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(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東聊城252059)

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一階線性微分方程與求導(dǎo)計(jì)算

桑波

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東聊城252059)

[摘要]利用一階線性齊次微分方程的求解公式， 建立了兩類重要函數(shù)的求導(dǎo)公式，從而揭示了線性微分方程與函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的緊密聯(lián)系.

[關(guān)鍵詞]求導(dǎo)法則； 微分方程； 冪指函數(shù)

1研究背景

函數(shù)的求導(dǎo)問題是微積分的重要內(nèi)容之一. 對(duì)此問題歷屆學(xué)生普遍反映比較困難，尤其是復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo). 這主要是因?yàn)椋阂环矫嫠麄儗?duì)求導(dǎo)公式的理解還不夠深入，另一方面平時(shí)訓(xùn)練強(qiáng)度也不夠.

在傳統(tǒng)的教材體系中， 函數(shù)求導(dǎo)與微分方程的求解是兩個(gè)相對(duì)獨(dú)立的教學(xué)內(nèi)容， 見[1，2，3]. 在教學(xué)實(shí)踐中， 我們嘗試以微分方程的觀點(diǎn)重新審視求導(dǎo)公式， 以達(dá)到深入理解求導(dǎo)公式的目的. 通過研究發(fā)現(xiàn)一階線性齊次微分方程與求導(dǎo)公式之間存在密切的內(nèi)在聯(lián)系.

fj(x)>0，fj(x)≠1， j=1，2，…，k

fj(x)>0，fj(x)≠1，j=1，2，…，k.

為可導(dǎo)函數(shù)， 且gj(x)為非零、可導(dǎo)函數(shù). 盡管對(duì)數(shù)求導(dǎo)法是計(jì)算這兩類函數(shù)導(dǎo)數(shù)的通用方法，但其求解過程仍略顯繁瑣.

需要指出的是， 當(dāng)k=1，m1=1時(shí)， 廣義冪指函數(shù)變?yōu)橥ǔ５膬缰负瘮?shù). 這類函數(shù)的求導(dǎo)方法已有一些論述[1，4，5].

2廣義冪函數(shù)的求導(dǎo)

引理1設(shè)f(x)為非零、可導(dǎo)函數(shù)，則有

其中C為任意常數(shù).

證只需利用第一類換元積分法和基本公式

其中C為任意常數(shù).

下面考慮一階線性齊次方程

(1)

其中mj，j=1，2，…，k為非零常數(shù)，fj(x)，j=1，2，…，k為非零可導(dǎo)函數(shù).

令

則由引理1， 方程(1)的通解為

(2)

由此，得到下面的求導(dǎo)公式.

定理1設(shè)mj，j=1，2，…，k為非零常數(shù)，fj(x)>0，j=1，2，…，k為可導(dǎo)函數(shù)， 則

(3)

推論1設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)非零、可導(dǎo)，則

推論2設(shè)mj，j=1，2，…，k為非零常數(shù)，fj(x)>0，j=1，2，…，k為可導(dǎo)函數(shù)且g(x)為可導(dǎo)函數(shù)， 則

例求不定積分

解此積分的難點(diǎn)在于三角函數(shù)的次數(shù)甚高， 使用常規(guī)降次的方法需要大量的計(jì)算，因此需要另辟蹊徑.

由定理1

故

3廣義冪指函數(shù)的求導(dǎo)

考慮冪指函數(shù)f(x)mg(x)， 其中f(x)>0，f(x)≠1，g(x)≠0，m為非零常數(shù)， 且f(x)，g(x)都可導(dǎo). 為了求該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 需要先轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)， 再利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則， 具體如下

[f(x)mg(x)]′=[emg(x)ln(f(x))]′=m[g(x)ln(f(x))]′f(x)mg(x)

由此可得下面的引理.

引理2設(shè)f(x)>0，f(x)≠1，g(x)≠0，m為非零常數(shù)， 且f(x)，g(x)都可導(dǎo)，則一階線性齊次微分方程

以y=f(x)mg(x)為特解.

引理3設(shè)pj(x)是連續(xù)函數(shù)，j=1，2，…，k， 且設(shè)方程

以y=hj(x)為特解， 則方程

(4)

證不妨設(shè)hj(x)=cje∫pj(x)dx， 其中cj為給定的常數(shù)，則

是方程(4)的特解.

定理2設(shè)fj(x)>0，fj(x)≠1，gj(x)≠0，mj為非零常數(shù)， 且fj(x)，gj(x)都可導(dǎo)，其中j=1，2，…，k，則方程

證只需直接利用引理2和引理3即可.

作為上面定理的重要推論，得到廣義冪指函數(shù)的求導(dǎo)公式.

推論3在定理2的條件下，

[參考文獻(xiàn)]

[1]孟廣武，張曉嵐，等. 高等數(shù)學(xué)[M].2版.上海:同濟(jì)大學(xué)出版社，2010.

[2]韓茂安，周盛凡，邢業(yè)朋，等. 常微分方程[M].北京:高等教育出版社，2011.

[3]肖箭，盛立人，宋國強(qiáng). 常微分方程簡(jiǎn)明教程[M].北京:科學(xué)出版社，2008.

[4]樊志良. 冪指函數(shù)的求導(dǎo)方法[J].中北大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，27(1):8-10.

[5]湯光宋. 冪指函數(shù)導(dǎo)數(shù)與積分的簡(jiǎn)捷求法及其應(yīng)用[J].德州學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，17(4):4-7.

The First Order Linear Differential Equations and

the Computations of Derivatives

SANGBo

(School of Mathematical Sciences， Liaocheng University，Liaocheng 252059， China)

Abstract:Using the solution figure of the first order linear homogeneous differential equation， this paper establishes the differentiation rules for two important classes of functions， and thus demonstrates that linear differential equations are closely related to the differentiation of functions.

Key words:differentiation rules; differential equations; power exponential function

[基金項(xiàng)目]國家自然科學(xué)基金(11401285)；聊城大學(xué)實(shí)驗(yàn)技術(shù)研究基金(LDSY2014110)

[收稿日期]2014-07-20

[中圖分類號(hào)]O172.1； O175.1

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)01-0075-03