加速度定義的缺陷及在教學(xué)中導(dǎo)致的問(wèn)題

田均光

(任丘市第四中學(xué)河北 滄州062550)

摘 要：本文通過(guò)實(shí)例分析了加速度定義的缺陷，并給出了解決的方法.

關(guān)鍵詞：加速度缺陷暫態(tài)過(guò)程壓力

收稿日期：(2015-04-20)

加速度是力學(xué)中最基本也是最重要的概念，它的定義實(shí)際上是數(shù)學(xué)中極限概念的物理化.極限在數(shù)學(xué)中有兩種形式：函數(shù)在該點(diǎn)有極限(左右導(dǎo)數(shù)均存在且相等)；函數(shù)在該點(diǎn)無(wú)極限.其中無(wú)極限又分為：左右導(dǎo)數(shù)均不存在；只存在左導(dǎo)數(shù)或右導(dǎo)數(shù)；左右導(dǎo)數(shù)均存在且不相等.加速度的定義選取的實(shí)際上只是函數(shù)在該點(diǎn)有極限這么一種情況.表面上看，這樣的定義并沒(méi)有問(wèn)題，因?yàn)樵趯?shí)際的加速運(yùn)動(dòng)中，物體在每一點(diǎn)的加速度都存在且是唯一的.這樣的理解在一般運(yùn)動(dòng)中是沒(méi)有問(wèn)題的，但在組合運(yùn)動(dòng)中(如物體先做勻速運(yùn)動(dòng)接著再做變速運(yùn)動(dòng))問(wèn)題便出現(xiàn)了.請(qǐng)看下面的例子.

一水平軌道和一半徑為R的半圓軌道平滑連接，一質(zhì)量為m的小球在該軌道上運(yùn)動(dòng)，不計(jì)摩擦.問(wèn)題一：當(dāng)小球由水平軌道進(jìn)入半圓軌道經(jīng)過(guò)連接點(diǎn)時(shí)，小球的加速度和對(duì)連接點(diǎn)的壓力各是多少？問(wèn)題二：當(dāng)小球由半圓軌道返回進(jìn)入水平軌道經(jīng)過(guò)連接點(diǎn)時(shí)，小球的加速度和對(duì)連接點(diǎn)的壓力各是多少？

這里的問(wèn)題并不難，問(wèn)題出在連接點(diǎn)的公共身份上，它既在水平軌道上，又在半圓軌道上.按水平軌道上的運(yùn)動(dòng)解答與按半圓軌道上的運(yùn)動(dòng)解答，兩者的結(jié)果完全不同，導(dǎo)致答案無(wú)法確定.這是一個(gè)典型的左右導(dǎo)數(shù)均存在且不相等的問(wèn)題，在加速度的定義中并沒(méi)有給出解決此類問(wèn)題的方法，直接由加速度的定義來(lái)解決該問(wèn)題并不具有天然的正確性.這正是人們所沒(méi)有注意到的加速度定義的缺陷.其實(shí)，數(shù)學(xué)中已有處理此類問(wèn)題的例子，就是人為地確定取值，如級(jí)數(shù)中的狄里赫萊(Dirichlet)問(wèn)題.只是在物理中，人們不承認(rèn)加速度定義有缺陷，且實(shí)際問(wèn)題總是連續(xù)有導(dǎo)數(shù)的，才導(dǎo)致該問(wèn)題至今沒(méi)有解決，比如文獻(xiàn)[1]和[2]中對(duì)該問(wèn)題的處理.下面，我們就給出解決這一問(wèn)題的正確方法.

對(duì)軌道的壓力為

F=mg

對(duì)軌道的壓力為

在上面的分析中我們看到，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是把連接點(diǎn)確定為暫態(tài)過(guò)程變化的起點(diǎn)，有了這個(gè)認(rèn)識(shí)，其余的問(wèn)題就非常清楚了.而暫態(tài)過(guò)程，相當(dāng)于一條曲率半徑由R∞～R(0～R)或R～R∞(R～0)連續(xù)變化的軌道.

最后我們解釋一點(diǎn)，速度和加速度兩者的定義在形式上是完全相同的，在該例中，為什么速度的定義沒(méi)有出現(xiàn)問(wèn)題，而加速度定義卻出現(xiàn)了問(wèn)題呢？這是因?yàn)閮绍壍涝谶B接點(diǎn)是有公共切線的，它反映在位移圖像上的對(duì)映點(diǎn)亦有公共的切線，所以速度的定義不會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題.軌道不是速度的圖像，若是在速度圖像上，兩曲線在連接點(diǎn)有公共切線，則加速度的定義也不會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題.我們想，速度的定義也有類似的缺陷.若兩軌道不是平滑的連接，則位移的圖像在連接點(diǎn)的對(duì)應(yīng)處就可能沒(méi)有公共的切線，這時(shí)用速度的定義去求速度，就會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)不同的值.比如在非彈性碰撞中，就可能出現(xiàn)位移的圖像是一條折線，在連接點(diǎn)就沒(méi)有公共的切線.

參 考 文 獻(xiàn)

1杜志建.2015高考《考試大綱》調(diào)研卷物理.延吉：延邊出版社，2015

2劉強(qiáng).輕巧奪冠同步講解(人教版) 《高中物理·必修2》.北京：北京出版集團(tuán)，北京教育出版社，2013.33