戴念祖

(中國科學院自然科學史研究所,北京 100190)

朱載堉的生平及其數(shù)學成就
——紀念朱載堉誕生480周年

戴念祖

(中國科學院自然科學史研究所,北京 100190)

王子朱載堉是明代數(shù)學家、音樂家。他的一生跌宕起伏：18年受難,14年著書立說,11年雕版印書,15年讓爵。他的數(shù)學成就有：求解幾何數(shù)列,不同進位的數(shù)字換算,珠算開方等。這些數(shù)學工作是他創(chuàng)建等程律的基礎(chǔ)。長期以來,某些西方音樂史家懷疑朱載堉的數(shù)學能力。文章重新評說朱載堉的數(shù)學成就及其與樂律的關(guān)系,以此紀念朱載堉誕生480周年。

朱載堉 幾何數(shù)列 珠算開方 等程律

隨著西方17、18世紀科學革命和工業(yè)革命的偉大成功,中國古代科學家及其科學成就鮮有能在這兩大革命之后而獨占鰲頭者。唯有明代王子朱載堉(1536～1611)所創(chuàng)建的十二等程律,迄今仍在音樂舞臺上熠熠生輝。正如文學家、語音學家劉半農(nóng)(1891～1934)所言,朱載堉的等程律“直到現(xiàn)在誰也不能推翻它、搖動它；他所用的算法,直到現(xiàn)在還是照樣去做；他算出來的數(shù)字,直到現(xiàn)在還是直抄了用”[1]。然而,近幾十年來,一些西方學者懷疑朱載堉的數(shù)學能力[2],中國數(shù)學史著作對其解幾何數(shù)列的數(shù)學成就似乎迄今未有稱贊者。本文就此作一通俗解說,明其道理,識其金玉,并以此紀念朱載堉誕生480周年。

1 朱載堉的生平

朱載堉是明朝開國皇帝朱元璋的九世孫。更直接一點,是明仁宗朱高熾的七世孫。仁宗長子朱瞻基襲帝位,是為宣宗；仁宗次子朱瞻峻賜“鄭王”?！巴酢笔蔷粑?“鄭”是封地、又稱“藩國”。鄭王藩國在懷慶府(今河南沁陽)?！班嵧酢眰髦寥首诹缹O朱厚烷(1518～1591),即朱載堉之父。朱載堉10歲(1545)冊封“世子”爵,人稱“王子”。論輩份,明神宗朱翊鈞(即萬歷帝,1573～1620年在位)稱朱載堉為“宗伯”。[3]

嘉靖帝醉迷道教,大興土木建齋醮,以致不理朝政。嘉靖二十七年(1548),朱厚烷上疏,勸帝修德講學,“以神仙土木為規(guī)諫,語切直”[4]。也有文獻說,朱厚烷在《上進表》中自稱“弟,不稱臣”[5]。嘉靖帝覽奏大怒。又厚烷之族叔伯間爭嫡奪爵而誣告厚烷有叛逆罪。因之,朱厚烷被革除國爵,并被囚禁于老家安徽鳳陽。朱載堉受此牽連,被革除世子爵。他“痛父非罪見系,筑土室宮門外,席藁獨處”([4],3628頁)。后又曾上少林寺,拜僧人松谷為師。直到嘉靖帝薨,穆宗繼位,厚烷父子才得以平反,復(fù)國爵。這次苦難經(jīng)歷18個年頭。*史書[4]載19年,不確。

復(fù)爵返國后厚烷指導(dǎo)載堉習樂律,并令其研究返宮問題。他說：

仲呂順生黃鐘,返本還元；黃鐘逆生仲呂,循環(huán)無端。實無往而不返之理,笙琴互證,則知三分損益之法非精義也。[7]

眾所周知,若以三分損益算律,雖仲呂順生黃鐘,但不能返元,尚有一音差；而黃鐘也不能逆生仲呂,只能逆生林鐘。要解決厚烷提出的這個問題,只有創(chuàng)立新的律制。這就讓朱載堉整整忙活了14年,即從隆慶元年(1567)到萬歷九年(1581)創(chuàng)建“新法密率”為止。朱載堉稱謂的“新法密率”即今天大家熟知的十二等程律。萬歷九年,朱載堉為其著《律歷融通》作序,該書附錄《音義》篇中道出了“新法密率”的五度相生和四度相生的數(shù)學方法。這就是其父令其完成的返宮的數(shù)學和音樂學難題。值得注意的是,在這14年間,朱載堉完成了《樂律全書》中樂、舞、算方面的大部分著作。

