☉南師大附中新城初中　何君青

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生動(dòng)的課堂就應(yīng)有“火熱的思考”
——以一節(jié)“平面圖形的密鋪”實(shí)驗(yàn)課為例

☉南師大附中新城初中何君青

《新課標(biāo)》（2011年版）明確指出：“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).”近幾年，針對(duì)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的研究越來(lái)越受到重視，江蘇省還專門在每學(xué)期增加了一本《數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》，旨在通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生享受完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，于是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課成為了江蘇省初中數(shù)學(xué)常態(tài)的教學(xué)行為.2016年3月22日，南京市教研室組織了“南京市初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)培訓(xùn)”活動(dòng)，邀請(qǐng)各區(qū)縣骨干教師參與，筆者作為受邀者親身經(jīng)歷了全過(guò)程，感悟頗深，故撰文與同行交流.

一、對(duì)初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的認(rèn)識(shí)

從概念上看，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)同物理實(shí)驗(yàn)、化學(xué)實(shí)驗(yàn)、生物實(shí)驗(yàn)一樣同屬于科學(xué)實(shí)驗(yàn)的范疇，本身具有科學(xué)實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn)，但又有所不同，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，以“做”為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動(dòng)方式，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具，通過(guò)具體操作在認(rèn)知和非認(rèn)知因素參與下，進(jìn)行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識(shí)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想的數(shù)學(xué)探索活動(dòng).

從認(rèn)知上看，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，初中生大多喜歡動(dòng)手操作，喜歡數(shù)學(xué)中具有挑戰(zhàn)性、新穎性、開放性的問(wèn)題.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不是學(xué)生被動(dòng)地接受課本上的或老師敘述的現(xiàn)成結(jié)論，而是學(xué)生從自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，通過(guò)自己動(dòng)手、動(dòng)腦，用觀察、模仿、實(shí)驗(yàn)、猜想等手段獲得經(jīng)驗(yàn)，逐步建構(gòu)并發(fā)展自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的活動(dòng)過(guò)程.

從內(nèi)涵上看，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的核心是手腦并用、啟思明理，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的理念是“做”數(shù)學(xué)，讓學(xué)生享受完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的形態(tài)是以“做”為支架的教與學(xué)的活動(dòng)方式.

從操作上看，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一個(gè)環(huán)節(jié)，不是整個(gè)教學(xué)過(guò)程，實(shí)驗(yàn)不能代替邏輯推理證明，而是利用工具通過(guò)具體操作來(lái)完成的，它需要教師的引導(dǎo)與啟發(fā)，需要教師有意識(shí)的設(shè)計(jì)，需要預(yù)設(shè)實(shí)驗(yàn)的目標(biāo).很多教師認(rèn)為平時(shí)數(shù)學(xué)課的課時(shí)就很緊張，若一學(xué)期開設(shè)多節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，正常的教學(xué)進(jìn)度能完成嗎？事實(shí)上，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課授課時(shí)教師并不一定要完整地上滿一節(jié)課，可以作為片段合理地插入平時(shí)的教學(xué)中，既讓學(xué)生動(dòng)手操作，又讓學(xué)生更清晰、直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論.

二、初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的實(shí)踐過(guò)程

此次活動(dòng)，一位女教師開設(shè)了“平面圖形的密鋪”研究課，教師嫻熟的教學(xué)基本功和課堂駕馭能力給筆者留下了深刻的印象，這節(jié)課的大致授課流程和筆者對(duì)每個(gè)環(huán)節(jié)的思考如下.

環(huán)節(jié)1：生活與數(shù)學(xué)

欣賞水立方的“密鋪”過(guò)程.（視屏展示）

評(píng)析：生活離不開數(shù)學(xué)，生活中處處有數(shù)學(xué)，此處從學(xué)生生活中的背景出發(fā)，以北京水立方的外立面的密鋪引入課題，生動(dòng)而自然，消除剛上課的不適應(yīng)感，強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)世界，將現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，從而用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法處理解決，可謂用心良苦.

