李　穎，　倪谷炎，　周　敏

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)系，湖南長(zhǎng)沙410073)

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常微分方程組求解的案例式教學(xué)探索

李穎，倪谷炎，周敏

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)系，湖南長(zhǎng)沙410073)

[摘要]常微分方程在高等數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，在該部分內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中引入適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)案例，旨在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的熱情和提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.本文以傳輸線(xiàn)理論中的微分方程—電報(bào)方程求解為教學(xué)案例，在給出案例的研究背景和數(shù)學(xué)描述之后，求解電報(bào)方程獲得了集總源激勵(lì)下的傳輸線(xiàn)終端響應(yīng)，并結(jié)合具體算例分析其物理意義.

[關(guān)鍵詞]常微分方程； 案例式教學(xué)； 傳輸線(xiàn)響應(yīng)

1案例背景

實(shí)踐與應(yīng)用是常微分方程的顯著特點(diǎn)，在眾多學(xué)科中都有應(yīng)用常微分方程的方法和理論建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型，因此常微分方程的教學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)了多學(xué)科知識(shí)的交叉和滲透.這就要求教師在教學(xué)過(guò)程中不僅要使學(xué)生弄清楚常微分方程的一些基本理論和掌握各種類(lèi)型方程的求解方法，還要讓學(xué)生了解一些把實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型的途徑和方法，為他們今后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).在介紹常微分方程類(lèi)型以及解法時(shí)補(bǔ)充相關(guān)的一些科研成果，不但不會(huì)增加學(xué)生負(fù)擔(dān)，反而會(huì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，此外還反映了時(shí)代的氣息，培養(yǎng)了學(xué)生的科研意識(shí).從體系上來(lái)說(shuō)，可以達(dá)到將單純的知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變成知識(shí)、思想方法和應(yīng)用三位一體新知識(shí)結(jié)構(gòu)的目的，從而起到素質(zhì)培養(yǎng)、能力提高、技能訓(xùn)練為一體和諧發(fā)展的作用.我們將科研中集總源激勵(lì)下的雙導(dǎo)線(xiàn)傳輸線(xiàn)響應(yīng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)過(guò)程中的具體案例，是對(duì)常微分方程案例式教學(xué)方式的一種有力嘗試.

傳輸線(xiàn)理論是電磁兼容分析的重要理論，通常采用電報(bào)方程及相應(yīng)的傳輸線(xiàn)耦合模型的形式來(lái)計(jì)算傳輸信號(hào)，其計(jì)算精度能夠符合大多數(shù)工程應(yīng)用的需要[1-2].一般情況下，傳輸線(xiàn)上的電壓源和電流源可以產(chǎn)生天線(xiàn)模型和傳輸線(xiàn)模型兩種響應(yīng).因此，傳輸線(xiàn)上的總電流分布就等于這兩種模型共同的響應(yīng)電流.但是，在很多電磁兼容分析中，對(duì)于只需要研究給定負(fù)載的終端響應(yīng)情況時(shí)，計(jì)算傳輸線(xiàn)模型電流就已經(jīng)足夠了，因?yàn)樘炀€(xiàn)模型電流在負(fù)載終端處消失[2].傳輸線(xiàn)集總激勵(lì)是指?jìng)鬏斁€(xiàn)上某些位置有若干個(gè)原始激勵(lì)源對(duì)傳輸線(xiàn)自身產(chǎn)生激勵(lì)，這些離散的激勵(lì)可以在整個(gè)線(xiàn)路里產(chǎn)生響應(yīng).下面幾種情況均可以出現(xiàn)集總電壓或電流激勵(lì)現(xiàn)象：計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中時(shí)鐘發(fā)生器產(chǎn)生的噪聲，計(jì)算機(jī)主板上高頻數(shù)字信號(hào)和模擬信號(hào)之間的干擾，由系統(tǒng)中導(dǎo)體故障產(chǎn)生的短路以及在PCB板上靜電放電產(chǎn)生的沖擊[1].本文對(duì)集總源激勵(lì)下雙導(dǎo)線(xiàn)傳輸線(xiàn)的負(fù)載電流和電壓響應(yīng)進(jìn)行研究，探討其電報(bào)方程，即微分方程組的求解問(wèn)題.

2案例的數(shù)學(xué)描述

對(duì)于集總源激勵(lì)的均勻無(wú)限長(zhǎng)雙導(dǎo)體傳輸線(xiàn)而言，如圖1所示，

圖1　均勻無(wú)限長(zhǎng)雙導(dǎo)體傳輸線(xiàn)

其對(duì)應(yīng)的電報(bào)方程[1]為

(1)

其中Z為單位長(zhǎng)度阻抗，Y為單位長(zhǎng)度導(dǎo)納.由于是均勻傳輸線(xiàn)，傳輸線(xiàn)參數(shù)Z和Y與坐標(biāo)位置無(wú)關(guān).因此電報(bào)方程(1)實(shí)際上是一個(gè)常微分方程組.

