的研究風(fēng)向，過分追求生活現(xiàn)實(shí)的引入新課方式，而輕視基于數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的動(dòng)力即數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的引入新課方式，這是值得我們警惕的.適逢研讀人民教育出版社在2005年推出的一批數(shù)學(xué)教育文選，筆者關(guān)注到上個(gè)世紀(jì)一些課例研究的專家評(píng)課意見，本文就從曹才翰先生評(píng)說“同底數(shù)冪的乘法”說起，闡述對(duì)“把問題作為教學(xué)出發(fā)點(diǎn)”的一些教學(xué)認(rèn)識(shí).

一、由曹才翰先生的評(píng)課說起

近讀《曹才翰數(shù)學(xué)教育文選》（見文1），關(guān)注到曹才翰先生在上個(gè)世紀(jì)90年代初的一篇評(píng)述“同底數(shù)冪的乘法”觀摩課的文獻(xiàn)，曹先生首先概述了該課的五個(gè)環(huán)節(jié).

（1）把問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)；

（2）指導(dǎo)學(xué)生開展嘗試活動(dòng)；

（3）組織變式訓(xùn)練，提高訓(xùn)練效率；

（4）歸納結(jié)論，納入知識(shí)系統(tǒng)；

（5）根據(jù)教學(xué)目標(biāo)分類細(xì)目，及時(shí)回授調(diào)節(jié).

然后就教學(xué)目標(biāo)的制定、“提出問題、創(chuàng)設(shè)情境”、“在試探和議論中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)”、“通過變式練習(xí)促進(jìn)深化”、“把新知識(shí)納入整體結(jié)構(gòu)中去”展開詳細(xì)評(píng)說，讀來深受教益，盡管時(shí)光流逝20多年，然而該文中的諸多觀點(diǎn)與當(dāng)下數(shù)學(xué)教育“繞彎彎”還是不謀而合的.

比如，曹先生對(duì)“同底數(shù)冪的乘法”開課時(shí)教者提出“如何計(jì)算2x3·3x2”這樣的問題表示了肯定，認(rèn)為這是把問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，通過提出一些具有挑戰(zhàn)性的問題或富有思考性的問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn).使得開課階段學(xué)生的思維就有了出發(fā)點(diǎn)，有問題才會(huì)思考.而且這道計(jì)算問題與后面單項(xiàng)式乘法聯(lián)系在一起，是整式乘法運(yùn)算中的一個(gè)環(huán)節(jié).并認(rèn)為就法則論法則，是比較孤立的.事實(shí)上，當(dāng)前不少版本的教材正是這種孤立的情境創(chuàng)設(shè)方法，比如，某版本教材八年級(jí)上冊(cè)第95頁，關(guān)于同底數(shù)冪的引入問題：

問題：一種電子計(jì)算機(jī)每秒可進(jìn)行1千萬億（1015）次運(yùn)算，它工作103s可進(jìn)行多少次運(yùn)算？

教材安排：先讓學(xué)生列式1015×103，根據(jù)乘方的意義，計(jì)算出1018.借此情境引出同底數(shù)冪的乘法法則.

問題“如何計(jì)算2x3·3x2”直接引入，簡(jiǎn)約自然，而且問題開放，學(xué)生可能會(huì)有各種不同的回答，為教師靈活駕馭課堂、有效追問、引導(dǎo)到冪的運(yùn)算法則提供了可能.正如曹先生所評(píng)說的，這種問題引入課堂的方式，學(xué)生的思維是開放的，根據(jù)自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)猜想解答，而不像有些教學(xué)預(yù)設(shè)，都是設(shè)好圈套讓學(xué)生鉆.

