經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中自由度概念的比較與分析*

韓文娟劉 海

(六盤水師范學(xué)院物理與電子科學(xué)系貴州 六盤水553004)

黃 敏

(六盤水師范學(xué)院數(shù)學(xué)系貴州 六盤水553004)

*貴州省教育廳“貴州省高校優(yōu)秀科技創(chuàng)新人才支持計(jì)劃項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：黔教合KY字[2013]146號(hào)

摘 要：對(duì)經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中的自由度作比較與分析.首先簡(jiǎn)述《經(jīng)典力學(xué)》與《量子力學(xué)》中自由度的特點(diǎn)，再比較分析《經(jīng)典力學(xué)》、《量子力學(xué)》中的“自由度”異同點(diǎn),最后指出《經(jīng)典力學(xué)》、《量子力學(xué)》中自由度的研究意義.

關(guān)鍵詞：力學(xué)量子力學(xué)自由度比較分析

作者簡(jiǎn)介：韓文娟(1975-)，女，碩士，教授,從事量子多體理論的研究.

收稿日期：(2014-10-27)

1引言

在分析力學(xué)中，自由度指的是單純地確定某一力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所必需的、互相獨(dú)立并可自由變動(dòng)的物理量的數(shù)目[1].

自由度在不同學(xué)科中異中有同，同中有異.筆者在實(shí)際物理教學(xué)中發(fā)現(xiàn),學(xué)生只對(duì)《經(jīng)典力學(xué)》教材中的自由度稍熟悉但認(rèn)識(shí)粗淺，很難深入理解《量子力學(xué)》中的自由度.鑒于此，筆者通過討論《力學(xué)》與《量子力學(xué)》教材中的自由度，讓學(xué)生深化對(duì)自由度的認(rèn)識(shí),以便其在學(xué)習(xí)中能正確確立物體自由度的個(gè)數(shù)及種類，從而提高其正確分析物理問題的能力.

2經(jīng)典力學(xué)中的自由度

經(jīng)典力學(xué)中，自由度的概念是指決定物體在空間位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目,其特點(diǎn)如下:

(1)被研究物體的自由度與坐標(biāo)系的選取無關(guān).被研究物體的自由度不因坐標(biāo)系的選取不同而變,在同類參考系中不因參考系的動(dòng)或靜而有別,如一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的三維空間運(yùn)動(dòng)，在任何類(如球、極、直角)坐標(biāo)系與靜、動(dòng)慣性參考系中，質(zhì)點(diǎn)自由度的種類、名稱及數(shù)目都一樣(均為3).

(2)同一被研究物體,其自由度隨其所在的“空間”不同而異.如質(zhì)點(diǎn)在設(shè)定不變的一條直線和曲線上的自由度為1，在設(shè)定不變的一個(gè)平面上的自由度為2，在設(shè)定不變的空間中自由度為3.

(3)自由度的疊加性.物體的總自由度等于物體本身運(yùn)動(dòng)具有的自由度與其所處“空間”(其形狀改變或運(yùn)動(dòng)時(shí))具有的自由度的疊加,如小球沿定長(zhǎng)的直桿運(yùn)動(dòng)[2]，桿又在平面內(nèi)做定軸定速轉(zhuǎn)動(dòng)，若小球視為質(zhì)點(diǎn)，桿的“半徑”很小可忽略，則小球總自由度=小球在直桿上運(yùn)動(dòng)的1個(gè)自由度+直桿在平面內(nèi)做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的1個(gè)自由度=2.

(4)經(jīng)典力學(xué)中一些常見客體的自由度.經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)自由度為3，剛體自由度為6，非剛體除反映物質(zhì)整體運(yùn)動(dòng)的6個(gè)自由度外,還有3N-6個(gè)反映物質(zhì)內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)“振動(dòng)”的自由度(姑且認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)間相互聯(lián)系導(dǎo)致質(zhì)點(diǎn)“振動(dòng)”).

