王也洲，　楊　春，　黃廷祝，　李艷馥

(1. 電子科技大學數(shù)學科學學院，四川成都611731； 2. 高等教育出版社理工事業(yè)部，北京100120)

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離散數(shù)學教學改革淺談

王也洲1，楊春1，黃廷祝1，李艷馥2

(1. 電子科技大學數(shù)學科學學院，四川成都611731； 2. 高等教育出版社理工事業(yè)部，北京100120)

[摘要]針對如何提高《離散數(shù)學》教學水平問題，提出了“賦予邏輯符號生動語言，激發(fā)學生學習興趣”、“多角度講解關系運算，啟發(fā)學生發(fā)散思維”、“數(shù)學文化融入課堂教學，拓寬學生知識層面”的教學改革措施.

[關鍵詞]離散數(shù)學； 教學改革； 數(shù)學文化

1引言

《離散數(shù)學》是高等院校計算機及通信專業(yè)的一門專業(yè)核心課程，主要研究有限個或無限個離散變量之間的關系及結構特征.該課程基礎性強，對學生知識與能力的培養(yǎng)至關重要.此外，該課程具有概念多、結構散、內容抽象、理論性強的特點，給教師的日常教學和學生的平時學習帶來一定的困難.因此，如何改進教學方法、提高教學水平逐漸成為一個非常有價值的研究問題.國內一些學者經過大膽嘗試、努力鉆研，已在這方面取得了一些不錯的成績，譬如，肖利芳、段梅[1]提出“以學生為主導，以教師為輔，結合實際問題考核”的教學模式；劉海英[2]得出“以教師、學生、媒體、教學內容為教學四要素，建設離散數(shù)學網(wǎng)絡課程”的教學方法.

近幾年來為加強創(chuàng)新人才培養(yǎng)，我們在《離散數(shù)學》課程的教學實踐中也做了大量的探索與改革，獲得了一定的方法，總結了一定的經驗，也取得了一定的成效.下面就該課程教學改革中所實施的一些具體方法談一些體會.

2賦予邏輯符號生動語言，激發(fā)學生學習興趣

數(shù)理邏輯是一門研究演繹推理的學科，是數(shù)學基礎理論不可缺少的一個組成部分.它采用數(shù)學符號化的方法， 給出推理規(guī)則來建立推理體系，進而討論推理體系的一致性、可靠性和完備性等.

數(shù)理邏輯部分，公式繁多，不宜記憶，學生難以接受，但它是培養(yǎng)學生邏輯推理能力的重要內容.因此在離散數(shù)學教學中，數(shù)理邏輯部分是教學的重點之一.針對數(shù)理邏輯部分的教學，蹇柯[3]提出了“設置懸疑、深入生活、注重類比”的教學理念，加深了學生對數(shù)理邏輯的理解，教學效果得到明顯提高.

經過多年的教學，我們發(fā)現(xiàn)林林總總的符號、形式多樣化的公式并非枯燥無味，難以琢磨，相反可以用形象的語言來表達.下面，我們從若干方面來加以說明.

2.1　“說了算”與“算說了”

在析取式中，只要有一個公式為真，則整體為真，而永假式的出現(xiàn)并不影響析取式的真值.因此，公式“G∨1=1”可以描述為：永真式在析取式中“說了算”；公式“G∨0=G”可以描述為：永假式在析取式中“算說了”.

只有各個公式的真值均為真時，合取式的真值才為真；只要有一個公式真值為假，則整個合取式真值為假.因此，公式“G∧1=G”可以描述為：永真式在合取式中“算說了”；公式“G∧0=0”可以描述為：永假式在合取式中“說了算”.

“說了算”，表示起決定性作用；“算說了”，表示不影響最終結果.“說了算”與“算說了”這樣一種教學技巧，不僅可以幫助學生記憶這四個基本等價公式，而且有助于學生理解公式的判定和主范式的求解.

在公式的判定問題中，我們實際只需要關心“說了算”的子公式，而“算說了”的子公式完全可以置之不理.

在主析取范式與主合取范式的求解過程中，我們需要去掉析取范式中所有永假公式的短語和合取范式中所有永真公式的子句，實則我們需要去掉的是“算說了”的子公式.