3常微分方程組的求解

將微分方程組(1)去耦后可得到兩個(gè)關(guān)于電壓和電流的波動(dòng)方程：

(2)

(3)

反向電壓行波和電流行波分別為

該二階微分方程組的通解因此可表示為兩個(gè)方向的行波組合

(4)

(5)

接下來(lái)探討附加了邊界條件的常微分方程組(1)求解問(wèn)題.考慮集總電壓源和電流源激勵(lì)下的均勻有限長(zhǎng)雙導(dǎo)體傳輸線(xiàn)，如圖2所示，雙導(dǎo)體傳輸線(xiàn)線(xiàn)長(zhǎng)均為l，兩端端接負(fù)載阻抗為ZL1，ZL2，傳輸線(xiàn)受到x=xs處的串聯(lián)電壓源V0和并聯(lián)電流源I0的激勵(lì).即電報(bào)方程(1)附加了x=xs處的邊界條件：電流不連續(xù)差為I0，電壓不連續(xù)差為V0，以及傳輸線(xiàn)兩端負(fù)載1和負(fù)載2處的邊界條件：

V1=-ZL1I1，

V2=ZL2I2，

(6)

其中(6)式中的負(fù)號(hào)來(lái)自于定義沿線(xiàn)傳播的電流為正.

圖2　任意集總源激勵(lì)的有限長(zhǎng)端接負(fù)載雙導(dǎo)體傳輸線(xiàn)

設(shè)電報(bào)方程(1)的通解為

(7)

(8)

定義傳輸線(xiàn)終端負(fù)載的電壓反射系數(shù)

將其代入(6)再進(jìn)而代入(7)和(8)中，可得a1=ρ1b1，b2=a2ρ2e-2γl.再結(jié)合x(chóng)=xs處的邊界條件，可得

(9)

(10)

于是，求得帶兩個(gè)邊界條件的電報(bào)方程(1)的一般解為

(i) x

(11)

(ii) x>xs

(12)

在(11)和(12)中分別令x=0和x=l，可得傳輸線(xiàn)兩個(gè)負(fù)載終端上的響應(yīng)電壓和電流為

(13)

(14)

注1上述電壓和電流是線(xiàn)電壓和電流，x=0處負(fù)載電流為線(xiàn)電流的負(fù)值，x=l處負(fù)載電流等于線(xiàn)電流，仍以I1表示x=0處的電流響應(yīng).

注2將傳輸線(xiàn)負(fù)載處的電壓和電流響應(yīng)改寫(xiě)成另一種矩陣形式

(15)

(16)

其中S1=eγxs(V0+ZcI0)/2，S2=-eγ(l-xs)(V0-ZcI0)/2.方程(15)和(16)即為BLT方程[1].

注3BLT方程最早由Baum，Liu和Tesche三人基于經(jīng)典均勻傳輸線(xiàn)方程推導(dǎo)出來(lái)的經(jīng)典方程[3]，并逐漸發(fā)展成為解決強(qiáng)電磁環(huán)境下復(fù)雜系統(tǒng)的電磁干擾與耦合問(wèn)題的方法.該方程是求解傳輸線(xiàn)響應(yīng)的緊湊矩陣形式，便于編程，易于推廣.在系統(tǒng)電磁兼容分析與電磁干擾研究方面有著廣泛的應(yīng)用[4].

4數(shù)值仿真算例

研究只有電壓源激勵(lì)下的傳輸線(xiàn)終端響應(yīng)情況，其結(jié)構(gòu)如圖3所示.

圖3　由集總電壓源激勵(lì)的雙導(dǎo)體傳輸線(xiàn)

傳輸線(xiàn)長(zhǎng)度l=9米，線(xiàn)半徑a=0.1厘米，線(xiàn)間距d=0.5米，終端負(fù)載Z1=50歐姆，Z2=100歐姆，特性阻抗

自由空間介電常數(shù)ε0=8.85×10-12F/m，自由空間磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7H/m，傳播常數(shù)

情況1作用于xs=2.5米處的電壓源為V0=1.利用微分方程組(1)在傳輸線(xiàn)終端的解——BLT方程(16)求得集總電壓源激勵(lì)的雙導(dǎo)體傳輸線(xiàn)終端負(fù)載處的電流響應(yīng)，如圖4和圖5所示.

