黃　羿，陳國平

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 吉首 416000)

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分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程邊值問題解的存在性

黃羿，陳國平

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 吉首 416000)

摘要：運(yùn)用臨界點(diǎn)理論中的山路引理，研究一類具有狄利克雷邊值問題的分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程解的存在性,證明了解的存在性結(jié)果.

關(guān)鍵詞：脈沖;分?jǐn)?shù)階；微分方程;狄利克雷邊值條件;臨界點(diǎn)理論

作為整數(shù)階微分方程的推廣,分?jǐn)?shù)階微分方程用來描述復(fù)雜物理和動(dòng)力學(xué)問題時(shí),可以更加準(zhǔn)確地描述非線性非保守的動(dòng)力學(xué)行為.同時(shí),分?jǐn)?shù)階微積分的全局相關(guān)性可以更優(yōu)美地刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象和規(guī)律[1-4].因而,近幾十年來,分?jǐn)?shù)階微積分被廣泛地應(yīng)用于生物、物理、電子、工程及控制論等領(lǐng)域[5-9].目前,關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程的研究包括解的存在性和唯一性、解的穩(wěn)定性、邊值問題等解的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[10-14],主要研究方法包括不動(dòng)點(diǎn)定理、拓?fù)涠壤碚?延拓定理和重合度理論)、比較方法(上下解方法和單調(diào)迭代方法)和臨界點(diǎn)理論[5，11，15-21].脈沖微分方程能夠充分考慮到瞬時(shí)突變現(xiàn)象對(duì)狀態(tài)的影響,更深刻、精確地反映事物的變化規(guī)律,具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義[22-23],在醫(yī)學(xué)、生物、控制論及航天運(yùn)動(dòng)模型中廣泛存在[24-27].

2012年,文獻(xiàn)[16]首先使用臨界點(diǎn)理論研究分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性,事實(shí)證明這種方法對(duì)于解決帶左右分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子的物理模型非常有效.據(jù)了解,運(yùn)用臨界點(diǎn)理論解決分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程邊值問題解的存在性的文獻(xiàn)鮮少出現(xiàn).筆者嘗試使用臨界點(diǎn)理論中的一般山路引理,研究下列分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程方程邊值問題解的存在性:

(1)

1預(yù)備知識(shí)

定義1[1]設(shè)函數(shù)f∈ACn([a,b],RN),當(dāng)n-1≤α

函數(shù)的α階Riemann-Liouville右導(dǎo)數(shù)為

定義2[1]設(shè)函數(shù)f∈ACn([a,b],RN),當(dāng)n-1≤α

為了使用方便，引入分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)性質(zhì),其中f(t)和g(t)為函數(shù),α和μ為常數(shù)[2].

性質(zhì)1Dαμ(f(t)+g(t))=Dαμf(t)+Dαμg(t).

定義3[5]設(shè)E是一個(gè)實(shí)Banach空間,F是E上具有連續(xù)Frechet微分的泛函,即F∈C1(E,R).如果對(duì)于?{un}?E,{F(un)}有界且F′(un)→0(n→∞)，蘊(yùn)含{un}在E中存在收斂的子序列,那么稱泛函F在E上滿足Palais-Smale條件(簡(jiǎn)稱為PS條件).

定義范數(shù)

(2)

(3)

聯(lián)立(2),(3)式，得

(4)

其中

(5)

則泛函φ可導(dǎo).由性質(zhì)1和性質(zhì)2知

(6)

從而函數(shù)u是分?jǐn)?shù)階脈沖邊值問題(1)的一個(gè)弱解.

2主要結(jié)果及證明

定理2假設(shè)以下條件成立：

(H1)F∈C([0，T]×RN,R),存在μ∈[0,1/2),M>0,使得對(duì)?x∈RN,當(dāng)|x|≥M,M>0,t∈[0,T]時(shí),有0

(H2)[23]f是次線性的,即存在常數(shù)a>0,b>0和γ∈[0,1)，使得對(duì)?(t,x)∈[0,T]×R有|f(t,x)|≤a+b|x|r.

(H3)[23]脈沖函數(shù)次線性增長(zhǎng),即存在常數(shù)aj>0,bj>0和γj∈[0,1),使得對(duì)?x∈R,有|Ij(x)|≤aj+bj|x|γj(j=1,2,…,p).

當(dāng)α∈(1/2,1]時(shí),分?jǐn)?shù)階脈沖邊值問題(1)至少有1個(gè)解.

首先引入幾個(gè)重要的引理：

引理4[28]假設(shè)條件(H1)成立,對(duì)?t∈[0，T],下列結(jié)論成立:

然后考慮α∈(1/2,1]時(shí),分?jǐn)?shù)階脈沖邊值問題(1)解的存在性.

第1步:驗(yàn)證φ(uk)滿足(PS)條件.

從而知φ(uk)滿足(PS)條件.

第2步:用臨界點(diǎn)理論證明脈沖邊值問題(1)的弱解存在.

由引理4知,

參考文獻(xiàn)：

[1]KILBASAA,RIVASTAVAM,TRUJILLOJJ.TheoryandApplicationsofFractionalDifferentialEquations[M].Amsterdam:ElsevierScienceLtd.,2006.

[2]IGORPODLUBNY.FractionalDifferentialEquations[M].NewYork:AcademicPress，1999.

[3] 周燕.分?jǐn)?shù)階Pfaff-Birkhoff變分問題及其對(duì)稱性[D].蘇州：蘇州科技學(xué)院,2013.

[4] 王小東.Riemann-Liouvlle分?jǐn)?shù)階微積分及其性質(zhì)證明[D].太原：太原理工大學(xué),2008.

[5]RABINOWITZPH.MinimaxMethodsinCriticalPointTheorywithApplicationtoDifferentialEquations[M].American:AmericanMathematicalSociety,1986.