2.2　基本蘊含關系的自然語言解釋

在命題邏輯的推理理論中，15個基本蘊含關系發(fā)揮著極其重要的作用.在通常的教材中，只是簡單地羅列出這些基本蘊含關系，并沒有給出詳細的證明.雖然，利用真值表技術不難給出每個蘊含關系的詳細證明，但不適合于在課堂上開展這項工作.如何利用較短的時間向學生們解釋清楚這些蘊含關系的內涵，同時希望學生能夠正確理解和熟練掌握是值得教學工作者思考的一個問題.

既然邏輯學是研究人的思維形式和規(guī)律的科學，那么現(xiàn)有的這些符號體系一定可以用人類的自然語言來解釋.通過仔細研究，我們合理地給出了15個基本蘊含關系的語言解釋，由于篇幅限制，我們這里只列舉一些不太容易理解的蘊含關系.

表1　基本蘊含關系與語言解釋

謂詞邏輯與命題邏輯相比，由于謂詞邏輯引入了全稱量詞與存在量詞，使得謂詞邏輯的推理規(guī)律要比命題邏輯的推理規(guī)律復雜的多.但即便如此，只要善于思考，也不難找到謂詞邏輯推理規(guī)律的自然解釋.下面以兩條推理規(guī)律為例，做一個簡單介紹.

假設G(x)，H(x)是只含自由變元x的公式，則在全總個體域中，

(?x)G(x)∨(?x)H(x)?(?x)(G(x)∨H(x))

可以解釋為：要么G(x)對所有x成立，要么H(x)對所有x成立，那么對每一個x，G(x)與H(x)至少有一個成立.

類似地，(?x)(G(x)→H(x))?(?x)G(x)→(?x)H(x)可以形象地解釋為：在每個x處，只要G(x)成立，便可得到H(x)也成立，因此當G(x)對所有x成立時，自然可以推出H(x)對所有x也成立.

在教學實踐中，我們發(fā)現(xiàn)對抽象的數(shù)學符號及公式賦予生動的語言，可以使得學生對理論問題產生濃厚的學習興趣，進一步可以激發(fā)學生主動探索數(shù)學理論與客觀世界之間的內在聯(lián)系.

3多角度講解關系運算，啟發(fā)學生發(fā)散思維

關系理論最早出現(xiàn)在德國數(shù)學家Felix Hausdorff于1914年編寫的著作《集論基礎》的序型理論中，它與集合論、數(shù)理邏輯以及組合數(shù)學、圖論、布爾代數(shù)等都有密切聯(lián)系.

關系運算是關系理論的一個重要組成部分，如何讓學生正確理解和熟練掌握各種關系運算是離散數(shù)學教學改革的一個重點.在這方面，總結出“從定義嚴格證明”、“從關系矩陣簡潔證明”、“從關系圖直觀理解”的教學方法.下面，以“關系的復合運算滿足結合律”為例來加以說明.

例設A，B，C和D是任意四個非空集合，R?A×B，S?B×C，T?C×D，則

(R°S)°T=R°(S°T).

從定義嚴格證明關系是以序偶為元素的特殊集合，關系進行運算之后的結果仍然是集合，所以該結論實際上是要證明兩個集合相等，從而只需證明等式兩端的集合相互包含即可.

對?〈a，d〉∈(R°S)°T，由“°”的定義知，存在c∈C，使得〈a，c〉∈R°S且〈c，d〉∈T.

又因為〈a，c〉∈R°S，所以存在b∈B，使得〈a，b〉∈R且〈b，c〉∈S.因為〈b，c〉∈S且〈c，d〉∈T，由“°”的定義知，〈b，d〉∈S°T；又由〈a，b〉∈R，進而〈a，d〉∈R°(S°T).所以(R°S)°T?R°(S°T).

同理可證：R°(S°T)?(R°S)°T.

從關系矩陣簡潔證明如果兩個關系所對應的關系矩陣完全相等，則說明這兩個關系也完全相等.因此，我們只需證明左右兩端對應的關系矩陣相等即可.

