鄒青

摘 要：新課標(biāo)對(duì)數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用有明確的要求，充分利用這種結(jié)合來(lái)尋找解題思路，使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決。本文根據(jù)作者自身多年教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，就高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的數(shù)形結(jié)合技巧及其在具體的教學(xué)內(nèi)容中的應(yīng)用等進(jìn)行了探討，以期該方法在教學(xué)中可以得到重視。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合法;高中數(shù)學(xué);教學(xué)應(yīng)用;實(shí)例分析

1前言

數(shù)學(xué)是高中課程中重要的一門學(xué)科，一直以來(lái)也是重點(diǎn)考察的科目。數(shù)學(xué)也是我們解決實(shí)際問(wèn)題的工具，當(dāng)今科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)的作用也越來(lái)越重要。作為教師，我們應(yīng)該深刻認(rèn)識(shí)到，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，尤其是高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)科，不僅使學(xué)生進(jìn)行基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建，還要加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。因此，要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中的應(yīng)用。教師們都知道，對(duì)高一的學(xué)生而言，高中數(shù)學(xué)課堂的特點(diǎn)是知識(shí)容量大、知識(shí)層次深、內(nèi)容抽象的特點(diǎn)，一部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)沒(méi)有信心，甚至沒(méi)有了興趣。

2數(shù)形結(jié)合法簡(jiǎn)述及其應(yīng)用策略

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老而又最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化。高中數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為兩大部分，即數(shù)與形，但數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非?！边@也說(shuō)明了數(shù)與形反映了事物兩個(gè)方面的屬性。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，也就是通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。

高中數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合方法主要涉及以下方面：曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系;函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系;實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系;所給出的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義等;以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來(lái)的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、空間點(diǎn)的坐標(biāo)等。高中數(shù)學(xué)解題主要通過(guò)坐標(biāo)聯(lián)系、審視聯(lián)系、構(gòu)造聯(lián)系3 種途經(jīng)。

首先，教師在課堂講授時(shí)就要強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合方法中“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)換是必須等價(jià)的，先要讓學(xué)生在明白解題過(guò)程中是用代數(shù)還是用圖形解題比較簡(jiǎn)單，然后開始數(shù)與形的轉(zhuǎn)換，在這個(gè)轉(zhuǎn)換過(guò)程中應(yīng)注意各種條件的等價(jià)。其次，針對(duì)同一題，教師要展示數(shù)與形的不同解題方法，對(duì)代數(shù)的抽象特點(diǎn)與幾何圖形直觀特點(diǎn)分別進(jìn)行探究，分析它們?cè)诮忸}時(shí)各有優(yōu)勢(shì);針對(duì)題型的不同，比如填空選擇題時(shí)，畫簡(jiǎn)單圖像表示代數(shù)關(guān)系就可，解答題時(shí)要精確些，要明確畫圖的步驟，如此教學(xué)，久而久之，學(xué)生也會(huì)形成這種解題的思想，也培養(yǎng)了學(xué)生良好的解題習(xí)慣。

3教學(xué)實(shí)踐中的若干應(yīng)用分析

作為教師要以教材為本，深入挖掘、概括和提煉高中教材中的數(shù)形結(jié)合思想方法，通過(guò)課堂使得學(xué)生了解并形成一種用數(shù)形結(jié)合思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的習(xí)慣。在教學(xué)過(guò)程中可以讓學(xué)生歸納總結(jié)學(xué)習(xí)過(guò)程中數(shù)形結(jié)合思想方法的實(shí)際應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的求知欲和好奇心，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心。數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線之一，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，可以解決以下問(wèn)題：解決集合問(wèn)題、解決函數(shù)問(wèn)題、解決方程與不等式的問(wèn)題、解決三角函數(shù)問(wèn)題、解決線性規(guī)劃問(wèn)題、解決數(shù)列問(wèn)題、解決解析幾何問(wèn)題解決立體幾何問(wèn)題等等。下面首先看一個(gè)數(shù)形結(jié)合法在求最值教學(xué)中的應(yīng)用。

