引力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立

劉明成

(河北師范大學(xué)河北 石家莊050091)

劉文芳

(吉林師范大學(xué)吉林 四平136000)

趙文桐

(河南師范大學(xué)河南 新鄉(xiāng)453007)

摘 要：討論了萬(wàn)有引力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立的問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：動(dòng)能勢(shì)能機(jī)械能伽利略變換

收稿日期：(2015-03-30)

1引言

在經(jīng)典力學(xué)的教學(xué)中，我們實(shí)際遇到的保守力只有3種，即重力、彈簧彈性力和萬(wàn)有引力.對(duì)應(yīng)的勢(shì)能也只有3種，重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能和引力勢(shì)能.對(duì)應(yīng)的機(jī)械能守恒定律也只有3種，重力機(jī)械能守恒定律、彈力機(jī)械能守恒定律和引力機(jī)械能守恒定律.重力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立的問(wèn)題，文獻(xiàn)[1]已經(jīng)講明白了.彈力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立的問(wèn)題，文獻(xiàn)[2]已經(jīng)講清楚了.

本文討論引力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立的問(wèn)題.

當(dāng)討論萬(wàn)有引力機(jī)械能守恒定律是否在各慣性系都成立的問(wèn)題時(shí)，大家所舉的例子都是“地-太”系統(tǒng)，即以地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)為例.以往大家都認(rèn)為這是個(gè)兩體問(wèn)題.作為兩體問(wèn)題，由于太陽(yáng)相對(duì)兩體質(zhì)心會(huì)有微小的加速度，由此認(rèn)為日心坐標(biāo)系不是嚴(yán)格的慣性系，僅當(dāng)假定太陽(yáng)質(zhì)量無(wú)窮大時(shí)，日心坐標(biāo)系才是嚴(yán)格的慣性系[3,4].

困擾力學(xué)教學(xué)界幾十年的這個(gè)問(wèn)題，其實(shí)也是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)問(wèn)題，并不是兩體問(wèn)題.我們簡(jiǎn)單地說(shuō)說(shuō)我們的理由.從宏觀角度看，太陽(yáng)系包括太陽(yáng)本身和八大行星及無(wú)數(shù)的小行星，冥王星軌道外還有星云帶，不知這個(gè)帶有多寬多密.因此太陽(yáng)系是一個(gè)“質(zhì)點(diǎn)數(shù)”尚不知道的質(zhì)點(diǎn)組，太陽(yáng)正是占據(jù)這個(gè)“質(zhì)點(diǎn)組”的“質(zhì)心”位置.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)組沒(méi)有外力作用時(shí)，其質(zhì)心靜止或做慣性運(yùn)動(dòng)，因此質(zhì)心坐標(biāo)系是嚴(yán)格的慣性系.天體力學(xué)家總是認(rèn)為恒星坐標(biāo)系為慣性系，就是這個(gè)道理.如果我們?cè)俸雎苑潜Ｊ亓λ龅墓?，那么按照柯尼希定理[5]，所有行星都“各行其道”，繞日心在自己的橢圓軌道上運(yùn)行，其軌道角動(dòng)量守恒，軌道運(yùn)動(dòng)機(jī)械能守恒.行星軌道運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能守恒定律可以統(tǒng)一寫成

(1)

Ek(t)+Ep(t) =E

(2)

其中v為t時(shí)刻在日心系行星軌道速度矢量的模量，m為行星質(zhì)量，r為t時(shí)刻行星坐標(biāo)矢量的模量，M為太陽(yáng)系總質(zhì)量而非太陽(yáng)的質(zhì)量，G為萬(wàn)有引力常量，E(E<0)為行星軌道運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能，是個(gè)常量，即

式中a為橢圓運(yùn)動(dòng)軌道的半長(zhǎng)軸.

2引力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立

為了說(shuō)明地球繞日軌道運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立，我們選擇相對(duì)日心勻速直線運(yùn)動(dòng)的宇宙飛船系為另一個(gè)慣性系.

為簡(jiǎn)潔明白，我們采用矢量式坐標(biāo)變換關(guān)系，并假定飛船速度u在地球軌道平面內(nèi)沿x軸方向，t=0時(shí)兩坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，t=0時(shí)地球過(guò)近日點(diǎn)，如圖1所示.

圖1

全部采用矢量運(yùn)算，按定義，t時(shí)刻在日心系地球動(dòng)能、勢(shì)能和機(jī)械能分別為

對(duì)各街道在早06：00—21：00的交通指數(shù)采用系統(tǒng)聚類方法聚類后得到圖5所示聚類樹. 聚類樹圖中各編號(hào)對(duì)應(yīng)街道可見表3.

(3)

Ep=∫dEp=∫-f·dr=

(4)

(5)

式(5)即地球軌道運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能守恒定律，即式(1).

在宇宙飛船系，t時(shí)刻地球的動(dòng)能、勢(shì)能和機(jī)械能分別為

(6)

(7)

(8)

式(5)和式(8)比較可見，地球(質(zhì)點(diǎn))機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立.

3結(jié)語(yǔ)

(1)引力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立.這就等于說(shuō)，引力機(jī)械能守恒定律滿足力學(xué)相對(duì)性原理；引力機(jī)械能守恒定律經(jīng)伽利略變換形式不變；引力機(jī)械能守恒定律具有伽利略(非洛倫茲)協(xié)變性.

(2)系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律成立的條件并不像文獻(xiàn)[6]說(shuō)的那樣錯(cuò)綜復(fù)雜，而是非常簡(jiǎn)單明確的——僅當(dāng)不存在任何非保守力作用或非保守力所做之功可以忽略時(shí)，我們才可以認(rèn)為系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒的.

(3)什么是“系統(tǒng)”？“系統(tǒng)”就是研究對(duì)象，不是參考系.系統(tǒng)可以是質(zhì)點(diǎn)組，也可以是質(zhì)點(diǎn).例如研究自由落體問(wèn)題時(shí)，研究對(duì)象就是落體，系統(tǒng)不包括參考物地球.當(dāng)我們研究彈簧振子問(wèn)題時(shí)，系統(tǒng)就是彈簧加小球，不包括參考物地球或小車.當(dāng)我們研究地球軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)就是地球(質(zhì)點(diǎn))，不包括參考物太陽(yáng).

參 考 文 獻(xiàn)

1趙文桐，劉文芳，劉明成.重力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立.物理通報(bào)，2015(3):96～98

2李學(xué)生，師教民.對(duì)一道中學(xué)生物理競(jìng)賽試題答案的商榷.物理通報(bào)，2014(9):119～120

3蔡伯濂.關(guān)于力學(xué)相對(duì)性原理與機(jī)械能守恒的來(lái)稿綜述.大學(xué)物理，1994(1):20～22

4白靜江.兩體問(wèn)題中的功能原理及機(jī)械能守恒定律.大學(xué)物理，1997(3):11～14

5周衍柏.理論力學(xué)教程(第二版).北京：高等教育出版社,1985.127

6高崇伊.機(jī)械能守恒定律成立的條件.物理通報(bào)，2006(5):58～59