利用布爾積滿足結合律這條性質，很容易得到

M(R°S)°T=MR°S⊙MT=(MR⊙MS)⊙M

=MR⊙(MS⊙MT)=MR⊙MS°T=MR°(S°T).

從關系圖直觀理解兩個關系進行復合運算體現(xiàn)在關系圖上就好比是在對應的集合之間尋找通路.R°S等效于借助集合B中的元素尋找A與C之間的通路，S°T等效于通過集合C中的元素尋找B與D之間的通路.最終目標是通過中間集合B與C中的元素尋找集合A與D之間的通路，可以由以下兩種方式來實現(xiàn)：

(i) 從A出發(fā)，借助B中元素間接達到C中某個元素；然后通過C與D之間的邊直接到達D中某個元素，用數(shù)學語言來描述即為：(R°S)°T;

(ii) 從A出發(fā)，通過A與B之間的邊直接到達B中某個元素；然后借助C中元素間接到達D中某個元素，用數(shù)學語言來描述即為：R°(S°T).

圖1　尋找通路的兩種方式

在圖1中，用兩種不同的虛線表示兩種尋找通路的方式.從圖中可以看出，兩種方式經過的邊完全相同，均為e1，e2和e3.兩條通路只是表現(xiàn)形式不同，第一條通路把邊e1和e2當成一個整體，第二條通路把邊e2和e3看成一個整體，二者實則完全等同.

比較以上三種證明方法，不難看出：“按照定義證明”方法初等，過程嚴謹，但頗為繁瑣，學生容易在證明過程中迷失方向；“按照關系矩陣證明”過程簡潔，但要求學生首先掌握布爾積運算的一些性質；“按照關系圖證明”形象直觀，但缺乏嚴謹性.

三種方法各有利弊，若將三種方法結合起來講解，譬如，先按照定義證明，使得學生有一個大致認識；再按照關系矩陣證明，可以進一步加深學生對問題的理解；最后從關系圖證明，使得學生對問題的理解一目了然.這樣一種循序漸進的講解過程不僅有助于加深學生對問題的理解，而且有助于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維.

以上方法也適用于關系的其他運算，如逆運算、冪運算、復合運算與逆運算的復合等，同時也適用于關系性質的講解，由于篇幅限制，在此就不一一詳細說明.

4數(shù)學文化融入課堂教學，拓寬學生知識層面

正如當代美國數(shù)學家、史學家、教育家Morris Kline[5]所說，“數(shù)學不僅是一種方法、一門藝術、一種語言，數(shù)學還是一門有著豐富內容的知識體系，其內容對自然科學家、社會科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家十分有用，同時影響著政治家和神學家的學說；滿足了人類探索宇宙的好奇心和對美妙音樂的冥想；有時甚至可能以難以察覺到的方式但無可置疑地影響著現(xiàn)代歷史的進程.”

數(shù)學文化具有培養(yǎng)科學精神的價值，具有完善自我的人生價值，具有健全自我人格的價值，具有提升人類審美水平的價值.從這個意義上說，將數(shù)學文化融入到離散數(shù)學教學中，讓更多的大學生，特別是非數(shù)學專業(yè)的本科生多了解點數(shù)學文化知識是很有必要的，也是非常重要的.

4.1　從哥尼斯堡七橋問題到中國郵遞員問題

圖論是離散數(shù)學的一個重要組成部分，為了激發(fā)學生學習圖論的興趣，在講解到圖論部分時，不可或缺地要介紹著名的哥尼斯堡七橋問題.這一事件不僅標志著圖論學科的誕生，而且促進了拓撲學的萌芽.偉大數(shù)學家歐拉是這一事件的一位至關重要的當事人，他不僅成功地給出了該問題的一個否定回答，而且引領人類踏上歐拉圖研究的征程.

基于歐拉圖這一模型，1960年時任山東師范大學講師的管梅谷先生提出了著名的中國郵遞員問題.這一問題為我國在近代世界數(shù)學史上贏得了一席之地(在世界數(shù)學史上，冠以中國兩字的數(shù)學概念及定理屈指可數(shù)，據(jù)我們所知，除了中國郵遞員問題外，中國剩余定理代表了古代數(shù)學理論的一個高度).

