☉陜西省三原縣南郊中學廉 萬朝
高中概念課教學中“問題導學”的案例研究
☉陜西省三原縣南郊中學廉萬朝
“數(shù)學概念反映了一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性,是具體性和抽象性的辯證統(tǒng)一,具有很強的系統(tǒng)性.[1]”《普通高中數(shù)學課程標準》中明確指出:“高中數(shù)學課程應該返璞歸真,努力揭示數(shù)學概念、法則、結(jié)論的發(fā)生、發(fā)展過程和本質(zhì).[2]”然而在教學實踐中,由于種種原因,部分教師對概念的形成過程重視程度不夠,認為數(shù)學概念就像是一種規(guī)定,只要把數(shù)學概念給學生解釋清楚,并通過舉例辨析,明確概念的外延,就算是對概念認識到位了.學生不能認識到概念的形成過程和本質(zhì)屬性,在應用數(shù)學概念時,只是死記硬背或套用,導致學生的數(shù)學能力和數(shù)學思想方法得不到相應的提高.本文旨在以典型案例,通過“問題導學”的方法揭示數(shù)學概念的形成過程,從而讓學生認識和領(lǐng)會其中的數(shù)學思想方法.
(一)形成性概念
形成性概念就是“同類事物的共同、關(guān)鍵屬性可以由學生從大量的同類事物的不同例證中發(fā)現(xiàn),[1]”從而形成概念.
案例1三角函數(shù)概念
問題1前面學習了角的概念的推廣,推廣后的角是如何定義的?它和初中所學的角有哪些不同?
意圖:讓學生復習推廣后的角的概念,即角的頂點放在坐標原點,角的始邊與x軸正半軸重合,然后讓角的終邊繞坐標原點旋轉(zhuǎn)所得到的幾何圖形.角可以分為正角、負角和零角,且終邊相同的角可以表示為{β|β=α+k· 360°,k∈Z}.
問題2依據(jù)初中所學的銳角三角函數(shù)概念及角的推廣,如果將銳角的頂點放在坐標原點,相鄰的直角邊放在x軸正半軸,那么銳角三角函數(shù)定義中的對邊、鄰邊、斜邊分別對應直角坐標系中的哪些量?用坐標系中的量又是怎樣定義銳角三角函數(shù)的?
意圖:將初中所學的銳角三角函數(shù)的定義解析化,用坐標系中的坐標表示對應的量,為三角函數(shù)的定義推廣做鋪墊.
問題3在銳角三角函數(shù)的定義中,取終邊上任意一點,得到三角函數(shù)值都不變,如果取終邊與單位圓的交點(在直角坐標系中,以坐標原點為圓心,以1為半徑的圓叫單位圓),又如何簡化三角函數(shù)的定義的?
意圖:用單位圓定義三角函數(shù),有利于三角函數(shù)定義的進一步推廣.
問題4如果將角的終邊繞坐標原點旋轉(zhuǎn),當角的終邊在第一象限時,它和銳角三角函數(shù)定義相吻合,當角是鈍角時,角的對邊、鄰邊不見了,說明用角的對邊、鄰邊等關(guān)系定義三角函數(shù)有一定局限性,用終邊與單位圓的交點坐標能否行得通?若行,又是如何定義的?
意圖:用角的終邊與單位圓交點的坐標定義鈍角三角函數(shù),抓住了問題的共性的、本質(zhì)的東西,體現(xiàn)從特殊到一般的思想.
問題5如果角的終邊在第三象限、第四象限,在y軸正半軸、負半軸,x軸正半軸,負半軸,其三角函數(shù)的定義是否都可以用終邊與單位圓交點坐標定義?若行,又是如何定義的?
意圖:得到角的終邊在各個位置的三角函數(shù)定義,為任意角的三角函數(shù)定義做鋪墊.
追問1按照上述方法,如果角的終邊相同,那么它的三角函數(shù)值相同嗎?
意圖:強調(diào)終邊相同的角的三角函數(shù)值相同.
追問2三角函數(shù)值的正負由哪些量決定?三角函數(shù)值隨著角的變化又是如何變化的?
意圖:得到三角函數(shù)值正負的判斷方法,三角函數(shù)值隨著角的變化規(guī)律,為三角函數(shù)線的得出做鋪墊.
問題6任意角三角函數(shù)應該如何定義?
意圖:任意角三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)值的符號、終邊相同的角的三角函數(shù)值相同以及三角函數(shù)值的變化規(guī)律便自然生成.
(二)歸納性概念
歸納性概念是該概念在學生大腦中已經(jīng)有了直觀的雛形,且只是直觀的感知,還沒有形成完整的數(shù)學概念,需要通過數(shù)學語言、符號語言準確地完善數(shù)學概念.
