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        復(fù)平面上正多邊形的判定及應(yīng)用

        2016-01-28 02:27:08蔣巧云袁邢華
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2015年1期

        蔣巧云, 袁邢華

        (南通大學(xué)理學(xué)院,江蘇南通226007)

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        復(fù)平面上正多邊形的判定及應(yīng)用

        蔣巧云,袁邢華

        (南通大學(xué)理學(xué)院,江蘇南通226007)

        [摘要]結(jié)合教學(xué)給出復(fù)平面上n個點(diǎn)成為正多邊形的條件,最后討論它的一些應(yīng)用.

        [關(guān)鍵詞]復(fù)平面; 正多邊形; n次方根

        1引言

        設(shè)z為復(fù)數(shù),n為正整數(shù),方程ωn=z的任一解稱為z的一個n次方根,其全部n次方根為

        本文在第二部分先討論一般情況,對于復(fù)平面上n(n≥3)個點(diǎn)z1,z2,…,zn,在哪些條件下可以保證n(n≥3)個點(diǎn)z1,z2,…,zn是內(nèi)接于圓的一個正n邊形的頂點(diǎn).然后討論當(dāng)n=4和n=5時的情況,給出另外一個形式的等價條件.

        在本文的第三部分簡單討論它的一些應(yīng)用.

        希望通過本文的討論,在今后的教學(xué)過程中更加全面深入的講解這部分知識,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,幫助學(xué)生更好地理解和掌握相關(guān)的內(nèi)容.

        2主要結(jié)果與證明

        在這部分,先給出如下記號:設(shè)復(fù)平面上n(n≥3)個點(diǎn)z1,z2,…,zn,令

        (1)

        則z1,z2,…,zn是中心在原點(diǎn)的正n邊形的n個頂點(diǎn).

        證由于z1,z2,…,zn是n次多項(xiàng)式

        f(z)=(z-z1)(z-z2)…(z-zn)=zn-T1zn-1+T2zn-2-…+(-1)n-1Tn-1z+(-1)nTn

        的根.

        f(z)=zn+(-1)nTn=zn+(-1)nz1·z2·…·zn,

        即z1,z2,…,zn是方程zn=(-1)n-1z1·z2·…·zn的n個根. 由引言知,這n個復(fù)數(shù)根均勻的分布在以原點(diǎn)為中心的正n邊形的頂點(diǎn)上.

        定理2對于復(fù)平面上四個點(diǎn)z1,z2,z3,z4,如果滿足條件

        則z1,z2,z3,z4是內(nèi)接于單位圓的一個正四邊形的頂點(diǎn).

        證由于z1,z2,z3,zn是4次多項(xiàng)式

        f(z)=(z-z1)(z-z2)(z-z3)(z-z4)=z4-T1z3+T2z2-T3z+T4

        知T2=0.再由定理1知z1,z2,z3,z4是內(nèi)接于單位圓的一個正四邊形的頂點(diǎn).

        定理3對于復(fù)平面上五個點(diǎn)z1,z2,z3,z4,z5,如果滿足條件

        則z1,z2,z3,z4,z5是內(nèi)接于單位圓的一個正五邊形的頂點(diǎn).

        證由于z1,z2,z3,z4,z5是5次多項(xiàng)式

        f(z)=(z-z1)(z-z2)(z-z3)(z-z4)(z-z5)=z5-T1z4+T2z3-T3z2+T4z-T5

        例判斷以下幾組點(diǎn)是否構(gòu)成正多邊形:

        解i) 經(jīng)計算

        故z1,z2,z3,z4是內(nèi)接于單位圓的一個正四邊形的頂點(diǎn).

        3應(yīng)用

        在這部分中我們討論對于給定的多項(xiàng)式如何判斷它的根是否可以構(gòu)成一個正多邊形.

        設(shè)f(z)=zn+a1zn-1+a2zn-2+…+an-1z+an的n個復(fù)根為z1,z2,…,zn,由根與系數(shù)的關(guān)系知z1+z2+…+zn=-a1. 而由z1,z2,…,zn組成的多邊形的中心

        g(z)=zn+a′1zn-1+a′2zn-2+…+a′n-1z+a′n.

        若a′k=0,k=1,2,…,n-1,a′n≠0則原多項(xiàng)式的n個復(fù)根z1,z2,…,zn構(gòu)成一個正n邊形,否則不能.

        例不求方程的根,判斷下列多項(xiàng)式的根是否可以構(gòu)成一個正多邊形

        i)f1(z)=z4+4z3+6z2+4z+2;

        ii)f2(z)=z5-5z4+10z3-10z2+6z+1.

        解i) 由于f1(z)的四個根組成的四邊形的中心為-1,故經(jīng)過坐標(biāo)平移后

        故f1(z)的四個根構(gòu)成一個正四邊形

        ii) 由于f2(z)的五個根組成的四邊形的中心為1,故經(jīng)過坐標(biāo)平移后

        故f2(z)的五個根不能構(gòu)成一個正五邊形.

        [參考文獻(xiàn)]

        [1]鐘玉泉. 復(fù)變函數(shù)論[M]. 3版. 北京:高等教育出版社, 2004.

        [2]余家榮. 復(fù)變函數(shù)論[M]. 3版. 北京:高等教育出版社, 2000.

        [3]路見可,鐘可壽,等. 復(fù)變函數(shù)論. (第二版)[M]. 2版. 武漢:武漢大學(xué)出版社, 2007.

        The Decision to Regular Polygons in Complex Plane and Application

        JIANGQiao-yun,YUANXing-hua

        (College of Science, Nantong University, Nantong,Jiangsu 226007, China)

        Abstract:Connect with teaching we give the condition to n-pionts be a regular polygons in Complex plane and talk about the application.

        Key words:complex plane; regular polygons; n-th root

        [基金項(xiàng)目]南通大學(xué)教學(xué)改革課題(2014B7)

        [收稿日期]2011-04-22

        [中圖分類號]O174.5

        [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

        [文章編號]1672-1454(2015)01-0113-03

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