從萬歷二十三年(1595)始,朱載堉在王府內(nèi)雕刻《樂律全書》。到萬歷三十四年(1606),《樂律全書》雕版、印刷、裝幀完畢。前后又11年。隨即,朱載堉上進四部《樂律全書》刻本,并得到了萬歷帝稱贊：“具見留心樂律,深可嘉尚?！盵8]

萬歷十九年(1591)正月鄭王朱厚烷薨。六月,王子載堉即“以微恙辭管府事”[9],實則為辭爵假之以病。萬歷二十一年(1593),載堉上疏,要“讓國爵載璽”。載璽是載堉叔伯兄弟。當年正是載璽的祖父誣告載堉的父親有叛逆罪,以致厚烷被囚禁?？梢娡踝虞d堉的氣度非同尋常。經(jīng)過反復(fù)上疏,最終于萬歷三十四年(1606)獲萬歷帝準允,將爵位讓于載璽。載堉因此獲萬歷帝賜赦表彰,給祿建坊,以示優(yōu)賢之義([6],65～72頁)。從萬歷九年到三十四年的整15年7疏,載堉才將爵位讓出。其志之堅,其情之固,可贊也。清代詩人沈德符(1578～1642)稱頌朱載堉“真天潢中異人也。”[5]

讓出國爵后,朱載堉遷居懷慶城郊,自稱道人,超然于人世間名祿紅粉之外,過著簞食瓢飲的生活。早晚邀上三五個山野好友,“一人吹律,一人彈琴,一人擊缶而歌。余亦自歌,互相倡和,而樂在其中矣?！?[6],74頁)此情此景,與今日公園一角老人吹拉彈唱度晚年相似。

萬歷三十九年(1611)四月初七日(5月18日),朱載堉卒于懷慶城外九峰山下,年76歲。

2 數(shù)學成就

2.1 構(gòu)架并求解幾何數(shù)列

眾所周知,在五度律(或三分損益律)中,將起始音(設(shè)為C)的頻率累乘以3/2(或其弦長累乘以2/3)12次之后,得到第十三個音(C1)不剛好是起始音(C)的倍數(shù)。這在音樂學上稱為“不能返宮”。在西方音樂學術(shù)語中,這意思是五度圈不能成為“一個閉合的圓”。五度、八度是完全悅耳、協(xié)和的音程,為何12個五度之后產(chǎn)生的八度卻不純正了呢？數(shù)學計算在哪個節(jié)點上出了問題？音樂學上千年的返宮難題,直到明代朱載堉決心拋棄五度律,另辟新徑,才得到完滿解決。

表1 樂律名稱與幾何數(shù)列對應(yīng)表

注意：我們將表1中幾何數(shù)列(3)簡單列示如下：因為q=21/12,所以大呂是由黃鐘2除以q一次得出的,即大呂為2/q=q11；蕤賓是由黃鐘2累除q六次得出的,即蕤賓為2/q6=q6；南呂是黃鐘2累除以q九次得出的,即南呂為2/q9=q3；應(yīng)鐘是黃鐘2累除以q十一次得出的,即應(yīng)鐘為2/q11=q1。

表1中幾何數(shù)列(2)和(3)適用于樂律的弦長比值,從1到1/2或從2到1的幾何數(shù)列對應(yīng)于弦長愈來愈短,樂音愈來愈高；幾何數(shù)列(1)適用于樂律的頻率比值,若將(1)用于弦長比,則要將表1中第1橫欄的音高順序顛倒為之。如此,朱載堉稱幾何數(shù)列(3)、(1)和(2)分別為倍律、正律和半律。