(5)宏觀上觀察物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體自由度越多，受約束越少，物體越自由.

3《量子力學(xué)》中的自由度

3.1《量子力學(xué)》中的自由度定義

3.2《量子力學(xué)》中常見客體的自由度與力學(xué)量完備集

常見客體的自由度與力學(xué)量完備集見表1.

表1　常見客體的自由度與力學(xué)量完備集

4比較分析經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中自由度的異同點(diǎn)

4.1經(jīng)典力學(xué)與《量子力學(xué)》中自由度的共同點(diǎn)

(1)對(duì)應(yīng)關(guān)系

量子系統(tǒng)的力學(xué)量完備集里的力學(xué)量個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的自由度，在完備集里力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度的數(shù)目相等，如經(jīng)典力學(xué)中自由粒子的自由度為3,而在《量子力學(xué)》中三維粒子要完全確定它的狀態(tài)需3個(gè)力學(xué)量，即力學(xué)量完備集中有3個(gè)力學(xué)量.經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中的自由度都助于描述、確定物理客體的狀態(tài).

(2)都與所取表象無關(guān)

經(jīng)典力學(xué)中一個(gè)矢量可以在不同坐標(biāo)系中描寫而且被研究物體的自由度卻不因坐標(biāo)系的選取不同而異；同樣,《量子力學(xué)》中描寫體系狀態(tài)的波函數(shù)[4]既可在坐標(biāo)表象中描寫即Ψ(x,y,z)，又可在動(dòng)量表象中描寫即φ(p)，在不同表象中，波函數(shù)形式不同，但它們描寫同一個(gè)態(tài),不因表象不同而不同.

(3)線性組合性

經(jīng)典力學(xué)中選取坐標(biāo)系后，確立一套完備基矢量，所有的空間矢量元素均可用它們進(jìn)行線性展開，如經(jīng)典力學(xué)中空間位矢

r=xi+yj+zk

式中i,j,k是笛卡爾坐標(biāo)系中x,y,z方向的單位矢量，它們構(gòu)成完備基；同樣，《量子力學(xué)》中力學(xué)量完備集的本征函數(shù)Ψn(n=0,1,2,…)構(gòu)成體系的一組正交完備函數(shù)組，體系任何一個(gè)態(tài)φ均可用它們展開，即

an為體系處于態(tài)Ψn的概率.

(4)都有某種確定性

(5) 都有一定的疊加性

4.2經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中自由度的區(qū)別

(1)《量子力學(xué)》中的一些“自由度”在經(jīng)典力學(xué)中不含有

如電子在《量子力學(xué)》中有自旋這個(gè)自由度，而在經(jīng)典力學(xué)中卻沒有.

(2)經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中自由度的空間與維數(shù)不同

(3) 自由度不同導(dǎo)致經(jīng)典力學(xué)的Hamilton方程和《量子力學(xué)》的Heisenberg方程形式不是簡(jiǎn)單比擬[7]

如果在量子力學(xué)體系與經(jīng)典力學(xué)中的Hamilton陳述形式之間的確存在一種純粹的“比擬”關(guān)系，那么由于經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓方程需要定義于粒子系統(tǒng)的“廣義坐標(biāo)”、 “廣義動(dòng)量”所張的空間中，量子力學(xué)的相關(guān)形式表述也只能定義在由同樣的“坐標(biāo)”和“動(dòng)量”所共同構(gòu)造的廣義空間之中

n=1,2,∧,3n

式中n為粒子系統(tǒng)中的粒子數(shù)目，對(duì)于n粒子所構(gòu)造的粒子系統(tǒng)，與經(jīng)典力學(xué)哈密頓系統(tǒng)構(gòu)成邏輯關(guān)聯(lián)的量子力學(xué)基本方程，必須相應(yīng)存在于6×n自由度的狀態(tài)空間之中，但人們熟知在量子力學(xué)的經(jīng)典陳述系統(tǒng)中，無論是通常所說的“位置表象”或“動(dòng)量表象”，相關(guān)的形式表述只能定義在3×n自由度的狀態(tài)空間中，即

