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        定積分計(jì)算探討

        2016-01-28 02:24:37邱為鋼
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2015年1期
        關(guān)鍵詞:定積分

        邱為鋼

        (湖州師范學(xué)院理學(xué)院, 浙江湖州313000)

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        定積分計(jì)算探討

        邱為鋼

        (湖州師范學(xué)院理學(xué)院, 浙江湖州313000)

        [摘要]綜合利用傅里葉級(jí)數(shù)法,參數(shù)求和法, 參數(shù)展開法, 得到了一些定積分的值.

        [關(guān)鍵詞]傅里葉級(jí)數(shù); 參數(shù)展開; 定積分

        1引言

        定積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)的一項(xiàng)很重要的基本功,文獻(xiàn)[1-5]對(duì)常用方法和技巧作了歸納和總結(jié).這些方法,對(duì)常見的定積分計(jì)算有很大幫助,但對(duì)一些不常見的定積分的計(jì)算,作用不大.此時(shí),必須借助傅里葉級(jí)數(shù)法[6],參數(shù)展開法和圍道積分法[7,8]來計(jì)算.文獻(xiàn)[6]方法關(guān)鍵之處在于找到一些(特殊)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)法展開式,而文獻(xiàn)[7,8]在于得到一些含參數(shù)積分的解析表達(dá)式.本文繼續(xù)推廣文獻(xiàn)[6-8]的方法,得到了一些數(shù)學(xué)手冊(cè)上還未收錄的積分公式.在下文的計(jì)算過程中,積分和求和順序,積分和參數(shù)運(yùn)算(求和,展開,積分)經(jīng)?;Q,其合理性由結(jié)果的正確性驗(yàn)證,不再一一細(xì)述.

        2傅里葉級(jí)數(shù)法

        先簡要推導(dǎo)幾個(gè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式.由以下級(jí)數(shù)展開:

        (1)

        在(1)式中令z=rexp(iθ), 0

        (2)

        對(duì)比(2)式的虛部,得到

        (3)

        (3)式兩邊乘以ln2r,在區(qū)間(0,1)內(nèi)積分,得到

        (4)

        由積分公式

        (5)

        (4)式化為

        (6)

        (6)式右邊的傅里葉級(jí)數(shù)有解析表達(dá)式[9,10]

        (7)

        由此得到(4)式的最終結(jié)果

        (8)

        有以下級(jí)數(shù)展開:

        (9)

        (10)

        在(9-10)兩式中把z延拓到z=exp(iθ),由以下式子

        (11)

        (12)

        對(duì)比(9-10)式兩邊實(shí)部,得到

        (13)

        (14)

        (13)式兩邊除以θ2+α2,在區(qū)間(0,∞)內(nèi)積分,并利用積分公式

        (15)

        計(jì)算得到

        (16)

        利用無窮求和式

        (17)

        計(jì)算得到

        (18)

        同樣(14)式兩邊除以θ2+α2,在區(qū)間(0,∞)內(nèi)積分,并利用積分公式(15)式,計(jì)算得到

        (19)

        有以下級(jí)數(shù)展開:

        (20)

        在(20)式中令z=rexp(iθ),0

        (21)

        對(duì)比(20-21)式的實(shí)部和虛部,得到

        (22)

        (23)

        (23)式中作代換θ→π/2-θ,得到

        (24)

        (22)式兩邊除以sinθ,在區(qū)間(0,π/2)內(nèi)積分,得到

        (25)

        利用積分公式

        (26)

        計(jì)算得到

        (27)

        (24)式兩邊除以sinθ,在區(qū)間(0,π/2)內(nèi)積分,計(jì)算得到

        (28)

        利用積分公式(26)式,計(jì)算得到

        (29)

        3參數(shù)求和法

        由文獻(xiàn)[9,10],Zeta函數(shù)ζ(s,a)定義為

        (30)

        且有以下的積分表示

        (31)

        (31)式兩邊對(duì)參數(shù)a求和,并利用以下公式

        (32)

        計(jì)算得到以下積分表達(dá)式

        (33)

        (33)式中的無窮求和為

        (34)

        由Zeta函數(shù)ζ(s,a)的定義式(30)式

        (35)

        (35)式中的兩重?zé)o窮求和可以重新拆分為

        (36)

        繼續(xù)拆分求和,計(jì)算得到

        (37)

        由此得到(33)式的另外表示

        (38)

        由(31)式和(32)式,得到以下積分表示

        (39)

        (40)

        由Zeta函數(shù)ζ(s,a)的展開式[9,10]

        (41)

        (42)

        以及

        (43)

        當(dāng)s→0,計(jì)算得到以下積分表示式

        (44)

        其中ψ(a)=Γ′(a)/Γ(a)是伽瑪函數(shù)的對(duì)數(shù)微商.

