邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院, 浙江湖州313000)

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定積分計(jì)算探討

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院, 浙江湖州313000)

[摘要]綜合利用傅里葉級(jí)數(shù)法，參數(shù)求和法, 參數(shù)展開法, 得到了一些定積分的值.

[關(guān)鍵詞]傅里葉級(jí)數(shù); 參數(shù)展開; 定積分

1引言

定積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)的一項(xiàng)很重要的基本功，文獻(xiàn)[1-5]對(duì)常用方法和技巧作了歸納和總結(jié).這些方法，對(duì)常見的定積分計(jì)算有很大幫助，但對(duì)一些不常見的定積分的計(jì)算，作用不大.此時(shí)，必須借助傅里葉級(jí)數(shù)法[6]，參數(shù)展開法和圍道積分法[7,8]來計(jì)算.文獻(xiàn)[6]方法關(guān)鍵之處在于找到一些(特殊)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)法展開式，而文獻(xiàn)[7，8]在于得到一些含參數(shù)積分的解析表達(dá)式.本文繼續(xù)推廣文獻(xiàn)[6-8]的方法，得到了一些數(shù)學(xué)手冊(cè)上還未收錄的積分公式.在下文的計(jì)算過程中，積分和求和順序，積分和參數(shù)運(yùn)算(求和,展開,積分)經(jīng)?；Q，其合理性由結(jié)果的正確性驗(yàn)證，不再一一細(xì)述.

2傅里葉級(jí)數(shù)法

先簡要推導(dǎo)幾個(gè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式.由以下級(jí)數(shù)展開:

(1)

在(1)式中令z=rexp(iθ), 0

(2)

對(duì)比(2)式的虛部，得到

(3)

(3)式兩邊乘以ln2r，在區(qū)間(0,1)內(nèi)積分，得到

(4)

由積分公式

(5)

(4)式化為

(6)

(6)式右邊的傅里葉級(jí)數(shù)有解析表達(dá)式[9,10]

(7)

由此得到(4)式的最終結(jié)果

(8)

有以下級(jí)數(shù)展開:

(9)

(10)

在(9-10)兩式中把z延拓到z=exp(iθ)，由以下式子

(11)

(12)

對(duì)比(9-10)式兩邊實(shí)部，得到

(13)

(14)

(13)式兩邊除以θ2+α2，在區(qū)間(0,∞)內(nèi)積分，并利用積分公式

(15)

計(jì)算得到

(16)

利用無窮求和式

(17)

計(jì)算得到

(18)

同樣(14)式兩邊除以θ2+α2，在區(qū)間(0,∞)內(nèi)積分，并利用積分公式(15)式，計(jì)算得到

(19)

有以下級(jí)數(shù)展開:

(20)

在(20)式中令z=rexp(iθ),0

(21)

對(duì)比(20-21)式的實(shí)部和虛部，得到

(22)

(23)

(23)式中作代換θ→π/2-θ，得到

(24)

(22)式兩邊除以sinθ，在區(qū)間(0,π/2)內(nèi)積分，得到

(25)

利用積分公式

(26)

計(jì)算得到

(27)

(24)式兩邊除以sinθ，在區(qū)間(0,π/2)內(nèi)積分，計(jì)算得到

(28)

利用積分公式(26)式，計(jì)算得到

(29)

3參數(shù)求和法

由文獻(xiàn)[9，10]，Zeta函數(shù)ζ(s,a)定義為

(30)

且有以下的積分表示

(31)

(31)式兩邊對(duì)參數(shù)a求和，并利用以下公式

(32)

計(jì)算得到以下積分表達(dá)式

(33)

(33)式中的無窮求和為

(34)

由Zeta函數(shù)ζ(s,a)的定義式(30)式

(35)

(35)式中的兩重?zé)o窮求和可以重新拆分為

(36)

繼續(xù)拆分求和，計(jì)算得到

(37)

由此得到(33)式的另外表示

(38)

由(31)式和(32)式，得到以下積分表示

(39)

即

(40)

由Zeta函數(shù)ζ(s,a)的展開式[9,10]

(41)

(42)

以及

(43)

當(dāng)s→0，計(jì)算得到以下積分表示式

(44)

其中ψ(a)=Γ′(a)/Γ(a)是伽瑪函數(shù)的對(duì)數(shù)微商.

4參數(shù)展開法

定義一個(gè)含參數(shù)a的函數(shù)為

(45)

由正切函數(shù)的指數(shù)函數(shù)展開

(46)

再作變量代換z=exp(2iθ)，得到

(47)

積分路徑是從上半單位圓周上順時(shí)針方向.把路徑改為從實(shí)軸的-1到+1，因?yàn)殚]合路徑內(nèi)沒有極點(diǎn)，積分化為

(48)

先計(jì)算以下積分

(49)

(50)

其中B(α,β)是貝塔函數(shù).另一個(gè)積分是

(51)

(52)

(48)式的積分分為兩區(qū)間(-1,0)和(0,1)積分之和

(53)

代入(50)和(52)式，計(jì)算得到

(54)

I(a)有兩個(gè)表達(dá)式，一個(gè)是積分表示(45)式，一個(gè)是特殊函數(shù)表示(54)式，把它們?cè)赼=a0處展開，得到

(55)

取a0=1，對(duì)比展開式(55)式的第三項(xiàng)(可以借助數(shù)學(xué)軟件解析計(jì)算)，得到以下積分公式：

(56)

對(duì)比展開式(55)式的其他階展開系數(shù)，可以得到一系列的積分公式，篇幅所致，不再詳述.

5結(jié)論

以上定積分的解析式，都得到數(shù)學(xué)軟件數(shù)值計(jì)算結(jié)果的檢驗(yàn)，說明本文所用的方法是合理正確的.

[參考文獻(xiàn)]

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[10]Gradshteyn I S., Ryzhik I M. 積分，級(jí)數(shù)和乘積表 [M].7版.北京:世界圖書出版公司,2007.

Evaluation of Some Definite Integrals

QIUWei-gang

(School of Science, Huzhou Teacher’s College, Huzhou, Zhejiang 313000, China)

Abstract:Some definite integrals are obtained by the Fourier series method, parameter summation method and the parameter expansion method.

Key words:Fourier series; parameter expansion; definite integrals

[基金項(xiàng)目]國家自然科學(xué)基金(11275067,11475062)； 浙江省高等學(xué)校創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)(T200924)

[收稿日期]2014-08-09;[修改日期]2015-01-08

[中圖分類號(hào)]O172.2

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)01-0062-05