環(huán)節(jié)2：觀察與嘗試

嘗試選用一種或幾種平面圖形進(jìn)行密鋪.（學(xué)生動(dòng)手嘗試）

評(píng)析：用形狀和大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，使圖形之間沒(méi)有空隙、也沒(méi)有重疊地鋪成一片，叫作平面圖形的密鋪.在此概念教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確、到位地讓學(xué)生理解，教師不妨舉幾個(gè)例子或展示幾張圖片給學(xué)生看，若學(xué)生一開始就對(duì)概念理解的不夠透徹必將影響到后面的學(xué)習(xí).筆者覺得此處教師的處理應(yīng)再加斟酌，因?yàn)閺男问缴峡创谁h(huán)節(jié)與下一個(gè)環(huán)節(jié)有雷同之處，略顯多余，若保留此環(huán)節(jié)，那么環(huán)節(jié)3就應(yīng)當(dāng)加以改變，環(huán)節(jié)2后便可以直接展示學(xué)生作品，繼而問(wèn)學(xué)生“你是用怎樣的正多邊形進(jìn)行密鋪的”，讓學(xué)生自主構(gòu)建出環(huán)節(jié)3的各個(gè)活動(dòng)，倘若學(xué)生的拼圖不全，教師再加以引導(dǎo)，將環(huán)節(jié)3完整的展示.

環(huán)節(jié)3：操作與交流

活動(dòng)1：選擇一種形狀、大小完全相同的正多邊形進(jìn)行密鋪.

活動(dòng)2：從邊長(zhǎng)相等的等邊三角形、正方形、正六邊形和正八邊形中選出兩種合適的正多邊形進(jìn)行密鋪.

活動(dòng)3：用形狀、大小完全相同的任意三角形進(jìn)行密鋪；用形狀、大小完全相同的任意四邊形進(jìn)行密鋪.

評(píng)析：此環(huán)節(jié)一步一個(gè)腳印，難度逐步上升，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.首先選擇一種形狀、大小完全相同的正多邊形進(jìn)行密鋪，展示作品后讓學(xué)生思考、交流，歸納出密鋪的原理：若選擇同一種正多邊形進(jìn)行密鋪，在一個(gè)拼接點(diǎn)處有n個(gè)角，這些角的和應(yīng)為360°，之后從邊長(zhǎng)相等的等邊三角形、正方形、正六邊形和正八邊形中選出兩種合適的正多邊形進(jìn)行密鋪，從一種圖形上升到兩種圖形，難度上升，從特殊到一般，將結(jié)論進(jìn)行推廣：若平面圖形能夠進(jìn)行密鋪，則在一個(gè)拼接點(diǎn)處的所有角的和應(yīng)為360°，最后更為一般，用形狀、大小完全相同的任意三角形或任意四邊形進(jìn)行密鋪，再一次驗(yàn)證了密鋪的原理.此活動(dòng)雖為老師設(shè)計(jì)，但仍然可以讓學(xué)生體會(huì)到研究問(wèn)題從特殊到一般、從易到難的研究過(guò)程，學(xué)生在動(dòng)手操作的同時(shí)，歸納結(jié)論，動(dòng)腦思考，自己歸納出相應(yīng)的結(jié)論，效果比老師講授的知識(shí)要印象深刻的多，這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的模式值得推廣.

環(huán)節(jié)4：文化與欣賞

欣賞經(jīng)典的密鋪圖案，體會(huì)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.

評(píng)析：平面密鋪是數(shù)學(xué)之美中典型的例子，體現(xiàn)了直觀之美.此環(huán)節(jié)老師展示了很多生活中的圖片，以及世界各國(guó)數(shù)學(xué)家對(duì)某些多邊形密鋪的研究，滲透了濃厚的數(shù)學(xué)文化色彩，更激發(fā)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的動(dòng)力.

環(huán)節(jié)5：歸納與思考

對(duì)密鋪的再認(rèn)識(shí)，對(duì)研究方法的再思考.

評(píng)析：一節(jié)課的點(diǎn)睛之筆不能忽視，筆者一直認(rèn)為一節(jié)課的最終目的是用課堂上學(xué)到的知識(shí)、習(xí)得的方法、感悟的思想解決更多類似的、不同的問(wèn)題，達(dá)到經(jīng)驗(yàn)的遷移、能力的提升，從而學(xué)以致用、學(xué)有所用.此環(huán)節(jié)教師問(wèn)：“你還有想研究的問(wèn)題嗎？”讓學(xué)生主動(dòng)地提出問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，一名學(xué)生提出問(wèn)題：今天學(xué)習(xí)了平面圖形的密鋪，空間圖形能密鋪嗎？由于時(shí)間有限，教師并未能展開，也沒(méi)有讓更多的學(xué)生提出問(wèn)題，甚為可惜，若能帶著學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，便是對(duì)整堂課學(xué)習(xí)的一個(gè)提升.此處筆者建議：教師可以讓學(xué)生回家后思考為何選擇一種形狀、大小完全相同的正多邊形進(jìn)行密鋪時(shí)只有正三角形、正四邊形、正六邊形能滿足？這是在生動(dòng)的課堂后增添了火熱的思考，更錦上添花！