        4參數(shù)展開法

        定義一個(gè)含參數(shù)a的函數(shù)為

        (45)

        由正切函數(shù)的指數(shù)函數(shù)展開

        (46)

        再作變量代換z=exp(2iθ),得到

        (47)

        積分路徑是從上半單位圓周上順時(shí)針方向.把路徑改為從實(shí)軸的-1到+1,因?yàn)殚]合路徑內(nèi)沒有極點(diǎn),積分化為

        (48)

        先計(jì)算以下積分

        (49)

        (50)

        其中B(α,β)是貝塔函數(shù).另一個(gè)積分是

        (51)

        (52)

        (48)式的積分分為兩區(qū)間(-1,0)和(0,1)積分之和

        (53)

        代入(50)和(52)式,計(jì)算得到

        (54)

        I(a)有兩個(gè)表達(dá)式,一個(gè)是積分表示(45)式,一個(gè)是特殊函數(shù)表示(54)式,把它們?cè)赼=a0處展開,得到

        (55)

        取a0=1,對(duì)比展開式(55)式的第三項(xiàng)(可以借助數(shù)學(xué)軟件解析計(jì)算),得到以下積分公式:

        (56)

        對(duì)比展開式(55)式的其他階展開系數(shù),可以得到一系列的積分公式,篇幅所致,不再詳述.

        5結(jié)論

        以上定積分的解析式,都得到數(shù)學(xué)軟件數(shù)值計(jì)算結(jié)果的檢驗(yàn),說明本文所用的方法是合理正確的.

        [參考文獻(xiàn)]

        [1]寧榮健.定積分計(jì)算的方法和技巧[J].工科數(shù)學(xué),1995,1(11):199-203.

        [2]張俊祖.定積分的一些計(jì)算方法和技巧[J].高等數(shù)學(xué)研究,1996,4:27-28.

        [3]李開丁,李莉.定積分的兩種換元法及其應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究,1999,2(4):15-18.

        [4]王貴君.遞推序列在一些定積分計(jì)算中的巧妙應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2000,3(4):29-32.

        [5]錢林,楊巧林.妙用公式求積分[J].高等數(shù)學(xué)研究,2004,7(6):45-47.

        [6]鄭晨,邱為鋼.基于傅里葉級(jí)數(shù)的定積分計(jì)算技巧[J].高等數(shù)學(xué)研究,2010,,13(3):31-32.

        [7]邱為鋼,唐榮榮.對(duì)數(shù)三角函數(shù)的定積分[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2011,27(5):134-137.

        [8]邱為鋼,倪仁興.用參數(shù)展開法計(jì)算一類含對(duì)數(shù)函數(shù)的定積分[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2011,27(6):174-176.

        [9]王竹溪,郭頓仁.特殊函數(shù)概論[M].北京:北京大學(xué)出版社,2000.

        [10]Gradshteyn I S., Ryzhik I M. 積分,級(jí)數(shù)和乘積表 [M].7版.北京:世界圖書出版公司,2007.

        Evaluation of Some Definite Integrals

        QIUWei-gang

        (School of Science, Huzhou Teacher’s College, Huzhou, Zhejiang 313000, China)

        Abstract:Some definite integrals are obtained by the Fourier series method, parameter summation method and the parameter expansion method.

        Key words:Fourier series; parameter expansion; definite integrals

        [基金項(xiàng)目]國家自然科學(xué)基金(11275067,11475062); 浙江省高等學(xué)校創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)(T200924)

        [收稿日期]2014-08-09;[修改日期]2015-01-08

        [中圖分類號(hào)]O172.2

        [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

        [文章編號(hào)]1672-1454(2015)01-0062-05

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