劉雄偉，王　曉

(國防科技大學理學院，湖南長沙410073)

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從偏導數(shù)恒等式變換到偏微分方程求解

劉雄偉，王曉

(國防科技大學理學院，湖南長沙410073)

[摘要]從高等數(shù)學教材課后習題的偏導數(shù)恒等式變換求解，引導學生討論一類偏微分方程的求解.在拓展課程內(nèi)容、應用和常微分方程變量分離方法的基礎上，鞏固多元復合函數(shù)求導法則，常系數(shù)線性微分方程求解方法和傅里葉級數(shù)的相關理論與方法.

[關鍵詞]高等數(shù)學； 偏導數(shù)； 偏微分方程； D’Alembert公式； 弦振動方程

在《高等數(shù)學》教材[1]多元微分學的課后習題中有這樣一道練習：通過變換u=x-2y，v=x+3y將方程

(1)

簡化為

(2)

其求解過程是將函數(shù)z=z(x,y)看成是z=z(u,v)和兩個中間函數(shù)u,v的復合函數(shù)，從而利用復合函數(shù)的求導法則，求z=z(x,y)關于x,y的二階偏導數(shù)，并代入原式化簡得到.

一般很多同學在做完這道練習以后，并沒有對其內(nèi)容與結(jié)論進一步思考和延伸.該問題是關于二元函數(shù)z=z(x,y)的偏導數(shù)恒等式，也就是偏微分方程.對于偏微分方程的代數(shù)解的獲取一般是比較困難的.而這個問題的求解過程正好代表了一類偏微分方程的求解方法，即通過對(2)兩端關于v求不定積分，有

(3)

對(3)式關于u求不定積分，得

(4)

其中F,G是兩個包含任意常數(shù)的一元可微函數(shù).

由于(2)中的z(u,v)的對應法則與(1)中的z(x,y)對應法則本質(zhì)上講是不同的，直觀上記作z(x,y)=Z(u,v)=Z(x-2y,x+3y)更好理解，所以(2)-(4)中的z都應該記作Z.由(4)可得方程(1)的通解為

z(x,y)=Z(u,v)=Z(x-2y,x+3y)=F(x-2y)+G(x+3y).

(5)

如果將問題(1)加上兩個初始條件，如

z|y=0=φ(x),zy|y=0=ψ(x)，

(6)

解由(1)和(6)構(gòu)成的初值問題.

將(5)代入(6)中的兩個初值條件，有

F(x)+G(x)=φ(x)，

(7)

-2F′(x)+3G′(x)=ψ(x).

(8)

對(8)兩端在積分區(qū)間[x0,x]上求積分，有

(9)

聯(lián)立(7)和(9)，可得

(10)

(11)

將(10)，(11)代入(5)，有

(12)

例如，可設(5)式中的φ(x)=5x2,ψ(x)=2x，則代入(12)，即得由(1)和(6)構(gòu)成的初值問題的解為

=5x2+2xy+31y2.

(13)

將(13)的結(jié)果代入(1)可知其滿足等式，即為該偏微分方程滿足初值條件(6)的解.

如果(1)中不包含混合偏導數(shù)，對應的參數(shù)y表示時間t，并記系數(shù)6為a2，則(1)和(6)構(gòu)成的模型描述了物理上的無界弦自由振動問題[2]

(14)

對于該模型，可以使用特征線方法得到變量的變換公式，從而得到該問題上面描述類似的求解方法，也可以考慮分離變量與Fourier變換方法進行求解.它的解為

(15)

該公式稱為弦振動方程初值問題(14)的達朗貝爾(D’Alembert)公式，使用該公式可以解決一類齊次線性常系數(shù)偏微分方程的定解問題.

進一步加上限制條件，可得如下有界弦自由振動的初邊值問題[2]，即

(16)

若初始函數(shù)φ(x)和ψ(x)分別滿足在閉區(qū)間[0,l]上三次連續(xù)可微和二次連續(xù)可微，且滿足相容性條件

φ(0)=φ(l)=φ″(0)=φ″(l)=0，ψ(0)=ψ(l)=0，

則可以使用變量分離法，借助于常系數(shù)線性微分方程的求解方法以及對傅里葉級數(shù)展開的相關理論與方法，容易得其級數(shù)形式的解：

(17)

其中

(18)

(19)

定解問題(16)可以用來描述吉他、古箏等弦樂器上的一根弦的振動規(guī)律，u(x,t)表示t時刻x位置弦的橫線位移.對任一時刻t0，有

即在t0時刻弦的形狀為正弦波，振幅隨時間t0變化；對于任一位置x0，

為簡諧振動的疊加，即弦在x0處做簡諧振動，并且存在有振動過程中處于靜止的節(jié)點和振幅達到最大的腹點，像這樣具有不隨時間t的變化而變化的節(jié)點和腹點的波即為物理上的駐波，即弦的振動是由無數(shù)駐波疊加而成的.在所有駐波的頻率中，最小的頻率為基頻，基頻發(fā)出的聲音為決定聲音音調(diào)的基音；其他的駐波頻率是基頻的整數(shù)倍，它們發(fā)出的聲音為決定聲音音色的泛音.

通過以上物理意義的分析，選取適當函數(shù)，從聲學的角度對其描述的物理意義及決定聲音要素的關系，借助于數(shù)學軟件Mathematica的聲音播放功能給予直觀演示；并通過弦的不同位置與不同時刻的波形圖形分析，進一步討論弦振動振幅、頻率對聲音的影響.這樣的處理，不僅可以達到拓寬學生知識面，激發(fā)應用數(shù)學知識分析、解決問題，詮釋現(xiàn)象的興趣，而且對深化所學知識的理解，培養(yǎng)正確的學習動機，促進學習效率的提高具有重要意義.

[參考文獻]

[1] 朱健民，李建平. 高等數(shù)學(下冊)[M]. 北京：高等教育出版社，2007: 142.

[2]張雋，沈守楓，潘祖梁. 數(shù)學物理方程與Mathematica軟件應用[M]. 北京：機械工業(yè)出版社，2008: 36-42.

From the Partial Derivative Identity Transform to Solution of

Partial Differential Equations

LIUXiong-wei,WANGXiao

(College of Science, National University of Defense Technology, Changsha, Hunan 410073, China)

Abstract:The students were guided to discuss the solution of a class of partial differential equations by solving the problem of partial derivative identity transform from higher mathematics textbook. Based on developing course content, applications and the method of separation of variables for ordinary differential equations, it consolidated derivation rule of multiple compound function, methods of solving linear differential equations with constant coefficients and theories and methods of Fourier series.

Key words:higher mathematics； partial derivative； partial differential equations； D′Alembert figure； string vibration equation

[基金項目]湖南省普通高等學校教學改革研究立項項目(湘教通[2013]223號)；國防科技大學“十二五”本科教育教學研究立項課題(U2012105)

[收稿日期]2014-09-15；[修改日期]2015-01-05

[中圖分類號]O13

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)02-0053-03