利用相似三角形巧解力學(xué)中的極值問(wèn)題
——例談2012年全國(guó)中學(xué)生高二物理解題技能展示第12題

張懷華

(焦作市第十一中學(xué)河南 焦作454000)

作者簡(jiǎn)介：張懷華(1974-),男，系河南省物理學(xué)術(shù)技術(shù)帶頭人、河南省骨干教師、河南省學(xué)科教學(xué)專家、河南省最具成長(zhǎng)力教師、焦作市中學(xué)名師、焦作市科研型教師、焦作市信息技術(shù)應(yīng)用專家,主要從事中學(xué)物理教學(xué)及研究.

收稿日期：(2014-12-22)

1引言

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題，是當(dāng)前高考理科綜合模式下，物理科考試大綱的5方面能力要求之一，要求學(xué)生“能夠根據(jù)具體問(wèn)題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論；必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析”.顯然，利用幾何圖形分析問(wèn)題是考生必須具備的一種能力.

2利用相似三角形巧解力學(xué)極值問(wèn)題

相似三角形在力學(xué)極值問(wèn)題求解中魅力獨(dú)具，不僅能使抽象的物理問(wèn)題更加形象、直觀，求解過(guò)程簡(jiǎn)潔明了，而且彰顯創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)提高解題能力和發(fā)展求異思維具有非常重要的意義.下面就以2012年第五屆全國(guó)中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力展示活動(dòng)高二年級(jí)物理解題技能展示試題第12題為例，談一談相似三角形在極值求解中的基本用法.

2.1試題回放

3個(gè)半徑為r,質(zhì)量相等的球放在一個(gè)半球形碗內(nèi)，現(xiàn)把第4個(gè)半徑也為r，質(zhì)量也相等的相同球放在這3個(gè)球的正上方，要使4個(gè)球都能靜止，則半球形碗的半徑應(yīng)滿足什么條件？不考慮各處摩擦.

2.2巧妙解析

如果碗的球面半徑很大，因?yàn)楦鹘佑|面是光滑的，當(dāng)放上第4個(gè)球后，下面的3個(gè)球會(huì)散開(kāi)，所以臨界情況是放上第4個(gè)球后，下面3個(gè)球之間剛好無(wú)彈力.把上面的球記為A，下面3個(gè)球分別記為B,C,D.

如圖1所示，4個(gè)球的球心連起來(lái)構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為2r的正四面體.由立體幾何知識(shí)可得，兩球心連線AB與豎直方向間夾角α的余弦值為

(1)

圖1

圖2

如圖2所示，A,B球心的連線與豎直方向的夾角為α，半球形碗的球心為O，O與B球心的連線與豎直方向的夾角為β，A球與B，C，D球間的彈力大小都為FN，碗面與下面3個(gè)球的作用力大小都為F.則以A球?yàn)檠芯繉?duì)象，由對(duì)稱性可得，A球重力大小等于A球?qū)球彈力豎直分量的3倍，即

(2)

如圖2中的陰影部分所示，幾何三角形OAB與矢量三角形對(duì)應(yīng)邊平行，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可知

(3)

由式(1)、(2)和(3)可得

(4)

由圖2可知，碗的臨界半徑為

Rmax=OB+r

(5)

在△OAB中，利用余弦定理可得

(6)

由式(5)、(6)可得，碗的臨界半徑為

(7)

3小結(jié)

不難發(fā)現(xiàn)，上述力學(xué)極值問(wèn)題若運(yùn)用共點(diǎn)力平衡條件及相關(guān)數(shù)學(xué)公式來(lái)推理、運(yùn)算求解，其過(guò)程繁瑣冗長(zhǎng)，耗時(shí)費(fèi)力，而且涉及到眾多的公式和符號(hào)運(yùn)算，稍不留神就會(huì)出現(xiàn)紕漏.而利用相似三角形，則化繁難為簡(jiǎn)潔，變抽象為具體，求解迅速而準(zhǔn)確，真乃事半而功倍.