凸函數(shù)在初等不等式中的應(yīng)用

文/磨雪梅

摘要：凸性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)。對(duì)函數(shù)凸性的研究, 特別是在不等式的推導(dǎo)方面很有用處。近年來(lái)在高考命題的邊緣也涉及了凸函數(shù)的一些初步理論。

關(guān)鍵詞：凸函數(shù);應(yīng)用;不等式

中圖分類號(hào):G613.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

1. 引言

凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它在許多相關(guān)學(xué)科里都有著重要的應(yīng)用。對(duì)函數(shù)凸性的研究,特別是在函數(shù)圖形的描繪和不等式的推導(dǎo)方面,凸函數(shù)起著十分重要的作用，在高考命題的邊緣也涉及了凸函數(shù)的一些初步理論。本文主要介紹了凸函數(shù)的定義,接著根據(jù)定義引出了著名的琴生不等式,運(yùn)用凸函數(shù)在初等不等式的證明方面列舉了一些例子如一般的算術(shù)不等式、指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式等來(lái)說(shuō)明在其中的應(yīng)用，包括列舉了個(gè)別高考題利用凸函數(shù)來(lái)解是相當(dāng)簡(jiǎn)便的。

2. (1) 凸函數(shù)的定義

(2) 關(guān)于凸函數(shù)的一個(gè)重要不等式——Jensen 不等式

凸函數(shù)的推廣(Jensen 不等式) (J·L·W·V·Jensen丹麥數(shù)學(xué)家，1859～1925年)，利用它可以解決許多最值問題且比較方便。下面給出它的內(nèi)容。

Jensen 不等式是凸函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),因?yàn)槊總€(gè)凸函數(shù)都有一個(gè)Jensen 不等式,因而它在一些不等式證明中有著廣泛的應(yīng)用，下面我們會(huì)舉例來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。

3. 凸函數(shù)在初等不等式證明中的應(yīng)用

例1(94全國(guó)文科高考題)

凸函數(shù)的概念及性質(zhì)定理是中學(xué)數(shù)學(xué)的邊緣知識(shí)，因此，探討和總結(jié)凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，對(duì)于深刻理解和牢固掌握函數(shù)的概念和性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和創(chuàng)新意識(shí)具有重要作用。

類似的不等式還有:A,B,C是三角形的三個(gè)內(nèi)角,則有:

用凸函數(shù)來(lái)解決不等式問題時(shí),關(guān)鍵是找到相關(guān)的凸函數(shù),大多數(shù)情況下是容易找的,但是有的情況需要進(jìn)行變換或變形,如例2。

4.結(jié)束語(yǔ)

可以看出,凸函數(shù)在推導(dǎo)初等不等式方面是十分有用的，本文簡(jiǎn)潔、清晰地揭示了凸函數(shù)的內(nèi)涵與外延。介紹了應(yīng)用廣泛的琴生不等式和應(yīng)用，文章結(jié)尾通過(guò)利用凸函數(shù)來(lái)解決一些實(shí)際問題,即證明了若干初等不等式,使解題方便快捷。借此說(shuō)明了凸函數(shù)在不等式證明中的作用和研究凸函數(shù)的重要性,使本文的探討具有一定的意義。

(作者單位：廣西南寧市新陽(yáng)西路學(xué)校)

參考文獻(xiàn)：

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[4]陳秋華.也談利用凸函數(shù)證明初等不等式.高等數(shù)學(xué)研究.西北工業(yè)大學(xué)出版社.2006.9.P40-P42 .