案例2函數(shù)單調(diào)性概念
問題1初中已經(jīng)學習過一次函數(shù)、反比例函數(shù)等,請同學們畫出一次函數(shù)y=x+1,反比例函數(shù)y=的圖像,觀察圖像說明圖像從左到右是如何變化的?
意圖:通過函數(shù)圖像,讓學生直觀認識函數(shù)是遞增的、遞減的圖像特征.
追問由描點法畫函數(shù)圖像的過程可知,由于自變量的變化才引起函數(shù)值的變化,函數(shù)圖像從左到右是上升的或者下降的,反映函數(shù)值隨著自變量的變化怎樣變化?
意圖:通過圖像直觀感知函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增大(或減?。┑倪^程.
問題2在x軸上,從左到右自變量在增大,如何用數(shù)學符號反映?
意圖:自變量x取兩個值x1、x2,當x1<x2時,表示自變量在增大.
問題3若自變量x在x1、x2處的函數(shù)值分別為f(x1)、f(x2),那么自變量在增大,引起函數(shù)值在增大(或減小),如何用數(shù)學符號表示?
意圖:當x1<x2時,則f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)).
追問由問題4可知,自變量取兩個值x1、x2,當x1<x2,則f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),并不能說明函數(shù)f(x)是遞增的(或遞減的),那么自變量x應該怎樣取值,才能保證滿足上述條件時,函數(shù)f(x)是遞增的(或遞減的)?
意圖:自變量的取值必須是區(qū)間內(nèi)的任意兩個數(shù).問題5結(jié)合上述問題的認識,你認為函數(shù)是遞增的(或者遞減的),需要抓住哪些關(guān)鍵因素?
意圖:遞增(或遞減)是針對定義域內(nèi)的某個區(qū)間;自變量x的取值必須是任意兩個數(shù)x1、x2;當x1<x2,則f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)).
問題6函數(shù)是遞增的、遞減的應該如何定義更準確?
意圖:在學生對增函數(shù)、減函數(shù)定義中的幾個關(guān)鍵因素的必要性認識清楚后,自然得到增函數(shù)、減函數(shù)的定義,而且在今后利用其定義在解決問題時,對其關(guān)鍵
追問有理數(shù)的四則運算法則在新的數(shù)集——實數(shù)集中能否還行得通?
意圖:在數(shù)集擴充過程中,原來的運算法則仍然適合,為引進新的數(shù)集做鋪墊.
問題4在實數(shù)集中,我們還有無法解決的問題,如x2=-1,那又該怎么辦?
意圖:讓學生自然想到必須引進新的符號才能解決這個問題,于是引進新的符號“i”,并規(guī)定i2=-1.
問題5按照數(shù)的擴充規(guī)律,在引進新的數(shù)以后,原有的四則運算法則仍然保持不變,那么i與實數(shù)2的運算都有哪些?這些運算能否用一個統(tǒng)一的、一般的形式表述?
意圖:2+i,2-i,2×i都可以用形如a+bi的形式表示,其中a,b∈R,但又怎么辦?
問題6類比分母有理化的方法,結(jié)合i2=-1,能否化為a+bi的形式?
意圖:得到復數(shù)的一般形式a+bi,a,b∈R.因素也就認識到位、應用到位了.
(三)演變性概念
演變性概念就是從低維到高維,從低級到高級的演變過程,是在事物發(fā)展過程中,由于新問題的出現(xiàn),而在原有知識的基礎(chǔ)上無法解決的問題,需要引進新的概念.
案例3復數(shù)的引入
問題1當初,人們?yōu)榱藬?shù)數(shù)的需求認識了自然數(shù),但在刻畫相反意義的量或解決諸如“3-5”這樣的計算時,所產(chǎn)生的矛盾是怎樣解決的?
意圖:引進負數(shù),并增加了新的符號“-”,從而將數(shù)擴充到整數(shù)集.
問題2有了整數(shù)集以后,為了解決2÷3的問題,又是怎么辦的?
意圖:引進分數(shù),還要引進一種新的符號——分數(shù)線或小數(shù)點.
問題3有了分數(shù)以后,數(shù)集從整數(shù)集擴充到了有理數(shù)集,但還有問題無法解決,如等腰直角三角形的直角邊長為1,其斜邊長是多少?又無法表示怎么辦?
新課程理念要求,課堂教學必須充分發(fā)揮學生的主體作用,讓學生在課堂上要充分思考、交流、討論,掌握知識的發(fā)生、發(fā)展過程,領(lǐng)會知識的本質(zhì)屬性.“問題導學”的教學設(shè)計正是基于這一點,通過設(shè)計相應的問題串,讓學生在認識問題、解決問題的過程中,掌握知識、培養(yǎng)能力、開發(fā)思維.