以哥尼斯堡七橋問題為起點，游歷中國郵遞員問題，追溯中國剩余定理，從西方到東方，從近代到古代，這樣一種教學方式不僅可以激發(fā)學生學習圖論的興趣，而且可以更好地讓學生了解中國數(shù)學的發(fā)展，乃至世界數(shù)學的演繹.

4.2　谷歌Logo中的數(shù)學文化

枯燥的數(shù)學概念，難免會讓學生感到煩躁，在講解知識的同時，介紹數(shù)學家的生平，不失為引發(fā)學習興趣的一種方法.在離散數(shù)學課程中，隨處可見數(shù)學大師歐拉的杰作，比如握手定理、平面圖的歐拉公式等.在講解到這些結論時，重點介紹歐拉是一位多產的數(shù)學家，一生發(fā)表論文850余篇，在20世紀之前，歐拉是發(fā)表論文最多的數(shù)學家，緊隨其后的是數(shù)學家柯西(發(fā)表論文789篇).這一記錄被20世紀匈牙利數(shù)學家Erdos打破，其一生發(fā)表論文1525篇，他不僅是20世紀最偉大的數(shù)學家，也是人類歷史上發(fā)表數(shù)學論文最多的數(shù)學家.

為了紀念歐拉這一偉大的數(shù)學家，著名互聯(lián)網(wǎng)谷歌通常在歐拉誕辰之日，即4月15日這一天，會在其Logo中融入歐拉的許多數(shù)學成就，如圖2所示.

圖2　谷歌Logo中的數(shù)學文化

離散數(shù)學中，有很多知識點可以引出數(shù)學文化的講解，比如集合論公理化體系建立過程中的“羅素悖論”、組合數(shù)學中的“斐波那契兔子問題”，數(shù)理邏輯中的“邏輯學家與生死門”的趣味故事等.

將數(shù)學文化融入課堂教學，有助于拓寬學生的知識層面，培養(yǎng)學生的人文精神.通過融入數(shù)學文化的內容，可以讓學生更好地了解和體會數(shù)學的內涵，體會數(shù)學在人類文明進程中的影響和作用，可以帶給學生一種新觀念、新思維、新思想.

5結語

隨著計算機科學與技術的發(fā)展，離散數(shù)學作為一門專業(yè)基礎核心課程，其教學方式需要不斷地研究、總結和創(chuàng)新.只有在教學過程中不斷探索、深入實踐、改進方法，才能更好地提高離散數(shù)學的教學質量.

[參考文獻]

[1]肖利芳， 段梅. 離散數(shù)學教學模式的改進與創(chuàng)新[J]. 中國電力教育， 2014(11): 129—131.

[2]劉海英. 離散數(shù)學課程教學改革初探[J]. 赤峰學院學報， 2014， 30(6)：3—4.

[3]蹇柯. 離散數(shù)學中數(shù)理邏輯部分的教學方法芻議[J]. 課程教育研究， 2014(3): 254—255.

[4]傅彥， 顧小豐， 王慶先， 劉啟和. 離散數(shù)學及其應用[M]. 北京: 高等教育出版社， 2013.

[5]克萊因.西方文化中的數(shù)學[M].上海: 復旦大學出版社， 2005.

Introduction to Teaching Reform on Discrete Mathematics

WANGYe-zhou1，YANGChun1，HUANGTing-zhu1，LIYan-fu2

(1.School of Mathematical Sciences，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，China;

2. Division of Science and Engineering， Higher Education Press， Beijing 100120， China)

Abstract:For the problem of raising the teaching level of Discrete Mathematics， we propose several concrete reform methods. They are respectively endowing the logic symbols with vivid description to attract students’ interests; explaining relation operations in many ways to enlighten students’ thoughts; infusing mathematical culture into teaching to broaden students’ knowledge.

Key words:discrete mathematics; teaching reform; mathematical culture

[基金項目]電子科技大學教育教學改革研究項目(2013XJYEL032)

[收稿日期]2014-10-10

[中圖分類號]G642.0

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)01-0048-05