聯(lián)系表1,就容易解讀朱載堉在《律呂精義內(nèi)篇》卷1《不用三分損益》中所寫下的文字：

新法算律與方圓皆用勾股術(shù)。其法本諸《周禮·栗式為量》“內(nèi)方尺而圓其外”。“內(nèi)方尺而圓其外”,則圓徑與方斜同。知方之斜則知圓之徑矣。

度本起于黃鐘之長,則黃鐘之長即度法一尺。

命平方1尺為黃鐘之率,東西10寸為勾,自乘得100寸為勾冪；南北10寸為股,自乘得100寸為股冪。相并共得200寸為弦冪。乃置弦冪為實,開平方除之,得弦1.4142 1356 2373 0950 4880 1689尺,為方之斜,即圓之徑,亦即蕤賓倍律之率。以勾10寸乘之,得平方積141.42 1356 2373 0950 4880 1689寸,為實,開平方除之,得1.1892 0711 5002 7210 6671 7500尺,即南呂倍律之率。仍以勾10寸乘之,又以股10寸乘之,得立方積1189.2 0711 5002 7210 6671 7500寸,為實,開立方除之,得1.0594 6309 4359 2952 6456 1825尺,即應(yīng)鐘倍律之率。蓋十二律黃鐘為始,應(yīng)鐘為終,終而復(fù)始,循環(huán)無端,此自然真理,猶貞后元生,坤盡復(fù)來也。是故各律皆以黃鐘正數(shù)10寸乘之為實,皆以應(yīng)鐘倍數(shù)10.5946 3094 3592 9526 4561 825寸為法除之,即得其次律也。安有往而不返之理哉？舊法往而不返者,蓋由三分損益算術(shù)不精之所致也。是故新法不用三分損益,別造密率。*為便于現(xiàn)代人更容易看得清楚,將原文的漢字數(shù)字改為了印度—阿拉伯數(shù)字。

朱載堉算得q是一個25位數(shù)字,即

從數(shù)學上看,這長段文字實際上就是在1與2之間設(shè)定的一個由13項構(gòu)成的幾何數(shù)列,求出這個幾何數(shù)列的公比數(shù)(即應(yīng)鐘倍律弦長),問題就解決了。在音樂學看來,任一起始音的弦長,“皆以應(yīng)鐘倍數(shù)……為法除之,即得其次律也”。如此,朱載堉建成了十二等程律,完成了千年的返宮之愿。

應(yīng)當怎樣評價朱載堉這一數(shù)學成就？我們知道,在樂律史上,凡有重大貢獻的樂律學家,也必定是個數(shù)學家。朱載堉在《算學新說》弁言中說,“臣所撰新說凡四種：一曰律學,二曰樂學,三曰算學,四曰韻學。前二者其書之本原,后二者其書之支脈,所以羽翼其書者也”。也就是說,他將數(shù)學看作是他創(chuàng)建一種嶄新律制的“翅膀”。在數(shù)學思維上,朱載堉的工作至少突破了前人常以一個自然整數(shù)為起點而構(gòu)成幾何數(shù)列的范式,如以3為公比數(shù)的幾何數(shù)列即1、3、9、27、81等等。要在相鄰兩個自然整數(shù)如1和2之間構(gòu)架一個由13項組成的幾何數(shù)列,這是朱氏的樂律研究為中國數(shù)學史上提供的有關(guān)等比數(shù)列的新實例。中國古代數(shù)學史上真正的幾何數(shù)列例題極少。[11]在已知首項、末項和項數(shù),而要求解這樣幾何數(shù)列的數(shù)學題目,在朱載堉之前似乎未曾有過。再者,朱載堉將2的開十二次方運算到25位數(shù),且準確無誤[12],確實令人驚嘆。此前的中外數(shù)學史上,還未有過如此多位數(shù)的計算數(shù)字。20世紀90年代之前的普通電子計算器也只有10位數(shù)而已。

2.2 在由四項構(gòu)成的幾何數(shù)列中,提出第二、三項的求解法

圖1 《算學新說》中的樂律計算(其中

圖2 圓內(nèi)接正方形(設(shè)a=b=1,則；設(shè)c=1,則

由以上的計算,在圖1的幾何數(shù)列中,就已知它的首項(倍蕤賓)、末項(正蕤賓)和他們的中項(正黃鐘)了。對于這個幾何數(shù)列問題的解,朱載堉在《算學新說》中寫道：

第四問：以黃鐘正律乘蕤賓正律得平方積……*本文略其具體積值。下文同。開平方所得即夾鐘正律……*刪略25位數(shù)字答案及其算草。下文同。

第五問：以黃鐘正律乘蕤賓倍律得平方積……開平方所得即南呂倍律……

這兩問是求幾何數(shù)列的等比中項。第四問的“正夾”即是“正黃”和“正蕤”之間7項組成的等比中項；第五問的“倍南”是“倍蕤”到“正黃”的中項。從這兩問中不難看出,等比中項為首末兩項之積的平方根。這是完全正確的。