n=1,2,∧,3n

或

n=1,2,∧,3n

這樣，對(duì)于由經(jīng)典力學(xué)哈密頓系統(tǒng)比擬得到的運(yùn)動(dòng)方程以及量子力學(xué)中直接定義在位置空間或動(dòng)量空間中的運(yùn)動(dòng)方程，它們盡管表面上似乎完全一致，但由于定義域或者自變量集合完全不同，所有表觀一致的形式量實(shí)際上完全不同，乃至不具可比性.

5研究經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中“自由度”的意義

(1) 能提高學(xué)生正確解決物理問題的能力

《經(jīng)典力學(xué)》中研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，在正確分析物體自由度的前提下，能更清晰地分析物體的位移、受力投影等問題，學(xué)生在此基礎(chǔ)上熟悉、掌握《量子力學(xué)》的自由度并深化思維，從而能更好、更準(zhǔn)確地去定量、定性分析討論量子客體的狀態(tài)及物理規(guī)律.

(2)可找求解量子問題的突破口

如果《量子力學(xué)》中的力學(xué)量算符與經(jīng)典力學(xué)中的力學(xué)量對(duì)應(yīng), 可先尋找經(jīng)典的哈密頓函數(shù)并在《量子力學(xué)》中找到與經(jīng)典函數(shù)對(duì)應(yīng)的哈密頓算符從而進(jìn)行問題的相關(guān)求解.

(3)能加深學(xué)生對(duì)自由度絕對(duì)性和統(tǒng)一性的理解

同一客體的自由度不因參考系和表象不同而異,體現(xiàn)自由度的絕對(duì)性，在經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中研究客體的自由度時(shí)，所定格的“約束”與“自由”元素須正確統(tǒng)一，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的分析，此結(jié)論推廣至《熱學(xué)》、《光學(xué)》、《原子物理學(xué)》及跨學(xué)科的《數(shù)學(xué)》、《統(tǒng)計(jì)學(xué)》的自由度分析同樣成立.

參 考 文 獻(xiàn)

1中國(guó)大百科全書物理學(xué)編輯委員會(huì).中國(guó)大百科全書 物理學(xué).北京：中國(guó)大百科全書出版社，1987.1 279

2秦允豪.熱學(xué)習(xí)題思考題解題指導(dǎo). 北京：高等教育出版社,2004.75

3曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)導(dǎo)論 . 北京： 北京大學(xué)出版社,1998.106,106,107,236，252，226，226

4周世勛.量子力學(xué). 北京： 高等教育出版社,1979.197

5莫周文.量子力學(xué). 貴陽：貴州科技出版社,1993.167

6梁紹榮. 量子力學(xué)教程. 北京：高等教育出版社,2008.76

7楊本洛.量子力學(xué)形式邏輯與物質(zhì)基礎(chǔ)探析[EB/OL]. 上海:上海交通大學(xué)出版社,http://www.mtn.com. cn/liangzi/06.htm

Comparison and Analysis on the Degree of Freedom

in Classical Mechanics and Quantum Mechanics

Han WenjuanLiu Hai

(Dept of Physics and Electronics of Sciences, Liupanshui Normal College, Liupanshui,Guizhou553004)

Huang Min

(Dept of Mathematics,Liupanshui Normal College, Liupanshui,Guizhou553004)

Abstract:The analyse and comparison of the degree of freedom in classical mechanics and quantum mechanics are talked. The same and different characters of the degree of freedom are introduced in the field of mechanics and quantum mechanics are the following .Finally, the studying significance of the degree of freedom of mechanics and quantum mechanics is showed.

Key words: mechanics；quantum mechanics；degree of freedom ；analysis and comparison；approach of actual teaching and analyse