二、我們需要什么樣的“問題”來作為教學(xué)出發(fā)點(diǎn)

讓我們稍作辨析，“把問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)”中的問題究竟是怎樣的“問題”.這個(gè)概念如果沒有澄清，很容易將不同的“情境問題”混為一談，也就是《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中所指出的要兼顧生活現(xiàn)實(shí)問題、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)問題、其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)問題.在曹先生的評(píng)課意見中，他沒有直接解答應(yīng)該提哪種類型的問題，其時(shí)生活現(xiàn)實(shí)問題還沒有像21世紀(jì)之初那樣盛行一時(shí)，故曹先生只是說“提出一些具有挑戰(zhàn)性的問題或富于思考性的問題作為教學(xué)出發(fā)點(diǎn)”，特別是像“同底數(shù)冪的乘法”這節(jié)課的內(nèi)容，就比較適合“從一些具體數(shù)學(xué)例子引入并歸納法則”.以下我們就分別列舉數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)問題、生活現(xiàn)實(shí)問題作為新課導(dǎo)入的情境設(shè)置研討.

1.更加重視數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)問題引入新課

由于21世紀(jì)之初的“課改”浪潮，強(qiáng)勢(shì)“引領(lǐng)”生活問題聯(lián)系數(shù)學(xué)新知，讓數(shù)學(xué)更“有用”，更有“生活味”，隨之改版的各種教材積極跟進(jìn)，幾乎在每個(gè)新知出現(xiàn)時(shí)都會(huì)以一個(gè)生活現(xiàn)實(shí)問題作為開課情境，比如，上文中提到的冪的運(yùn)算性質(zhì)用計(jì)算機(jī)的運(yùn)算引入，再如平方根運(yùn)算用正方形桌布的面積求邊長(zhǎng)，直線和圓的位置關(guān)系用一輪旭日初升的美妙國(guó)畫或油畫引入新課，等等，諸如此類，讓原來邏輯連貫、前后一致的數(shù)學(xué)知識(shí)變得支離破碎，比較孤立，沒有能“把新知識(shí)納入整體結(jié)構(gòu)中去”（曹才翰語）.我們欣喜地看到，全國(guó)著名特級(jí)教師李庾南老師近年來的課例（具體可參閱《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）大量的李庾南老師課例賞析文獻(xiàn)），多是返璞歸真，重視數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)和引入新課.比如，李老師講四邊形，是從三角形的定義出發(fā)，研究四邊形的定義；李老師講平方根，就舍棄了教材上的生活情境，而是從乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算出發(fā)，定義了開方運(yùn)算和方根的概念.此外，華東師大張奠宙教授近年來倡導(dǎo)的“超經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)”也要求我們重視數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)問題，兩位古稀之年的教育專家的實(shí)踐和言說，值得我們這些后人傾聽和重視.

2.恰當(dāng)?shù)纳瞵F(xiàn)實(shí)問題可驅(qū)動(dòng)新課

數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)于生活.對(duì)不少數(shù)學(xué)新概念的引入確實(shí)需要關(guān)注生活現(xiàn)實(shí).比如，函數(shù)概念的抽象與引入，方程與應(yīng)用問題的講解，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等，都要精選恰當(dāng)?shù)纳瞵F(xiàn)實(shí)問題作為教學(xué)起點(diǎn).同樣以李庾南老師的課例來說，李老師在教學(xué)等式性質(zhì)時(shí)，就充分重視生活現(xiàn)實(shí)問題的選用，她曾選用三道情境問題，先安排學(xué)生列出方程，然后引導(dǎo)學(xué)生思考這些方程如何求解，有些學(xué)生估算出方程的解之后，李老師追問他們依據(jù)，“逼”著學(xué)生回答出等式性質(zhì)，這樣等式性質(zhì)就自然而然地從學(xué)生的嘴中“跑”出來，學(xué)生在小學(xué)五年級(jí)上學(xué)期所學(xué)過的等式性質(zhì)就自然地納入到方程與解方程這一整體結(jié)構(gòu)中去了.而且在整節(jié)課教學(xué)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)際問題、抽象后列出方程、解方程、回到實(shí)際問題的解，并知道了本節(jié)課所學(xué)的等式性質(zhì)是解方程的重要依據(jù).這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)合理，情境恰當(dāng)，安排科學(xué)，充分調(diào)動(dòng)了所有學(xué)生的思維參與.