《算學新說》中還計算了圖1中的大呂和倍應(yīng)鐘兩項。它寫道：

第六問：置夾鐘正律以黃鐘再乘,得立方積……開立方所得即大呂正律也……

第七問：置南呂倍律以黃鐘再乘,得立方積……開立方所得即應(yīng)鐘倍律也……

由圖1可見,第六問所求的“正大”是“正黃”到“正夾”的四項組成的第二項；第七問所求的“倍應(yīng)”是“倍南”到“正黃”的四項組成的第三項。在由四項組成的幾何數(shù)列中,求解其第二、三項的方法,朱載堉一一列舉清楚了。仿此,就可以解出圖1中其余各項。一個13項的幾何數(shù)列得以求解,也就在八度內(nèi)解出了它的各個樂律的音高數(shù)值。

對于朱載堉的這一數(shù)學成就,在中國數(shù)學史上似乎并未引起人們重視,迄今尚未有一本數(shù)學史著作對此作出敘述。這原因大概是《算學新說》中的數(shù)學與樂律計算緊密相關(guān),樂律學的內(nèi)容讓人們不能一眼識破其數(shù)學本質(zhì)。

2.3 珠算開方

算盤的發(fā)明和應(yīng)用在中國古代有較長的歷史。起初人們只用它做加減乘除的四則運算。珠算開方朱載堉不是最早的一個,但他卻是最接近近代數(shù)學方法的一個。朱載堉一生中,計算歷法、樂律,都是用珠算完成的。在他的樂律研究中,留下了7位數(shù)、9位數(shù)、18位數(shù),甚而多達25位數(shù)的計算數(shù)值而無一錯誤,這不能不歸于他用了當時最先進的計算工具算盤的緣故。

朱載堉在其著《算學新說》的弁言“初學凡例”中寫道：

凡學開方,須造大算盤,長九九八十一位,共五百六十七子,方可算也。不然,只用尋常算盤,四五個接在一處算之,亦無不可。其算盤梁上貼紙一長條,上寫第一位、第二位等字樣,使初學易曉也。

該書第六問之弁言也寫有“初學立方凡例”,指出“凡開立方,將算盤梁上貼一紙條,寫千百十寸、百十分、百十厘、百十毫、百十絲、百十忽、百十微、百十纖之名,至于纖以下位數(shù),不立名色,只隔二位畫一圈,使開方除實不錯耳?！?/p>

這些文字說明了計算出25位數(shù)的算盤所需檔位和注意事項。朱載堉還詳細注明開方口訣,舉出不少例題算草。一些數(shù)學史著作對此也有所演釋([11],577頁)。*1991年,筆者曾在一次全國性律學討論會上,目睹天津一會計師馮文坤女士在81檔大算盤上為眾人作開方演算,速度甚快。本文在此僅評述朱載堉開方運算的歷史地位。

《算學新說》刻版完畢于萬歷三十一年(1603),人們以此確定朱載堉完成珠算開方的年限并不確切。其理由如下：

(Ⅰ)1603年既是雕刻完畢《算學新說》,也是完成雕版《樂律全書》整套書的時間?！稑仿扇珪分兄T本書,唯此留下時間記述,其用意即在于此。此后便是《樂律全書》的印刷、裝幀了。

(Ⅱ)除了《圣壽萬年歷》和《萬年歷備考》二書是在萬歷二十二年(1595)之前一、二年完成之外,《樂律全書》中其余樂、舞、歷、算諸書都在《律歷融通》作序之時(萬歷九年,1581年),甚至更早時候已經(jīng)完成。其證據(jù)如下：

(1)《律呂融通》書末附《音義》一篇,該篇文字為注釋該書中一些名詞術(shù)語和數(shù)學方法,其中寫道：

大抵不用三分損益,而用勾股之術(shù)及開立方之法求之所得也。是以隔八隔六、循環(huán)無端,上下相生,首尾一貫,以證往而不返之說為非。是蓋二千余年之所未有,實自我朝始耳。恐后世儒者疑,故略釋之,其詳則見諸《律呂精義》云。