圖4　終端x=0處的負(fù)載電流響應(yīng)　　　　　　　圖5　終端x=9m處的負(fù)載電流響應(yīng)

從圖4和圖5可以看出，電流波形發(fā)生了振蕩現(xiàn)象，這是由于終端不匹配，在傳輸線(xiàn)中存在諧振造成的，它對(duì)應(yīng)于負(fù)載上的反射波.

情況2作用于xs=2.5米處的電壓源為雙指數(shù)電磁脈沖

如圖6所示.利用BLT方程的時(shí)域形式求得集總電壓源激勵(lì)的雙導(dǎo)線(xiàn)傳輸線(xiàn)終端負(fù)載處的瞬態(tài)響應(yīng)，如圖7所示.

圖6　雙指數(shù)電磁脈沖波形　　　　　　　圖7　終端x=9m處的負(fù)載電流瞬態(tài)響應(yīng)

從圖7可以看出，在x=9m處直到時(shí)刻t=2.1×10-8s才有響應(yīng)，說(shuō)明源信號(hào)到達(dá)終端有時(shí)延現(xiàn)象.在時(shí)刻t=5.1×10-8s形成第1個(gè)最強(qiáng)尖峰，對(duì)應(yīng)從x=9m端的一個(gè)往返時(shí)間.

由此可知，BLT方程在分析傳輸線(xiàn)頻域與時(shí)域響應(yīng)時(shí)均具有計(jì)算簡(jiǎn)便又能得到準(zhǔn)確的結(jié)果的優(yōu)勢(shì).

5 總結(jié)

由于案例的作用旨在引起學(xué)生勇于實(shí)踐，深入探索教學(xué)案例中的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.因此在常微分方程的教學(xué)過(guò)程中引入案例是對(duì)傳統(tǒng)課堂教學(xué)的有利補(bǔ)充，以期解決學(xué)生缺乏創(chuàng)造性的頑疾，同時(shí)對(duì)提高教師的授課效果，擴(kuò)展學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性的具有積極意義，是一種教學(xué)方式的有力嘗試.

本文基于傳輸線(xiàn)理論結(jié)合數(shù)學(xué)建模和常微分方程求解知識(shí)，解決了集總源激勵(lì)下雙導(dǎo)體傳輸線(xiàn)的響應(yīng)問(wèn)題.首先給出了案例的研究背景以及數(shù)學(xué)描述.接下來(lái)，對(duì)雙導(dǎo)線(xiàn)系統(tǒng)的電報(bào)方程求解，并針對(duì)電壓源激勵(lì)傳輸線(xiàn)時(shí)頻響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算.教學(xué)案例中所獲得的數(shù)值仿真結(jié)果可用于分析電磁干擾問(wèn)題，從而為傳輸線(xiàn)干擾信號(hào)抑制提供技術(shù)指導(dǎo).

[參考文獻(xiàn)]

[1]Tesche F M， Ianoz M V and Karlsson T. EMC analysis methods and computational models[M]. New York: John Wiley & Sons， 1997.

[2]Ushida H. Fundamentals of coupled lines and multiwire antenns[M]. Japan， Sendi: Sasak Press， 1967.

[3]Baum C E， Liu T K， and Tesche F M. On the analysis of general multiconductor transmission-line networks[J]. Interaction Notes 350， 1978: 230-331.

[4]Parmantier J P， Alliot J C， Labaune G， and Degauque P. Electromagnetic coupling on complex systems: topological approach[J]. Interaction Notes 488， 1990:1-14.

Case Teaching Investigation of Solving Ordinary Differential Equations

LIYing，NIGu-yan，ZHOUMin

(College of Science， National University of Defense Technology， Changsha 410073， China)

Abstract:Ordinary differential equations play an extremely important role in advanced mathematics. The purpose of the introduction of appropriate teaching cases during the teaching process of advanced mathematic is to stimulate students’ enthusiasm to study ordinary differential equations and improve students’ ability to solve pratical problems. The solution of telegrapher’s equations in transmission line theory was taken for case study as a form of differential equations. After the research background and mathematical description of case are introduced, the terminal responses of the transmission line under lumped sources excitation is acquired by solving the telegrapher’s equations Moreover, their physical significance was analyzed with the adoption of computational examples.

Key words:ordinary differential equations; case teaching; response of the transmission line

[基金項(xiàng)目]公共基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系列研究生一流課程體系建設(shè)項(xiàng)目

[收稿日期]2014-04-28

[中圖分類(lèi)號(hào)]O13；G642.1

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)01-0097-05