再比如，勾股定理起始課教學(xué)時(shí)，我們注意到江蘇海安劉東升老師在文2就沒有使用教材上“相傳畢哥拉斯在朋友家作客，對(duì)地面磚發(fā)生了興趣，發(fā)現(xiàn)了畢達(dá)哥拉斯定理及證明……”的偽情境引入，而是基于數(shù)學(xué)史考古發(fā)現(xiàn)，設(shè)計(jì)了古埃及人是如何結(jié)繩圍出直角三角形的這樣的情境問題，讓這一問題驅(qū)動(dòng)整個(gè)勾股定理的發(fā)現(xiàn)、證明，并有效關(guān)聯(lián)了勾股定理的逆定理.這些生活情境有數(shù)學(xué)味，能引起學(xué)生興趣，使其思維參與其中，是值得關(guān)注的.

三、教學(xué)出發(fā)點(diǎn)的“問題”如何關(guān)聯(lián)前后

1.在“知識(shí)鏈”上選擇貫穿始終的問題情境

所謂“知識(shí)鏈”，比如數(shù)、式一條主線下的諸多知識(shí)鏈接在一起.比如，在小學(xué)階段就學(xué)習(xí)過的行程問題，用算術(shù)方法解答，到了七年級(jí)整式加減學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)出現(xiàn)，到了一元一次方程學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)有行程問題的背景，到了八年級(jí)學(xué)習(xí)函數(shù)還會(huì)關(guān)注行程問題，于是行程問題就可看成是一條知識(shí)鏈上的問題情境.再比如，圍長(zhǎng)方形問題，這在小學(xué)算術(shù)就有體現(xiàn)，用定長(zhǎng)的繩子圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，當(dāng)長(zhǎng)取一個(gè)值時(shí)求寬，或求面積；七年級(jí)學(xué)習(xí)時(shí)可以設(shè)長(zhǎng)為x，用含x的式子表示寬或周長(zhǎng)，到八年級(jí)學(xué)習(xí)時(shí)可以從函數(shù)角度研究它們的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，并引入函數(shù)概念，到九年級(jí)還會(huì)思考“定長(zhǎng)線段圍成四邊形中以正方形的面積最大”的道理所在.

2.所選“問題”的解答有多樣化的處理方式

我們知道，不少生活問題、數(shù)學(xué)問題都有多樣化的求解方式、理解方式，特別是有些生活情境問題既可以用算術(shù)方法解答，又可以用方程處理，還能從函數(shù)角度來解釋，比如大家熟悉的雞兔同籠問題，勾股定理的不同證明思路，行程問題等.這些問題如果能挑選出來，就可以成為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn).再比如，直角三角形斜邊上的中線，在初學(xué)三角形時(shí)同學(xué)們就可以用度量、猜想的方法發(fā)現(xiàn)該中線的性質(zhì)，但理由卻說不清楚，到了全等三角形時(shí)，可以通過“倍長(zhǎng)中線”實(shí)現(xiàn)問題的證明，到矩形學(xué)習(xí)時(shí)，我們將其納入矩形的性質(zhì)中可以發(fā)現(xiàn)它們的一致，一直到九年級(jí)學(xué)習(xí)圓時(shí)，涉及圓周角定理的推論（直徑所對(duì)的圓周角為直角），學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)原來不同的數(shù)學(xué)知識(shí)可以把有些性質(zhì)有機(jī)統(tǒng)一起來，數(shù)學(xué)的奇異、和諧與一致，也可見一斑.

四、寫在后面

北師大數(shù)學(xué)教育家鐘善基教授在文1序言中曾提及，1980年全國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革大型座談上，對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)教改問題取得一些共識(shí)，應(yīng)按“求簡(jiǎn)（原傳統(tǒng)內(nèi)容）”“滲透（現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想）”“增加（學(xué)生能接受的近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容）”的原則進(jìn)行改革，在教學(xué)上應(yīng)充分培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的能力，發(fā)展學(xué)生的思維能力為培養(yǎng)能力的核心.時(shí)光過去30多年了，我們對(duì)前輩數(shù)學(xué)教育家們的教改共識(shí)踐行得如何呢？這實(shí)在值得我們?cè)趯?shí)踐中不斷反思和追問.

1.曹才翰.曹才翰數(shù)學(xué)教育文選［M］.北京：人民教育出版社，2005.

2.劉東升.基于HPM視角重構(gòu)——“勾股定理”起始課［J］.教育研究與評(píng)論·課堂觀察，2016（1）.Z