這里所說的“勾股之術(shù)(開平方之法)”、“開立方之法”,朱載堉是用珠算做的。不僅如此,朱載堉還指出,欲知《律歷融通》內(nèi)容之詳者,請讀者“見諸《律呂精義》”。后者是《樂律全書》中最為重要的一本著作,可見它完成于《律歷融通》之前。也即珠算開方的運算完成于1581年之前。

(2)《律學新說》(作序于1584年)的初稿是《律學四物譜》。所謂“四物”即黍、度、量、權(quán)?！堵蓪W四物譜序》尚留在《律學新說》的《附錄》中。該序文中寫道：

嘗撰《黍譜》、《度譜》、《量譜》、《權(quán)譜》,各卷帙不等,總?cè)舾扇f言,今摘其要合為一書,名曰《律學新說》,而以所問所答冠其篇名?！端奈镒V》原稿文煩而考據(jù)詳密,后乃刪煩摘要,更名《律學新說》,成書以進。校其原稿,特十分之一耳。茲因暇日重校原稿,見此序文,不忍棄去,是故續(xù)刊附于簡末,使覽者知作者初意。

這段文字充分說明《律學新說》原稿本早在1584年作序之前已完成?？梢娭燧d堉珠算開方的工作也并非完成于《算學新說》雕版完畢的1603年。

令人驚訝的是,《律學新說》的“序”文中還寫道：關(guān)于律管的周徑計算問題,“已見《律書》及《算學新說》,茲不復(fù)載,但載各律長短并內(nèi)外周徑圖樣”。這里,明白地告訴讀者：《律學新說》中的相關(guān)問題詳見《算學新說》一書。前者又是早年舊稿壓縮而成?？梢姟端銓W新說》一書在1581年之前已完稿是毫無疑問的。

(3)在《律歷融通·音義》中還有珠算開方的直接證據(jù)?！兑袅x》寫道：

先置黃鐘十寸在位。下生者五億乘之為實,七億四千九百一十五萬三千五百三十八為法,除之得林鐘；就置所得全數(shù)在位,上生者十億乘之為實,仍以前法除之,得太簇。余律仿此,乘除十二遍,則返本還元。此系新法,與古法不同。

所謂“在位”是將要計算的數(shù)字撥在算盤的相應(yīng)檔位上。這段文字被稱之為十二等程律的五度相生[13]。它是必須在完成如表1中的三種幾何數(shù)列的任一種演算之后,才能進一步推出它的快捷計算法即五度相生法。在這段文字之后還有十二等程律的四度相生的簡捷算法,本文不再詳引。它們充分證明,珠算開方的運算,至少在公元1581年之前朱載堉已相當嫻熟了。

或許,上述考證是多余的。萬歷九年十月(1581年11月),《明神宗實錄》記載,“鄭王厚烷有疾,世子載堉亦久病”([9],萬歷九年十月已未)。而這一年,載堉擬將其完成的樂、舞著作進獻宮廷,朱厚烷“恐有缺誤,未敢遽行,仍付臣(載堉)訂正之”,不料,“值臣(載堉)宿疾舉發(fā),連年未療,由是遷延,未曾進獻”([8],2～96上欄)。自然,這些樂、舞著作包括了《算學新說》在內(nèi)。當然,它們都是手稿本,尚未雕版印刷。中國古代的著作,雖然一般可以用其序文時間或刻版時間定其創(chuàng)作年代。然而,類似朱載堉的著作,當是中國書籍史上一特例[14- 15],不能以其書作序或雕版的時間論其創(chuàng)作的歲月。

由上考證,充分證明《算學新說》完稿于1581年之前。之前多久？亦難斷論。只能說,在其父朱厚烷復(fù)爵返國(隆慶元年,1567)到《律歷融通》作序(萬歷九年,1581)的時間內(nèi),朱載堉徹底地掌握了珠算開方,并以此在世界上首創(chuàng)十二等程律。

在中國數(shù)學史上,徐心魯《盤珠算法》于1573年初刊,柯尚遷《數(shù)學通軌》于1578年刊刻。但此二書均未涉及珠算開方。余楷《一鴻算法》于1584～1585年刊刻,據(jù)說其中有開方計算。其后便是程大位的《算法統(tǒng)宗》,于1592年刊刻([11],553,556,557,559頁)。朱載堉是在1581年之前完成的《算學新說》,因此,理應(yīng)重視它在中國數(shù)學史上的歷史地位。據(jù)研究,在珠算史上第一個做開方運算的是明代王文素,他于1524年撰《算學寶鑒》,其中述及珠算開方。[16]朱載堉和王文素不同的是,前者的方法接近現(xiàn)代,后者的方法是傳統(tǒng)的繼承。