實(shí)例1 求函數(shù)最值問(wèn)題

求函數(shù)[y=sinx-2+cosx]的最小值

這道題目用一般代數(shù)方法求解較困難，但是變換一下得出下式（1）便轉(zhuǎn)化為求A（[cosθ，sinθ]），B（2，0）的斜率k的最小值了，如圖1所示：

[y=sinx-0cosx-2?k=y'-0x'-2] ? ? ? ? ? （1）

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圖1

A為圓[x2+y2=1]的任意一點(diǎn)，當(dāng)AB為圓的切線時(shí)，k取得最值，進(jìn)一步可得[x2+y2=1y=k（x-2）]，方程相切只有一個(gè)解則易得[k=±33]，取最小值為[-33]。這道題主要是要看出表達(dá)式所體現(xiàn)的斜率的含義，然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合法便輕松解答出最小值。

三角函數(shù)是描述周期運(yùn)動(dòng)的重要數(shù)學(xué)模型。它也是非常重要的函數(shù)，是描述一般周期函數(shù)的基礎(chǔ)，三角函數(shù)是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，下面來(lái)看一個(gè)例題。

實(shí)例2 比較三角函數(shù)值的大小

比較[cos25°]和[sin25°]的大小關(guān)系

對(duì)于這一題，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)可以循序漸進(jìn)，逐漸引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入數(shù)形結(jié)合思想，但一開始我們還是用常規(guī)的方法。

方法1：[cos25°=cos（90°-65°）=sin65°]，而[y=sinx]在[0，[π2]]為單調(diào)遞增，故可得[cos25°>sin25°]。

方法2：做出兩個(gè)函數(shù)簡(jiǎn)圖，如圖2所示，由圖可知[cos25°>sin25°]：

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圖2

方法3：做出一個(gè)單位圓，如圖3所示，圖中[sin25°=AB]，[cos25°=OA]，在三角形OAB中，[AB<OA]，故[cos25°>sin25°]。

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圖3

通過(guò)這一個(gè)題目的講解，三種方法中有兩種用了數(shù)形結(jié)合法，但是同數(shù)不同形，兩種數(shù)形結(jié)合方法中的方法2和方法3均較方法1簡(jiǎn)單，直接明了。同時(shí)方法2和方法3也說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合方法并不是唯一的，可以通過(guò)多種表達(dá)形式去完成解題，所以靈活掌握數(shù)形結(jié)合方法對(duì)提高我們的題解效率，開闊解題思路顯得十分重要。

4結(jié)語(yǔ)

初中的數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容一般來(lái)說(shuō)較為具體，練習(xí)大多是模仿，而高中的數(shù)學(xué)就內(nèi)容突然變得抽象，強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解基礎(chǔ)上的運(yùn)用，要求學(xué)生有較高的運(yùn)算、思維和空間想象能力。因此學(xué)生對(duì)于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要有一個(gè)適應(yīng)過(guò)程，教師更要幫助學(xué)生渡過(guò)這個(gè)難關(guān)，利用數(shù)形結(jié)合思想方法有利于進(jìn)行初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)渡銜接。通過(guò)數(shù)形結(jié)合方法引導(dǎo)學(xué)生由靜態(tài)思維方式變?yōu)閯?dòng)態(tài)思維方式，也就是以運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系的觀點(diǎn)考慮問(wèn)題。在教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法時(shí)提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，應(yīng)讓學(xué)生了解所謂數(shù)形結(jié)合方法就是找準(zhǔn)數(shù)與形的連接點(diǎn)，根據(jù)它們的屬性，將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)，就成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在。根據(jù)之前所舉的例題我們知道，數(shù)形結(jié)合的思想方法可以增強(qiáng)解決問(wèn)題的靈活性。數(shù)形結(jié)合方法在教學(xué)中有著重要的地位。

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