三、初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的思考

“平面圖形的密鋪”是一節(jié)典型的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課.本節(jié)課的目的是：經(jīng)歷觀察、操作、辨析的過(guò)程，認(rèn)識(shí)密鋪；在實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，理解密鋪的問(wèn)題與多邊形內(nèi)角和問(wèn)題的關(guān)聯(lián)性；用逐步積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高實(shí)踐能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.此節(jié)實(shí)驗(yàn)課所屬類型為實(shí)物驗(yàn)證型，即借助工具，研究數(shù)學(xué)問(wèn)題；發(fā)展指向?yàn)橥评砟芰?、幾何直觀，這是新課標(biāo)中重要的核心詞.在授課中，一般的教師都通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手拼圖、交流探索得到結(jié)論，從而歸納密鋪的原理，很少有教師能讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度再審視此節(jié)課的內(nèi)涵，失去了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課啟迪學(xué)生智慧的作用，即使課堂上由于時(shí)間的關(guān)系不深入研究，也可以在課后讓學(xué)生“火熱”的思考，其實(shí)研究這些問(wèn)題對(duì)初中學(xué)生并不困難，當(dāng)學(xué)生通過(guò)研究后收獲了更多的數(shù)學(xué)結(jié)論，以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就更有信心了.

比如，選擇一種形狀、大小完全相同的正多邊形進(jìn)行密鋪為何只有正三角形、正四邊形或正六邊形呢？可以這樣解釋：

所以若只選用一種形狀、大小完全相同的正多邊形進(jìn)行密鋪必為正三角形、正四邊形或正六邊形.

這樣研究后相信學(xué)生對(duì)選用一種形狀、大小完全相同的正多邊形進(jìn)行密鋪會(huì)了解的更全面，也會(huì)更好的記住此結(jié)論.

再比如，從邊長(zhǎng)相等的等邊三角形、正方形、正六邊形和正八邊形中選出幾種合適的正多邊形進(jìn)行密鋪，是否會(huì)得到某些結(jié)論呢？

若3個(gè)正多邊形恰可以密鋪，不妨設(shè)這3個(gè)多邊形分別為正m邊形、正n邊形、正k邊形，則有化簡(jiǎn)可得，即

同理可得：若4個(gè)正多邊形恰可以密鋪，不妨設(shè)這4個(gè)多邊形分別為正m邊形、正n邊形、正k邊形、正p邊形，則有

以此類推，若5個(gè)正多邊形恰可以密鋪，不妨設(shè)這五個(gè)多邊形分別為正m邊形、正n邊形、正k邊形、正p邊形、正q邊形，則有

通過(guò)研究，若學(xué)生得到此結(jié)論，相信絕對(duì)有助于學(xué)生以后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不僅收獲了自信，還收獲了研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法.

四、初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的建議

1.生動(dòng)的課堂

心理學(xué)研究表明：課堂上，民主的教學(xué)氛圍，教師鼓勵(lì)學(xué)生的自主性，容許學(xué)生在自行探索中去發(fā)現(xiàn)知識(shí)，容許學(xué)生表達(dá)不同意見，學(xué)習(xí)活動(dòng)較為自由，這種教育環(huán)境，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性，所以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的做法正符合這些要求，值得推崇.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，學(xué)生更多的是自主參與，積極而主動(dòng)，極大地提高了課堂的效率.在教學(xué)過(guò)程中，課堂教學(xué)形式生動(dòng)，學(xué)生作為活動(dòng)的主體，手腦并用，以“做”為支架的活動(dòng)方式，有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識(shí)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想.

2.火熱的思考

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾提出：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課堂上，學(xué)生雖然真正地“動(dòng)”了起來(lái)、學(xué)習(xí)熱情高漲，但時(shí)間相當(dāng)有限，往往發(fā)現(xiàn)的都是較為淺顯的結(jié)論，并不能通過(guò)45分鐘發(fā)現(xiàn)更深的結(jié)論，所以要兼顧實(shí)際情況，在課后讓學(xué)生積極探索，繼續(xù)研究，觸發(fā)學(xué)生火熱的思考，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣也會(huì)大大提升，漸漸進(jìn)入一個(gè)良性循環(huán)的狀態(tài).H