在珠算史上,尚需強調(diào)的是,人們常常將算盤看作商業(yè)計算工具。而從朱載堉如此之早運用珠算開方并計算樂律的情形看來,算盤確曾是人們進行學術(shù)研究的計算工具。

朱載堉還有一項數(shù)學工作在數(shù)學史上也是有影響的,即他所做的關(guān)于九進制和十進制的小數(shù)換算([14],190頁)。這項工作已被數(shù)學史著作所重視([11],598頁),本文不再重復(fù)。

朱載堉在《算學新說》弁言中曾如此評價自己的“新說”：

謂之新說,何也？且如周徑冪積相求之類,舊則疏而新則密；平方不用商除,立方不顯廉法之類,舊則繁而新則簡；舊以勾股為末,專明九章,新以勾股為首,專明律歷。此其異也。余則文雖小異,要亦殊途同歸者也。

這三條自我評價不完全正確。第一條,言及周徑冪積相求一事,其要在于圓周率取何值？朱載堉的圓周率是這樣得到的：設(shè)一個正方形的邊長為9寸,他以片紙或線條移量其外接圓的圓周為40寸([6],265頁)。因此,其圓周率值為

其中的第二條即“平方不用商除,立方不顯廉法”的評價是恰當?shù)?。這是朱載堉在數(shù)學上的一項重要成就。其數(shù)學思維更接近于現(xiàn)代而遠離古代。故而,他說“舊則繁而新則簡”并不夸張。至于第三條,僅僅是勾股術(shù)或開方術(shù)用在不同學科、不同對象上之分別。值得稱頌的是,朱載堉找到一種數(shù)學方法解決了樂律返宮,從而在音樂上開天辟地地創(chuàng)造了一種新律制,并影響至今不息。這是他的最大貢獻!

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11 郭書春. 中國科學技術(shù)史·數(shù)學卷[M]. 北京：科學出版社,2010.258,577～578.

12 沈柏宏教授用高速電腦證明中國人最早發(fā)明十二平均律[J]. 呂國璋,譯. 樂苑,1986,(15)：19.

13 戴念祖. 從傳統(tǒng)音樂學和數(shù)學角度看朱載堉創(chuàng)建等程律的思維[J]. 中國音樂學,2014,(4)：20～25.

14 戴念祖. 朱載堉——明代科學和藝術(shù)巨星[M]. 北京：人民出版社,1986.91～96.

15 李純一. 朱載堉十二平均律發(fā)明年代辯證[J]. 音樂研究,1980,(3): 33～34.

16 勞漢生. 珠算與實用算術(shù)[M]. 石家莊：河北科學技術(shù)出版社,2000.299～307.

Prince Zhu Zaiyu’s Life and His Achievements in Mathematics：The 480th Anniversary of the Birth of Zhu Zaiyu

DAI Nianzu

(InstituefortheHistoryofNaturalSciences,CAS,Beijing100190,China)

Prince Zhu Zaiyu was a mathematician and musician during in Ming Dynasty (1368-1644). His life went through many ups and downs. He suffered for 18 years, wrote for 14 years, did block printing for 11 years, and gave up his royal position to another brother for 15 years. His achievements in mathematics consist of the calculation of geometrical series, the conversion of numbers of different carries, the extraction of roots using Chinese ancient abacus, and so on. These mathematical works are the basis of the equal temperament founded by him. Certain historians of music in the Western doubted Zhu Zaiyu’s mathematical ability for a long time. The paper re-evaluates Zhu Zaiyu’s mathematical achievements and expound the relation between them and musical tone.

Zhu Zaiyu, geometrical series, extraction of a roots by Chinese ancient abacus,Twelve tone equal temperament

2016- 01- 12；

2016- 09- 09 作者簡介：戴念祖,1942年生,福建長汀人,中國科學院自然科學史研究所研究員,主要研究方向為中國物理學史。

N092∶K82

A

1000- 0224(2016)04- 0417- 10