[6]MAGINRL.FractionalCalculusinBioengineering[M].Redding,CT:BegellHouseInc.,2006.

[7]VASILLYETARASOV.分?jǐn)?shù)維動(dòng)力學(xué):分?jǐn)?shù)階積分在粒子,場(chǎng)及介質(zhì)動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社,2010.

[8] 孫文,孫宏廣,李西成.力學(xué)與工程問題的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模[M].北京:科學(xué)出版社,2010.

[9] 汪紀(jì)峰.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)控制性能分析[M].北京:電子工業(yè)出版社,2010.

[10]RAVIPAGARWAL,BASHIRAHMAD.ExistenceTheoryforAnti-PeriodicBoundaryValueProblemsofFractionalDifferentialEquationsandInclusions[J].ComputersandMathematicswithApplications，2011，62(3)：1 200-1 214.

[12]GUOTianliang,JIANGWei.ImpulsiveProblemsforFractionalDifferentialEquationswithBoundaryValueConditions[J].ComputersandMathematicswithApplications,2012,64(10):3 281-3 291.

[13]CHENYi,TANGXianhua.SolvabilityofSequentialFractionalOrderMulti-PointBoundaryValueProblemsatResonance[J].AppliedMathematicsandComputation,2012,218(14):7 638-7 648.

[14]MUJEEBURREHMAN,PAULWELOE.ExistenceandUniquenessofSolutionsforImpulsiveFractionalDifferentialEquations[J].AppliedMathematicsandComputation,2013,224(1):422-431.

[15]LIJianli,LUOZhiguo,YANGXuxin,etal.MaximumPrinciplesforthePeriodicBoundaryValueProblemforImpulsiveIntegro-DifferentialEquations[J].NonlinearAnalysis，2010，72(9/10):3 837-3 841.

[16]JIAOFeng,ZHOUYong.ExistenceofSolutionsforaClassofFractionalBoundaryValueProblemsviaCriticalPointTheory[J].ComputersandMathematicswithApplications，2011，62(3)：1 181-1 199.

[17]JIAOFeng,ZHOUYong.ExistenceResultsforFractionalBoundaryValueProblemviaCriticalPointTheory[J].InternationalJournalBifurcationandChaos,2012，22(4)：1 250 086-1 250 103.

[18]SUNHongrui,ZHANGQuanguo.ExistenceofSolutionsforaFractionalBoundaryValueProblemviatheMountainPassMethodandanIterativeTechnique[J].ComputersandMathematicswithApplications,2012,64(10):3 436-3 443.

[19]CHENFulai.CoincidenceDegreeandFractionalBoundaryValueProblemswithImpulses[J].ComputersandMathematicswithApplications,2012,64(10):3 444-3 455.

[20]HUChaozhu,LIUBin,XIESongfa.MonotoneIterativeSolutionsforNonlinearBoundaryValueProblemsofFractionalDifferentialEquationwithDeviatingArguments[J].AppliedMathematicsandComputation,2013,222(1):72-81.

[21]JIAMei,LIUXiping.MultiplicityofSolutionsforIntegralBoundaryValueProblemsofFractionalDifferentialEquationswithUpperandLowerSolutions[J].AppliedMathematicsandComputation,2014,232(1):313-323.

[22]JUANJNIETO，DONALO’REGAN.VariationalApproachtoImpulsiveDifferentialEquations[J].NonlinearAnalysis:RealWorldApplications，2009，10(2)：680-690.

[23] 白亮.基于臨界點(diǎn)理論的脈沖邊值問題解答存在性及多解性[D].長(zhǎng)沙：中南大學(xué),2012.

[24]AKHMETOVMU，ZAFERA.ControllabilityoftheVallee-PoussinProblemforImpulsiveDifferentialSystems[J].JournalofOptimizationTheoryandApplication，1999，10(2):263-276.

[25]PEIYongzhen,LIChangguo,WANGChunhua.ComplexDynamicsofOne-PreyMulti-PredatorSystemwithDefensiveAbilityofPreyandImpulsiveBiologicalControlonPredators[J].AdvancesinComplexSystems，2005，8(4):483-495.

[26]PRADOAFBA.Bi-ImpulsiveControltoBuildaSatelliteConstellation[J].NonlinearDyn.Syst.Theory,2005，5:169-175.

[27]DAIBinxiang,SUHua,HUDianwang.PeriodieSolutionofaDelayedRatio-DependentPredator-PreyModelwithMonotonieFunctionalResponseandImpulse[J].NonlinearAnalysisTMA,2009，70(1):126-134.

[28]ZHANGZiheng,YUANRong.AnApplicationofVariationalMethodstoDirichletBoundaryValueProblemwithImpulses[J].NonlinearAnalysis:RealWorldApplications，2010，11：155-162.

(責(zé)任編輯向陽潔)

Existence of Solutions for Boundary Value Problems of Impulsive Fractional

Differential Equations via Critical Point Theory

HUANG Yi,CHEN Guoping

(College of Mathematics and Statistics,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China)

Abstract：In this paper,we investigate existence results of Dirichlet boundary problems for a class of impulsive fractional differential equations.The arguments are based upon the mountain pass theorem of critical point theory.

Key words：impulsive;fractional；differential equations;Dirichlet boundary conditions;critical point theory

作者簡(jiǎn)介：黃羿(1982—)，女，湖南岳陽人，吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，碩士生，主要從事微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)研究；陳國平(1964—)，男，湖南邵陽人，吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授，博士，主要從事微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)研究.

基金項(xiàng)目：湖南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目(14C0940)

收稿日期：2014-10-18

中圖分類號(hào)：O175.8

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1007-2985.2015.02.003

文章編號(hào)：1007-2985(2015)02-0011-05